1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,图形 方程,方程 图形,曲面直纹性.,知识结构:,根据图形的几何特征建立它们的方程，和从方程出发讨论它们的图形的几何特性，是学习本课程所应掌握的基本技能,看看书 想一想,第一节 柱面,目标：通过本节的学习，了解柱面的有关概念，掌握柱面方程的求法.空间曲线在坐标面上投影 重点难点：柱面方程的求法.空间曲线在坐标面上投影,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐
2、标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,一. 概念,观察柱面的形成过程:,定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，那族平行直线中的每一直线，都叫做叫柱面的母线.,母线,准线,注,显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定但是对于一个柱面，它的准线并不是唯一的,例如，任何个与直母线不平行曲平面和柱面的交线部可以作为它的准线准线不一定是平面
3、曲线,二. 求柱面方程,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3),从（2）（3）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。,例1、柱面的准线方程为,而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。,例2 已知圆柱面的轴为,点 （1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面 的方程,定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标
4、)的同名坐标轴。(即证方程 （11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与z轴)证 取曲面（11）与xOy坐标面的交线 （12）为准线，z轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。设为准线(12)上的任意一点，那么过的母线为，即 （13）又因为在准线（12）上，所以有 （14）（13）代入（14）消去参数，就得所求的柱面方程为，这就是方程（11），所以方程（11）就是一个母线平行于z轴的柱面。,例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,o,x,z,y,y2 =2x,它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱面叫做抛物柱面.,三. 特殊柱面(母线平行于坐标轴),
5、例2: 方程 xy = 0表示.,母线平行于 z 轴的柱面,它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴 的平面.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,3、 母线平行于坐标轴的柱面方程.,例3、下列方程各表示什么曲面？,（母线平行于z轴的椭圆柱面）,（母线平行于x轴的双曲柱面）,（母线平行于y轴的抛物柱面）,注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。,1. 椭圆柱面,2. 双曲柱面,四、空间曲线在坐标面上
6、投影,设空间曲线C的一般方程,F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0,(3),由方程组(3)消去z后得方程,H (x, y) = 0 (4),方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.,以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.,所以方程 所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.,H (x, y) = 0 z = 0,注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例1: 已知两个球面的方程分别为:
7、x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解: 联立两个方程消去 z ,得,这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为,解: 半球面与锥面的交线为,由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1,这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为,x2 + y2 = 1 z = 0,这是xoy面上的一个圆.,所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,作业: 第147页1,2题;,
