1、解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面1第四章 柱面 锥面 旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义
2、和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.4.1 柱 面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面2二.柱面的方程在
3、空间直角坐标系下,柱面准线 方程 0),(21zyxF(1)母线的方向数 X,Y,Z.即 ZYXv,(2)任取柱面准线 上一点 则过此点的母线方程为 )(11zyxMZYX1且有 , .从而消去参数 最后得到一个三元方0),(11zyxF0),(12zyxF1,zyx程 ，这就是以 为准线, 母线的方向数 X,Y,Z 的柱面, ),(2方程.三.例题讲解例 1.柱面的准线方程为 母线的方向数为1,0,1.求这柱面2212zyx的方程.解 设 是准线上的点,那么过 的母线为),(11zyxM),(11zyxM, 且 (1)0122121设 ,那么 , ,代入(1)tzyx111 ,txytz1得
4、 可得 ,即 2)(2)(tzytx 0)(2tzzt求得柱面方程为 .12ytx例 2. 已知圆柱面的轴为 ,点(1,2,1)在此圆柱上, 求这z柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数1,2,2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面3成是以轴上的点(0,1,1)为中心, 点(0,1,1)到已知点(1,2,1)的距离 为半径的球面 与过知点(1,2,1)且垂直于14d 14)()1(222zyx轴的平面 的交线,即准线圆的方程为032zyx
5、 03214)()1(2zyx设 为准线圆上的点,那么 ,),(1 4)()1(2221zyx 11且过的 母线为 .消去参数 即得所求的圆柱,1zyx1x 1,zyx面方程 .091845822 zyzy解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为 ,轴上的定点为 ,而圆柱面上的点为2,1v )10(M,所以 ,因此 到轴的距离为)12(M30 ),21(3710vd再设 为圆柱上任意点,那么有 即),(zyxM3170vMd317)2(11222yxxz化简整理得 .09845822 zyzxyzyx定理 4.1.1 在空间直角坐标系中，只含
6、两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。(即证方程 （11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与0),(yxFz 轴)证 取曲面（11）与 xOy 坐标面的交线 （12）为准线，z0),(zyxF解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面4轴的方向 0：0：1 为母线方向，来建立这样的柱面方程。设 为准线(12) 上的任意一点，那么过 的母线为),(yxM1M，即 （13）101z1yx又因为 在准线（12）上，所以有 （14）),(yx 0),(1yF（13）代入（14）消去参数 ，就得所求的柱面方程为 ，这就是方1,yx ),(x程
7、（11） ，所以方程（11）就是一个母线平行于 z 轴的柱面。常见柱面方程(1) 椭圆柱面 )0(12bayax(2) 圆柱面 R(3) 双曲柱面 )0,(12bayax(4) 抛物柱面 p空间曲线的射影柱面通过空间曲线 L 作柱面,使其母线平行于坐标轴 轴,设这样的柱Ozyx或,面方程分别为 , , 这三个柱面分别叫曲线 L 对0)(1zyF)(2zx0)(3yF坐标面的射影柱面.xOzy与,作业 4,32147P解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面54.2 锥 面一.锥面定义空间中由通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫锥面.锥面的顶点:定点;母线:一族直线;准线:定曲
