1、二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,7.9 二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,7.9.1. 椭球面,定义,称为椭球面的顶点.,与三个坐标面的交线：,用截痕法讨论：,椭球面,用平行于xoy面的平面 z=h 截椭球面所得的交线是椭圆，方程为：,用平行于yoz面的平面 x=m 截椭球面所得的交线是椭圆，方程为：,用平行于xoz面的平面 y=n 截椭球面所得的交线是椭圆，方程为：,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面
2、与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,7.9.2 单叶双曲面,定义,显然，单叶双曲面(*)关于三个坐标平面，三个坐,标轴以及坐标原点都对称 .,单叶双曲面 (*) 与 轴不,这四个点叫做单叶双曲面的顶点 .,(*),单叶双曲面,用截痕法讨论：,（1）单叶双曲面与坐标面 的交线是椭圆：,与平面 的交线为椭圆:,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,称为单叶双曲面的腰椭圆.,（2）单叶双曲面与坐标面 的交线是中心在 坐标原点的双曲线：,实轴为 轴， 虚轴为 轴.,与平面 的交 线为双曲线：,（中心都 在 轴上）,交线是两对相交直线.,（3）单叶双曲
3、面与坐标面 及平面 的 交线都是双曲线；,即单叶旋转双曲面.,7.9.3 双叶双曲面,叫做双叶双曲面的顶点.,双叶双曲面与 轴，,与,定义,显然，双叶双曲面关于三个坐标平面，三个坐标轴,标轴以及坐标原点都对称 .,(*),方程 (*) 称为,双叶双曲面,双叶双曲面,用截痕法讨论：,曲面与坐标面 不相交；,椭圆:,双叶双曲面,7.9.4 椭圆抛物面,（不妨假设,定义,用截痕法讨论：,称为椭圆抛物面的顶点.,称为椭圆抛物面的主抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,旋转抛物面,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,7.9.5 双曲抛物
4、面,（马鞍面）,定义,双曲抛物面关于,抛物面是无心二次曲面.,用截痕法讨论：,称为双曲抛物面的主抛物线.,它们所在的平面相互垂直，有相同的顶点与对称轴，开口方向相反 .,实轴平行于 y 轴，虚轴平行于 x 轴 .,(2) 用平行于xoy面的平面 z = h0 截双曲抛物面所得的交线是双曲线：,用平面 z = h0 截，截痕为：,截痕是双曲线，,实轴平行于 x 轴， 虚轴平行于 y 轴 .,开口向上 .,(3) 用平行于 yoz面的平面 x = h 截双曲抛物面所得的交线是抛物线：,对称轴平行于 z 轴，顶点为,(4) 用平行于 xoz面的平面 y = h 截双曲抛物面所得的交线是抛物线：,开口向下 .,对称轴平行于 z 轴，,7.9.6 二次锥面,用截痕法研究其形状.,二次锥面,解,解,
