1、4 4高斯型求积公式 华长生制作 2 在Newton Cotes求积公式中 节点是等距的 从而限制了求积公式的代数精度 下面的讨论将取消这个限制条件 使求积公式的代数精度尽可能高 首先以简单情形论证这样做是可行的 然后给出概念和一般理论 华长生制作 3 例确定下列求积公式中的待定参数 使其代数精度尽量高 解按代数精度的概念 分别令时上式左边与右边分别相等 有由第二式和第四式可得 结合第一式和第三式得取得于是得到求积公式 华长生制作 4 它有3次代数精度 而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度 华长生制作 5 定义如果上述求积公式具有2n 1次代数精度 则称该公式高斯型求积公式 称其节点为
2、高斯点 系数称为高斯系数 如果象前面例子那样 直接利用代数精度的概念去求n 1个Gauss点和n 1个求积系数 则要联立2n 2个非线性方程组 方程组是可解的 但当n稍大时 解析的求解就很难 数值求解非线性方程组也不容易 所以下面从分析Gauss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题 华长生制作 6 由插值余项知插值型求积公式的代数精度不可能低于n 另一方面 若取则有截断误差说明插值型求积公式的代数精度不可能达到2n 2 高斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式 华长生制作 7 定理1对于插值求值公式其节点是Gauss点的充分必要条件是多项式与任意不超过n次多项式P x 带权正交 即 华
3、长生制作 8 证 先证必要性 设P x 是任意次数不超过n的多项式 则的次数不超过2n 1 因此 如果是Gauss点 则求积公式对于是准确成立的 即有但故结论成立 再证充分性 设f x 是任意个次数不超过2n 1的多项式 用除f x 记商为P x 余式为Q x 即其中P x 和Q x 都是次数不超过n的多项式 于是有由于是插值型求积 它对于Q x 能准确立即 华长生制作 9 注意到知 从而有由此可见 求积公式对于一切次数不超过2n 1的多项式均能准确成立 因此 是Gauss点 定理得证 华长生制作 10 由于n 1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交 并且n 1次正交多项式恰好有n 1各互
4、异的实的单根 我们有下面的推论 推论n 1次正交多项式的零点是n 1点Gauss公式的Gauss点 利用正交多项式得出Guass点后 利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为其中是关于Gauss点的Lagrange插值基函数 华长生制作 11 定理2高斯型求积公式总是稳定的 证明只需证明高斯系数全为正即可 由于插值公式对次数不超过2n 1的多项式精确成立 若取是n次拉格朗日插值基函数 有即高斯系数全为正 从而算法是稳定的 华长生制作 12 定理3设 则高斯型求积公式是收敛的 定理4设 则高斯型求积公式的截断误差为 华长生制作 13 4 4 2高斯 勒让德求积公式在区间 1 1 上取权函数 取
5、正交多项式为Legendre多项式以n 1次Legendre多项式的零点为Gauss点的求积公式为称之为Gauss Legendre求积公式 其中 由前面的讨论知 正交多项式的零点就是高斯点 因此取不同的正交多项式就得到不同的高斯型求积公式 华长生制作 14 高斯 勒让德求积公式的余项为 华长生制作 15 当n 0时 一次Legendre多项式x的零点为0 为2 当n 1时 二次Legendre多项式零点为 为1 k 0 1 当n 2时 三次Legendre多项式零点为 以此为Gauss点 可构造出具有五次代数精度的3点Gauss Legendre求积公式 华长生制作 16 华长生制作 17
6、例用Gauss Legendre求积公式 n 1 2 计算积分 解由于区间为 0 1 所以先作变量替换x 1 t 2 得对于n 2 由三点Gauss Legendre公式有 令对于n 1 由两点Gauss Legendre公式有 此定积分的精确值为I e 2 0 718281828 得n 1时的误差为0 0063340054 n 2时的误差为0 000030049 华长生制作 18 2 高斯 切比雪夫求积公式在区间 1 1 上取权函数的正交多项式是Chebyshev正交多项式 n 1次Chebyshev多项式的零点为 以此为Gauss点 利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数为
7、其中是关于Gauss点的Lagrange插值基函数 从而有Gauss Chebyshev求积公式如下 华长生制作 19 对于n 2 三次Chebyshev多项式为 三点Gauss Chebyshev求积公式为 华长生制作 20 例计算积分 解选用n 2的Gauss Chebyshev求积公式计算 这时于是有 华长生制作 21 3 高斯 拉盖尔求积公式将插值型求积公式中的区间 a b 换成区间 0 权函数取为 取节点为n 1次拉盖尔多项式的零点 称这样的高斯型求积公式为高斯 拉盖尔求积公式 其表示式为 华长生制作 22 其中截断误差为 书上表4 6给出了部分高斯 拉盖尔求积公式的节点和系数 华长生制作 23 4 高斯 埃尔米特求积公式高斯 埃尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式其中节点为上带权正交的n 1次埃尔米特多项式的零点 华长生制作 24 系数截断误差 书上表4 7给出了部分高斯 埃尔米特求积公式的节点和系数