8、线.二.锥面的方程空间直角坐标系下,顶点为 ,准线方程 :),(0zyxA0),(21zyxF任取准线上一点 ,则过此点的母线方程为),(11zyxM且 , .010101z 0),(11zyx0),(12zyx从而消去参数 最后得到一个三元方程 这就是以,zyx ,F为准线, 为顶点的锥面方程.0),(21zF),(0zyxA例 1、 锥面的顶点在原点，且准线为 ，求锥面的方程。czbyax12解 设 为准线上的任意一点，那么过 的母线为 ),(11zyxM),(11zyxM， （1）11且有 （2）2byax（3）cz1由（1） （3）的 （7）yx1,（7）代入（5）得所求的锥面方程为
9、，122zbycax或把它改写为 ，这个锥面叫做二次锥面。022czbyax解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面6二.锥面与齐次方程定理 4.2.1 一个关于 x,y,z 的齐次方程总表示顶点在原点的锥面.证 设有关于关于 x,y,z 的齐次方程 ,那么根据齐次方程的定义有0),(zyxF所以 曲面过原点.),(),(zyxFtztyx0t有时 ，当再设非原点 满足方程,即有 那么直线 的)0M),(0zyx0OM方程为 代入 ,即有 .tzyx0),(zyx ),(),( 00FttF所以整条直线都在曲面上,因此曲面 是由通过坐标原点的直线),(zyx组成,即他是以原点为顶点的锥面
10、.虚锥面 022zyx推论 关于 的齐次方程表示顶点在 的锥面.0,),(0zyx作业 54215P解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面74.3 旋 转 曲 面一.旋转曲面的定义空间一条曲线 绕着定直线 旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面(回旋曲面)l母线: 曲线 ;旋转轴(轴): 定直线 .l纬线: 旋转曲面母线上任一点在旋转时所形成的一个圆,称之为线圆(纬线).经线: 以轴 为界的每个半平面与曲面交成一条曲线,称为经线.(平面曲线)l二.旋转曲面的方程1.一般情形下的曲面方程空间直角坐标系下,旋转曲面母线方程 :0),(21zyxF轴 : l ZYX0任取母线上一点 ,则过此点的线圆
11、方程为:),(11zyxM 0)()()( )()()(111201201222020ZYxX zyx且有 , .消去参数 最后得到一个三元方程,1zyF,2zyF1,z,此即为以 为准线, 为轴的旋转曲面的方程.0),(xl例 1 求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程.012zxzyx解 设 是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过 的纬),(1yM 1M圆方程是 由于 是母线上的点,所以又212121)(zxzx ),(11zyxM有 ,即 .消去参数 最后得到旋转曲面方程为012y,11y1,07)()(5)(22 zyxzxzx2.以坐标面上的曲线为准线、坐标轴为轴的旋转曲面的
12、方程 解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面8旋转曲面的经线可作为母线,通常把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取作坐标轴,此时旋转曲面的方程具有特殊的形式.设旋转曲面的母线为 : ,旋转轴为 轴, 若0),(xzyFy01zyx为母线 上的任意点,那么过 的纬圆为 ,且),0(11zyM1M212210zyzx有 ,消去参数 得所求的旋转曲面的方程为 .,1F1,zy 0),(xF同样若将曲线 绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程是 . ,2zy因此,当坐标轴上的曲线 绕此坐标平面里的一个坐 标轴旋转时,为了求出这样的旋转曲面的方程,只要将曲线 在坐标面里的方程保留和旋 转轴同名的坐标,而以其
13、它两个坐标平方和的分方根来代替方程中的另一根.例 2 将椭圆 : 分别绕长轴( 轴)与短轴( 轴)旋转,求所0)2zbayxxy得旋转曲面的方程.解 旋转轴是 轴,同名坐标是 ,在方程 中保留坐标 不xx)(02bayx变,用 代 ,便得到椭圆绕其长轴旋转的曲面方程为 .2yx 122zyx同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为 .122azbyx上述二曲面分别叫长形旋转椭球面,扁形旋转椭球面.例 3 将双曲线 : 绕虚轴(z 轴)旋转的旋转曲面方程为012xcyb; 绕实轴(y 轴)旋转的旋转曲面方程为 .分别122czbyx 122czybx称为单叶旋转双曲面与双叶旋转双曲面.解析几何教案第四
