高斯求积公式

1、 数值计算考题五1. 分别用复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分 I= sinx dx 的近似值，要102xe求误差不超过 =0.5 10-5.解：方法一： 复合梯形求积公式复合梯形求积公式是将积分区间划分为 n 个很小的区间，然后将各个小区间的面积相加而得到在整个积分区间上的积分，当分成的小区间数 n 时，求得的面积就等于积分的精确值。由复合梯形求积公式的余项 R 可得满足精度要求 0.5 10-5 时区间 被nTba,分成的区间数 n 的最小值为 700，所以在编程时循环次数应大于等于这个值，方可满足精度要求。以下是编写的 C 语言程序：#include#inclu。

2、4.1求积公式4.1.1 求积公式,结束,对定义在区间a,b上的定积分,以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，F(x)为f(x)的原函数.但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算.如被积函数为:,第四章 数值积分,等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无能为力. 为解决定积分的近似计算,从定积分的定义：,这样就避开了求原函数的运算.(4.1)式就叫做求积公式，Ak(k=0,1,n)与函数f(x)无关，叫做求积系数,显然要确定一个求积公式，要确定求积结点xk和求积系数Ak，或者说不同的求积结点和求积系数将确定不同的求积。

3、高斯型求积公式,3.6 高斯型求积公式,第6节,卡尔弗里德里希高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国数学家、物理学家和天文学家，大地测量学家。近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。,3.6 高斯求积公式,3.6 高斯（Gauss）型求积公式,主要内容,在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度,去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么结果？,高精度求积公式,一.高斯型求积公式,对于。

4、4.6.1 梯形法的递推化,由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适的步长（即n的选取），如何解决这样的难题。,4.6 龙贝格逐次分半加速法,1,2018/3/14,2018/3/14,2,一、复合梯形公式的递推化,各节点为,复合梯形(Trapz)公式为,-(1),-(2),2018/3/14,3,-(3),由(1)(2)两式可,4,2018/3/14,(3)式称为递推的梯形公式,递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复化梯形公式,优点：梯形法计算简单,缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间 多次，分点大量增加，计。

5、 数学实验报告 实验序号 日期 班级 姓名 学号 实验名称 使用矩形 梯形 辛普森和高斯公式求积分 问题背景与实验目的 1 利用MATLAB掌握梯形公式 辛普森公式和随机模拟方法计算数值积分 2 通过实例学习用数值积分和数值微分解决实际问题 实验内容 1 用矩形 梯形 trapz 和辛普森 simp 三种公式计算由下表数据给出的积分 k 1 2 3 4 5 6 7 0 3 0 5 0 7 0 9 。

6、一 、 实 验 目 的 及 题 目实 验 目 的 ： 掌 握 利 用 复 化 辛 普 森 公 式 和 高 斯 求 积 公 式 方 法 计 算 积 分 ， 熟 悉matlab的 操 作 。题 目 ： 1.利 用 复 化 辛 普 森 公 式 计 算 积 分 ：1、 xdxx ln102.利 用 高 斯 求 积 公 式 计 算 积 分 ：1、 xdxx ln102、 dx实 验 步 骤 ：1.利 用 复 化 辛 普 森 公 式 计 算 积 分 ：1.1.建 立 M文 件function y=f(x)y=sqrt(x)*log(x);1.2.建 立 M文 件function T_n=F_H_T(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:nx(k+1)=a+k*h;if x(k+1)=0x(k+1)=10(-10);endend T_1=h/2*(f(x(1)+f(x(n+1);fo。

7、北京科技大学数理学院卫宏儒 Weihr168yahoo.com.cn,科学与工程计算,高斯求积公式,常见的四个正交多项式P213-217,勒让德（Legendre）多项式,切比雪夫（Chebyshev）多项式,拉盖尔（Laguerre）多项式,埃尔米特（Hermite）多项式,常微分方程初值问题的数值解法,1、基本概念和定理： 一阶常微分方程初值问题是：y =f(x,y) (1.1) y(x0)=y0 (1.2)其中f是已知的xoy平面上某个区域D上连续函数，式（1.1）是微分方程，有无穷多解，式（1.2）是确定解的初始条件。如一元函数y(x)对一切axb 满足 （1） （x,y(x)D （2） y(x0)=y0 （3） y存在，且y(x)=f。

8、高斯-切比雪夫求积公式,高斯-切比雪夫求积公式求积公式的一般理论高斯(Gauss)求积公式的定义高斯-切比雪夫求积公式理论推导例题解答,形如,为高斯求积公式，其中 为权函数,当a=-1,b=1,且权函数 时 建立的高斯求积公式 称为高斯-切比雪夫求积公式,。

