柱面锥面二次曲面

1、高校理科通识教育平台数学课程微积分学 (二 )多元微积分学空间解析几何授课教师 孙学峰向量代数 与空间解析几何二次曲面的标准方程研究方法 是采用 平面截痕法 .6 二次 曲面的标准 方程1.定义 由 x, y, z的 二次方程 :ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面 , 称为 二次曲面 . 其中 a, b, , i, j 为常数且 a, b, 不全为零 .c, d,e, fzoxyO2 用平面 z = k去截割 (要求 |k | c), 得椭圆当 |k | c 时 , |k |越大 , 椭圆越小 ;当 |k | = c 时 , 椭圆退缩成点 .2. 几种常见二次曲面几种常见二次曲面 .(1) 椭球面。

2、,第六节,三、旋转曲面,四、二次曲面,旋转曲面与二次曲面,第七章,一、空间直角坐标系,二、曲面及其方程,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,例1. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,离的点 .,2、空间两点间的。

3、第六节 旋转曲面和二次曲面,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面方程的概念,以下给出两个关于曲面的简单例子.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,例2 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上两例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面的形状,求曲面方程,一、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 。

4、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 研究二次曲面特性的基本方法 截痕法 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形统称为二次曲面 二次项系数不全为0 1 椭球面 1 范围 2 与坐标面的交线 椭圆 与 的交线为椭圆 4 当a b时为旋转椭球面 同样 的截痕 及 也为椭圆 当a b c时为球面 3 截痕 为正数 2 抛物面 1。

5、解析几何习题课(二),Chap. 4 二次曲面(quadric surfaces),空间解析几何的两个基本问题：一、给定曲面，建立方程； 二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。,1、柱面 (cylinder),定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为柱面。 C 准线 (directrix ) ， L 母线(ruling ),直柱面：,射影柱面,射影柱面,柱面的参数方程(parametric equation)（P147 ex4）,圆锥面 直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.O 顶点 (vertex)两直线的夹角 半顶角锥面 一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C移动所产生的曲面。

6、一、写出下列方程所表示的曲面的名称，并作出图形。,解：(1)椭球面 (2)单叶双曲面,y,z,x,y,x,z,习题11 二次曲面,z,y,x,(3)旋转抛物面,x,z,y,x,z,三 、指出下列方程组所表示的曲线：,四、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：,x,z,y,(1),x,y,z,(2),x,y,z,4,1,(3),。

7、5-4、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系(坐标轴的平移, 旋转) 可得它们的标准方程,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面、柱面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),锥面,P0,P1(0,y1,z0),x,y,z,o,C,一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面，定点称为锥面的顶点，固定曲线称为锥面的 母线,研究二次曲面特性的基本方法:,一般是用特殊的平面(例如平行于坐标面的平面)与二次曲面相截，考察其截痕的形状，然后对那些截痕加以综合，得出曲面的全貌.,截痕法,P0,P1(0,y1,z0),x,y,z,o,C,旋转曲。

8、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面2、设柱面的准线为 ，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。zxy2解：由题意知：母线平行于矢量 2,01任取准线上一点 ，过 的母线方程为：),(0zyxMtzytxtzt 2200而 在准线上，所以：0 )2(tztxy消去 ，得到：t 0142542zyx此即为所求的方程。3、求过三条平行直线 的圆柱面方程。21, zyxzyx与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为 ：它与已知直线的交点为0，这三点所定的在平面 上的圆的圆心为)34,1(),0(,zyx，圆的方程为：5120M07598)13()5()12( 22zyxz此即为欲求的圆柱面的准线。又过。

9、二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,7.9 二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,7.9.1. 椭球面,定义,称为椭球面的顶点.,与三个坐标面的交线：,用截痕法讨论：,椭球面,用平行于xoy面的平面 z=h 截椭球面所得的交线是椭圆，方程为：,用平行于yoz面的平面 x=m 截椭球面所得的交线是椭圆，方程为：,用平行于xoz面的平面 y=n 截椭球面所得的交线是椭圆，方程为：,椭球面的几种特殊情况。

10、第七章 二次型与二次曲面,二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用 例如在三维空间的几何问题中，一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数，通过对二次型的讨论，可以研究二次曲面的分类. 本章主要讨论：,1 二次型的理论；2 空间曲面与曲线；3. 二次曲面的分类,2矩阵形式：,则二次型的矩阵形式为为二次型 的矩阵, 为二次型 的秩,3二次型 对称阵注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会写出以它为矩阵的二次型. 这里的关。

11、四、 二次曲面,一、基本内容二、小结,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,一、基本内容,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 z 轴旋转而成,旋转椭球面的特点：,方程可写为,与平面。

12、第五节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,2,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,3,解,根据题意有,所求方程为,4,根据题意有,化简得所求方程,解,5,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,6,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、。

13、二次曲面分类,胡努春浙江师范大学数学系http:/course.zjnu.cn/hnc,二次曲面方程的化简和分类（ P:130 Th4.2.2; P:133 Th4.3.1）,定理 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化成下列五个简化方程中的一个：,定理 通过适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式：,类似结论参见 P:201 Th5.5.6（二次曲面关于正交变换的分类（即度量分类） ）,二次曲面方程的化简和分类(P:130 Th4.2.2; P:133 Th4.3.1; P:201 Th5.5.6),椭球面（单页，双叶）双曲面（椭圆，双曲）抛物面（椭圆，双曲，抛物）柱面 椭圆锥面（两相。

14、第11章 多元函数微分法 11-0 平面及其方程 .二次曲面,知识逻辑关系图,二次曲面定义,柱面坐标如何表示空间区域,球面坐标如何表示空间区域,重点：常见曲面方程 难点：曲面围成的空间区域在坐标面投影,复习： 1、平面一般式方程,2、直线方程一般式方程,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,引例:,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,一、二次曲面,定义.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的。

15、解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面1第四章 柱面 锥面 旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,。

16、观察柱面的形成过程:,定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,柱面,母线,准线,柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3),从（2）（3）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。,柱面举例,抛物柱。

17、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,主要内容1、柱面2、锥面3、旋转曲面4、椭球面5、双曲面6、抛物面7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线,第一节 柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3),从（2）（3）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。,柱面举例,抛物柱面,平面。

18、毕业作品,作品名称：柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 姓名：XXX 学号:XXXXXXXXX 系别：XXXXX 专业：XXXX 指导教师：XXX,课件说明,重点：柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法，椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状，空间区域的作图。难点：寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线，在作空间区域时，分析并作出几个曲面的交线。目的：使学生能够建立柱面、锥面、旋转曲面方程的统一的思想方法，二次曲面的类型、标准方程和性质，用平行截线法（截痕法）讨论二次曲面性质。掌握平行截线法，能识别常见二次曲面的方程和图形，掌握。

19、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,主要内容1、柱面2、锥面3、旋转曲面4、椭球面5、双曲面6、抛物面,第一节 柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3),从（2）（3）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,（其。

20、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,图形 方程,方程 图形,曲面直纹性.,知识结构:,根据图形的几何特征建立它们的方程，和从方程出发讨论它们的图形的几何特性，是学习本课程所应掌握的基本技能,看看书 想一想,第一节 柱面,目标：通过本节的学习，了解柱面的有关概念，掌握柱面方程的求法.空间曲线在坐标面上投影 重点难点：柱面方程。