14、章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面9例 4 将抛物线 : 绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为02xpy称之为旋转抛物面.pxyx22例 5 将圆 : 绕 z 轴旋转,求所得旋转曲面的方程.0)0()(22abzby解 绕 z 轴旋转 ,所以在方程 中保留 z 不变,而 y 用22)(ay代替就得到旋转曲面方程2yx, 或22)(azb )(4)( 22222 yxbzyx作业 ,158P解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面104.4 椭 球 面定义 4.4.1: 在直角坐标系下,由方程 (1) 所表示的曲面叫椭122czbyax球面,或称椭圆面.方程称为椭球面的标准方程,其中 a,b,c(
15、abc)为任意的正常数.一.椭球面性质1.当(x,y,z)满足方程时, 也一定满足.椭球面关于三坐标平),(zyx面,三坐标轴,坐标原点都对称.2.椭球面的对称平面,对称轴与对称中心分别叫它的主平面,主轴与中心.3.椭球面与它的三对对称轴即坐标轴的交点分别为 , ,)0(a)(b,这六个点叫做椭球面的顶点.)0,(c4.同一对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度 2a,2b,2c 叫椭球面的轴.半轴,长(半)轴,中(半)轴,短(半)轴.5.任何两轴相等的椭球面一定是旋转椭球面,而三轴相等的椭球面就是球面.椭球面三轴不相等时,叫三轴椭球面.6.椭球面上任何一点的坐标总有(x,y,z), ,因此椭
16、球面czbyax,完全被封闭在一个长方体的内部.二.平行截线割法平行截割法是讨论二次曲面的基本方法,为了弄清楚曲面的大致形状,进而推出其性质,通常把曲面作为点的轨迹来研究,而分析其与一组平行平面的交线(截口)的形状与性质.1. 平行截割法:利用平行平面的截口来研究曲面图形的方法.2. 对曲面方程的讨论,一般分以下几项:(1)对称性 (2)顶点(对称轴与曲面的交点) (3)存在范围 (4)主截线(曲面与坐标轴的交线) (5)平截线(曲面与平行平面的交线)解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面113. 主截线: (1), (2), (3) (椭球面的主椭012zbyax012yczax01
17、2xczby圆)4. 平截线: 不妨设一组平行于 xOy 坐标面的平行平面 zh 来截割椭球面,得截口: .hzcbyax221当 时,无图形; 当 时,表示一个点(0,0,c); 当 时,代表一个椭圆: 两chch轴的端点分别为 ( )与 .它们分别在主椭圆(2)和(3)上.ca,012),1,(2b综上:椭球面可视为由一个大小和位置都可改变的椭圆变动而产生的,它在变动过程中保持所在平面与 xOy 坐标面平行,且两轴的端点分别在另外两定椭圆(2)和(3)上滑动.椭圆有时也用参数方程表示: )20,(cosin ，为 参 数zbyax例 已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆 与点 ，,169
18、2yxz)3,1(M求这个椭球面的方程。解 因为所求图球面的轴与三坐标轴重合，所以设所求椭球面的方程为，它与 xOy 面的交线为椭圆 ，与已知椭圆122czbyax 012zbyax比较知 。又因为椭球面通过点 ，所以又有01692z16,92ba )23,1(M所以 。因此所求椭球面方程为234c32 361922zyx解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面12作业 6,43216P解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面134.5 双 曲 面一. 单叶双曲面1.定义: 在直角坐标系下,由方程 所表示的曲面122czbyax)0,(cba叫单叶双曲面.注: 1 0 当 时, 单
19、叶双曲面为旋转双曲面.ba20 标准方程还有另外两种形式.2.图形讨论(1)对称性:关于三坐标面,三坐标轴,原点对称.(2)顶点: ,)0(a)(b(3)存在范围:由 及与 轴无交点知曲面存在与椭圆柱面外部且沿12yxz轴上下伸沿到无穷远.z(4)主截线: (1) (2) (3)012zbyax012yczax012xcyb腰椭圆 双曲线 双曲线(5)平截线:a. 用一组平行 xOy 坐标面的平面 截割,截口为椭圆:hz两轴的端点分别为 与 它们分hzcbyax221 ),01(2ca),1,(2hcb别在双曲线(2)与(3)上.可见:单叶双曲面可视为一个大小位置都可改变的椭圆变动 而产生的,
