1、一、高斯点定义：高斯公式机械求积公式含有 2n+2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次 （2n+1次 ?!） 代数精度 ，则这类公式称为 高斯公式 。(4.1)定义： 高斯公式的求积节点称为 高斯点。请回顾 :以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？除中矩形公式外都不是！注： 机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。举例 求 a,b上的两点高斯公式。解设两点高斯公式为这是关于四个未知数的非线性方程组， 是否有解？一般难于求解 要求其代数精度最高，四个未知数，可列出 4个方程 :高斯点 具有以下性质：定理 插值型求积公式 (4.1)成为 Gauss求积公
2、式的充要条件 ：求积节点 为 n+1次正交多项式的零点 。如何求高斯公式 ?正交多项式概述：首先证明 对于任给节点 x0， x1， ， xn，均存在某个次数为 2n+2的多项式 f(x),机械型求积公式 不能 精确成立，即其最高代数精度不能达到 2n+2 。如取：证明则有：设求积节点 为 n+1次正交多项式n+1(x) 的零点 。现证充分性。即求积公式是高斯型。证明现对于任意给定的次数不超过 2n+1的多项式 f(x),用 除 f(x)， 记商为 P(x)， 余式为 Q(x)，即 2n+1 n+1 n n由 已知条件， (x)与 P(x)正交，故得由于所给求积公式 (4.1)是插值型的，它至少
3、具有 n次代数精度，故对 Q(x)能准确成立：再 注意到 (xk)=0，知 Q(xk) = f(xk)， 从而有综之得：这 说明公式对一切次数不超过 2n+1的多项式准确成立，综之说明 xk是高斯点。再证必要性，即若是高斯求积公式设 P(x)是任意次数不超过 n 的多项式，则P(x)(x)的次数不超过 2n+1， 因此应准确成立但故 .求积节点构造的注：1、总可通过 施密特正交化 求出 a, b上与所有次数不超过 n的多项式都正交的多项式 n+1(x)。2、命题： n次正交多项式 有 n个单零点。解： 设 P0(x)=C， 1(x)= x x0。 由于即展开，得则 一个点的高斯公式为中 矩形公
4、式例 . 求 -1， 1上与次数为 0的多项式正交的多项式 1(x)=？二、高斯 勒让得公式若 a, b=-1, 1， 其上的高斯公式为称为 高斯 -勒让得公式 。-1， 1上的正交多项式称为 勒让得多项式 ，勒让得多项式 Pn+1(x)的 零点就是高斯点。几个 Legandre 多项式：若取 P1(x) = x 的零点 x0 = 0 作求积节点构造公式 ：令 它对 f(x) = 1准确成立，即可定出 A0 = 2.从而得到一点高斯公式：中 矩形公式令 它对 f(x) = 1, x 准确成立，即可定出 A0 ,A1可得两点高斯 勒让得公式为若取 的零点 作求积节点构造公式 注：更高阶的公式见书
5、 p122。请思考 :高斯 勒让得公式的求积区间是 -1， 1，那么对于任意求积区间 a, b如何办？解 作 变换可以化到区间 -1， 1上，这时三、带权的高斯公式 （更一般的表现形式）有时需要求如下带权的积分：称上述 (x)0是权函数。定义： 若求积公式具有 2n+1次代数精度，则称这类公式为 带权的高斯公式 .高斯点我们类似的可有：定理 是 高斯点的 充要条件：是 区间 a, b上 带权 (x)正交的多项式。若 a, b = -1， 1，权函数为所 建立的高斯公式切比雪夫 高斯公式称为 切比雪夫 高斯公式。xk是切比雪夫多项式的零点。4.7.4 Gauss-Chebyshelvquadra
6、ture formulaRemark 1 three term recurrence formula v.s. Schmidt orthogonolization;Remark 2 Tn are perpendicular polynomials;At last, well state the error estimation of the Gauss- Chebyshelv formula without the proof : According to the error estimation of the Gauss- Type formula,we have: Consult the table in p122.
