1、1 6高斯求积公式 2 1 一般理论 求积公式 含有个待定参数 当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次 3 为具有一般性 研究带权积分 这里为权函数 求积公式为 为不依赖于的求积系数 为求积节点 适当选取 使其具有最高次代数精度 4 定理n 1个节点的插值型求积公式的代数精度不超过2n 1 证 令g x x x0 2 x xn 2 5 定义若n 1个互异节点的插值型求积公式的代数精度达到2n 1次 则称此n 1个互异节点为高斯点 此求积公式为高斯型求积公式 6 根据定义要使求积公式具有次代数精度 只要对 当给定权函数 求出右端积分 则可解得 令精确成立 7 例5 解 令公式 5 3
2、 对于准确成立 试构造下列积分的高斯求积公式 得 8 由此解出 从而 9 这样 高斯公式是 由于非线性方程组较复杂 通常就很难求解 故一般不通过解方程求 而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式 10 定理5 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过的多项式带权正交 证明 即 插值型求积公式的节点 必要性 设 则 11 因 即有 故成立 充分性 用除 记商为 余式为 即 其中 对于 12 由于求积公式是插值型的 它对于是精确的 即 再注意到 知 从而有 13 可见求积公式对一切次数不超过的多项式均精确成立 因此 为高斯点 定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式
3、的高斯点 有了求积节点 再利用 对成立 解此方程则得 14 下面讨论高斯求积公式的余项 利用在节点的埃尔米特插值 于是 也可直接由的插值多项式求出求积系数 即 15 两端乘 并由到积分 则得 其中右端第一项积分对次多项式精确成立 故 由于 由积分中值定理得为 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性 有 16 定理6 证明 它是次多项式 因而是次多项式 注意到 考察 上式右端实际上即等于 从而有 17 由本定理及定理2 则得下列推论 推论 定理7 定理得证 高斯求积公式是稳定的 即 18 2高斯 勒让德求积公式 在高斯求积公式中 由于勒让德多项式是区间上的正交多项式 因此 勒让德多项式的零点就是求积公
4、式的高斯点 此类高斯公式称为高斯 勒让德求积公式 区间为 则得公式 若取权函数 19 令它对准确成立 即可定出 这样构造出的一点高斯 勒让德求积公式 是中矩形公式 若取的零点作为节点构造求积公式 再取的两个零点构造求积公式 20 令它对都准确成立 有 由此解出 三点高斯 勒让德公式的形式是 表4 7列出了高斯 勒让德求积公式的节点和系数 从而得到两点高斯 勒让德求积公式 21 22 这里是最高项系数为1的勒让德多项式 余项 23 得 当时 有 它比区间上辛普森公式的余项 还小 且比辛普森公式少算一个函数值 当积分区间不是 而是一般的区间时 只要做变换 24 可将化为 对等式右端的积分即可使用高斯 勒让德求积公式 这时 25 例6 用4点 的高斯 勒让德求积公式计算 解 先将区间化为 根据表4 7中的节点及系数值可求得 有 26 3高斯 切比雪夫求积公式 若且取权函数 则所建立的高斯公式为 称为高斯 切比雪夫求积公式 27 于是高斯 切比雪夫求积公式写成 28 余项 带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分 29 例7 用5点 的高斯 切比雪夫求积公式计算积分 解 误差 这里