20、变动中保持所在平面与 xOy 面平行,且两 对顶点分别沿着两个定双曲 线(2)与(3)滑动.b. 用平行于 xOz 面的平面 截割,截口为: (4)hyhybczax221解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面1410 时,(4)为双曲线,实轴平行于 轴,虚轴平行于 轴,(4)的顶点在腰椭bhxz圆(1)上,顶点 .)0,(2ha20 时,(4)为双曲线, 实轴平行于 z 轴,虚轴平行于轴,它的顶点在双曲线(3)上,顶点 .)(2bch30 时,(5)为两条直线(相交)b或 yczax0byczax0可见:单叶双曲面上有直线.二. 双叶双曲面1.定义:在直角坐标系下,由方程 所表示的曲
21、面122czbyx)0,(cba叫双叶双曲面.2. 图形讨论(1)对称性:关于三坐标面,三坐标轴,原点对称.(2)顶点:与 , 轴不相交,与 轴交于点xyz(3)存在范围:由 知曲面分成两叶 .2czcz与(4)主截线:两双曲线: (1) (2) 有共同实轴、顶点.012yax012xby(5)平截线: 用平行平面 截割,截口: (3)(chzhzcya12210 时, (3)表示一点 或 .ch),0(),(20 时, (3)表示一椭圆:两轴的端点 , 分 )012hca),1(2hcb别在双曲线(1) 与(2) 上.可见: 双叶双曲面可视为一个椭圆变动而产生的.解析几何教案第四章 柱面锥面
22、旋转曲面与二次曲面15思考:用平行于 xOz 面的平面 截割曲面的情况,截口:kykybaxcz221取两条双曲线,使它们对应的叶所在平面互相垂直,顶点和轴都重合,且有相同的开口方向,让一条双曲线平行于自己所在的平面,而使其顶点在另一条双曲线对应叶上滑动,则这条双曲线的运动轨迹便是一个双叶双曲面.例题 用一组平行平面 ,截割双曲面)(为 任 意 实 数hz122cbyxba得一族椭圆,求这些椭圆焦点的轨迹.解 这一族椭圆为 , 即hzcbyax221hzchbycax1)()1(22因为 ,所以椭圆的长半轴为 ,短半轴为 ,从而椭圆的焦点ba21c2c的坐标为 ,消参即得 .hzychx0)(
23、22 0122yczbax显然,这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面 xOz 上的双曲线,双曲线的实轴为轴,虚轴为 轴.xz作业 7.432168P解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面164.6 抛 物 面一. 椭圆抛物面1.定义:直角坐标系下,由方程 ( 为任意常数)所表示的曲面叫zbyax22a,椭圆抛物面.2.图形讨论(1)对称性:关于 yOz、xOz 坐标面,z 轴对称,无对称中心.(无心二次曲面)(2)顶点(0,0,0)(3)存在范围:由 , 知曲面全部位于 xOy 坐标面的 一侧.)(212byaxz 0z(4)主截线:（主抛物线） (1) (2)0yz02xzby（有共同的
24、轴、开口方向、顶点）(5)平截线:a. 用平行 xOy 坐标面的平面 截割,截口为椭圆:)0(hz（3）hzbyax22椭圆的两对称点 ， 分别在主抛物面(1)与(2)上.),0(),2,(hb可见:椭圆抛物面可视为椭圆的轨迹.b. 用平行于 xOz 面的平面 截割,截口为抛物线：ty（4）tybzax)2(2(4)与抛物线(1)有相同的焦参数与开口方向,且其顶点 在主抛)2,0(bt物线(2)上.可见:椭圆抛物面可视为由两个抛物线中的一条的轨 迹.解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面17二. 双叶抛物面1.定义:直角坐标系下,由方程 所表示的曲面叫双叶抛zbyax22)0,(ba物
25、面.2.图形讨论(1)对称性:关于 yOz、xOz 坐标面,z 轴对称,无对称中心.(无心二次曲面)(2)顶点(0,0,0)(3)存在范围:无界.(4)主截线: （1） （2） （3）0zbyax02yzax02xzby过原点两条相交直线 主抛物线(5)平截线:a. 用平行 xOy 坐标面的平面 截割,截口为双曲线:)0(hz（4）hzbyax121.h0 时,双曲线(4)实轴与 x 轴平行,虚轴与 y 轴平行,顶点在主抛物线(2)上)2(a2.h0 时, 双曲线(4)顶点在主抛物线(3)上.可见:曲面被 xOy 坐标面分割为上下两部分,上部分沿 x 轴的两个方向逐渐上升;下半部分沿 y 轴的