9、4.4 高斯型求积公式,华长生制作,2,在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。,华长生制作,3,例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。,解 按代数精度的概念，分别令 时上式左边与右边分别相等，有由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得于是得到求积公式,华长生制作,4,它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。,华长生制作,5,定义 如。

10、一、高斯点定义：高斯公式机械求积公式含有 2n+2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次 （2n+1次 ?!） 代数精度 ，则这类公式称为 高斯公式 。(4.1)定义： 高斯公式的求积节点称为 高斯点。请回顾 :以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？除中矩形公式外都不是！注： 机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。举例 求 a,b上的两点高斯公式。解设两点高斯公式为这是关于四个未知数的非线性方程组， 是否有解？一般难于求解 要求其代数精度最高，四个未知数，可列出 4个方程 :高斯点 具有以下。

11、第2章数值积分与数值微分高斯型求积公式高精度的求积公式考虑积分=baxxfI d )(将节点 x0 , xn以及系数 A0 , An都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1代入可求解，得到的公式具有 2n+1 次代数精度。能否利用n+1个节点x0 , xn构造出具有2n+1 次代数精度的求积公式=niiibaxfAxxf0)(d )(？举例（一）例：试确定 x0 , x1以及系数 A0, A1，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。)()(d )(110011xfAxfAxxf +=+=+=+=+03/202311300211200110010xAxAxAxAxAxAAA解：将 f (x) = 1, x, x2, x3代入，使其精确成立得解得=3111010xxAA不是线。

12、1,6 高斯求积公式,2,1. 一般理论,求积公式,含有 个待定参数,当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次.,3,为具有一般性，研究带权积分,这里 为权函数，,求积公式为,为不依赖于 的求积系数.,为求积节点，,适当选取,使其具有最高 次代数精度,4,定理 n+1个节点的插值型求积公式的代数精度不超过2n+1.证：令g(x)=(x-x0)2(x-xn)2,5,定义 若n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互异节点为高斯点， 此求积公式为高斯型求积公式。,6,根据定义要使求积公式具有 次代数精度，只要对,当给定权函数 ，求出右。

13、1 6高斯求积公式 2 1 一般理论 求积公式 含有个待定参数 当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次 3 为具有一般性 研究带权积分 这里为权函数 求积公式为 为不依赖于的求积系数 为求积节点 适当选取 使其具有最高次代数精度。

14、4 4高斯型求积公式 华长生制作 2 在Newton Cotes求积公式中 节点是等距的 从而限制了求积公式的代数精度 下面的讨论将取消这个限制条件 使求积公式的代数精度尽可能高 首先以简单情形论证这样做是可行的 然后给出概念和一般理论 华长生制作 3 例确定下列求积公式中的待定参数 使其代数精度尽量高 解按代数精度的概念 分别令时上式左边与右边分别相等 有由第二式和第四式可得 结合第一式和第三式。

15、4.4 高斯型求积公式,华长生制作,2,在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。,华长生制作,3,例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。,解 按代数精度的概念，分别令 时 上式左边与右边分别相等，有由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得于是得到求积公式,华长生制作,4,它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 1次代数精度。,华长生制作,5,定义 。

16、5 Gauss求积公式 /*Gauss Quadrature Formula */,NewtonCotes求积公式中的求积节点是等距选取的，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制；,积分公式的一般形式：,插值型的求积公式至少有n次代数精度，至多有多少次的代数精度？,如何适当选取求积节点和求积系数，使求积公式达到最高的代数精度？,一、 Gauss积分问题的提法,为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:,当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，求积公式的代数精度最高能达到多少？,具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？,积分公式的一般形式：,个求积。

17、第四章微积分的数值计算方法 NumericalAnalysis 4 3高斯型求积公式 问题 是否有比等距节点的Newton Cotes型求积公式更高代数精度的求积公式 最高能达到多大 度 高斯求积公式 高斯求积公式 权函数 定义 设 a b 是有限或无限区间 x 是定义在 a b 上的非零可积函数 若其满足则称 x 是 a b 上的一个权函数 在高等数学中介绍付立叶级数时 曾提到函数系1 cosx。

18、1 4.5 高斯求积公式 2 4.5.1 一般理论 求积公式 nkkkba xfAdxxf 0 )()(含有 个待定参数 22 n ).,1,0(, nkAxkk 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次 . kxn如果适当选取 有可能使求积公式 具有 次代数精度，这类求积公式称为 高斯 (Gauss) 求积公式 . ),1,0( nkx k 12 n3 为具有一般性，研究带权积分 ,)()( ba dxxxfI 这里 为权函数， )(x 类似 (1.3)，求积公式为 ,)()()(0 nkkkba xfAdxxxf （ 5.1） 为不依赖于 的求积系数 . ),1,0( nkAk )(xf使（ 5.1）具有 次代数精度 . 12 n),1,0( nkx k 为求积节点， ,),1,0( nk kk 。