26、两个方向逐渐下降. b. 用平行于 xOz 面的平面 截割,截口为抛物线：tytybzax)2(2抛物线(5)与主抛物线(2)有相同的焦参数与开口方向,且所在平面与(2)所在平面平行,其顶点 在主抛物线(3)上.)2,0(bt解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面18椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心，所以又叫无心二次曲线.三空间区域简图从是实例出发,研究常见的曲面与平面(包含常用的坐标面)所围成的空间区域问题.例 1.作出球面 与旋转抛物面 的交线.822zyx zyx22解 两曲面的交线为 )(1,2（2）代入（1）得 即 所以 ，由（2）知082z,02)(4
27、z4z或所以取 ，因此交线方程可以改为 或 这是平面,0zz,8yx,2yx上的一个圆，圆心为 ，半径为 2。2),0(作业 52,174P解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面194.7 单叶双曲面与双叶抛物面的直母线柱面与锥面都可以由一族直线所构成,这种由一族直线所构成的曲面叫直纹曲面,而构成曲面的那族曲线叫这曲面的一族直母线.柱面与锥面都是直纹曲面.在前两节看到单叶双曲面与双曲抛物面上都包含有直线.实际上,这两曲面不仅包含有直线,而且可以有一组直线构成,因而它们都是直纹曲面.一. 族直母线与 族直母线uv1. 族直母线将单叶双曲面 (1) 改写成122czbyx 221bycza
28、x或者 (2)(1)(czax现引进不等于零的参数 ,并考察上式得来的方程组u(3) 与两方程组 (4) 与 ( 4)1(byuczax01byczax01byczax当(3)式中参数 和 时的两种极限情形,显然不论 取何值,(3)以及0uu(4),( 4 )都表示直线,我们把 (3) ,(4),( 4) 合起来组成的一族直线叫 族直线.现证明由这 族直线可以构成曲面,从而它是单叶双曲面(1)的一族直母线.容易知道, 族直线中的任何一条直线上的点都可以在曲面(1)上:u当 时,由(3)边边相乘即得(1),所以(3)所表示的直线上的点都在曲0面(1)上;而满足(4)与( 4 )上的点显然满足(2
29、),从而满足(1)因此直线(4)与 ( 4)上的点也都在曲面(1) 上.反之,设是 曲面上的点,从而有)(0zyx )1()( 000 byczax显然 不能同时为零,因此不失一般性,假设 . )1()(00b与 0如果 那么取 的值,使得 ,0czaxu)1(00byuczax解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面20由(5)便得 ,所以点 在直线上.)1(00byuczax),(0zyx如果 那么由(5)知必有 ,所以点 在直线(4)00),(0zyx上.因此曲面(1)上的任一点,一定在 族直线中的某一条直线上.u因此证明了曲面(1)是 族直线直母线构成,因此单叶双曲面(1)是直纹
30、曲面,而 族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线,称为 族直母线.u u2. 族直母线v由 ( 为不等于零的任意 实数) 与 合在)1byvczax 01byczax01byczax一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直母线,我们称它为单叶双曲面(1)的族直母线.v推论 对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这一点.为了避免取极限,我们常把单叶双曲面(1)的 族直母线写成u. (4.7.1),()1)(不 同 时 为 零wubyczaxuw当 时,各式除以 ,就化为(3);当 便化为(4);当 时便化0,0u0w成( 4).而 族直母线写成 .(4.7.2)v ),()1)(不 同 时 为 零tvbytczaxvt直线(4.7.1), (4.7.2)分别只依赖于 与 的值.wu:t:对于双曲抛物面同样地可以证明它也有两族直母线,它们的方程分别是解析几何教案第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面21与 zbyaxu)(2zbyaxv)(2推论 对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这一点.定理 4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上一族的任意两直母线必相交.定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.作业 3,218P
