1、1 4.5 高斯求积公式 2 4.5.1 一般理论 求积公式 nkkkba xfAdxxf 0 )()(含有 个待定参数 22 n ).,1,0(, nkAxkk 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次 . kxn如果适当选取 有可能使求积公式 具有 次代数精度，这类求积公式称为 高斯 (Gauss) 求积公式 . ),1,0( nkx k 12 n3 为具有一般性，研究带权积分 ,)()( ba dxxxfI 这里 为权函数， )(x 类似 (1.3)，求积公式为 ,)()()(0 nkkkba xfAdxxxf （ 5.1） 为不依赖于 的求积系数 . ),1,0( nkA
2、k )(xf使（ 5.1）具有 次代数精度 . 12 n),1,0( nkx k 为求积节点， ,),1,0( nk kk Ax 及可适当选取 定义 4 如果求积公式 (5.1)具有 次代数精度， 12 n则称其节点 为 高斯点 ，相应公式 (5.1)称为 高斯求积公式 . ),1,0( nkx k 4 根据定义要使 (5.1)具有 次代数精度，只要对 12 n),12,1,0(,)( nmxxf m .12,1,0)(0 nmdxxxxAnkbammkk （ 5.2） 当给定权函数 ，求出右端积分，则可由 (5.2)解得 )(x).,1,0( nkAx kk 及令 (5.1)精确成立， 即
3、5 例 5 ).()()( 110010 xfAxfAdxxfx （ 5.3） 解 令公式 (5.3)对于 准确成立， 32 ,1)( xxxxf ;3210 AA试构造下列积分的高斯求积公式： 得 ;520000 AxAx;72121020 AxAx（ 5.4） .92131030AxAx6 由于 ,)()( 1011001100 AxxAAxAxAx 利用 (5.4)的第 1式，可将第 2式化为 .52)(32 1010 Axxx同样地，利用第 2式化第 3式，利用第 3式化第 4式，分别得 ;72)(52 11010 Axxxx从上面三个式子消去 有 ,)( 101 Axx .92)(7
4、2 121010 Axxxx7 .92)5272(72;72)3252(52100100xxxxxx进一步整理得 .9252)(72;7232)(5210101010xxxxxxxx由此解出 ,910,215 1010 xxxx从而 8 .277556.0,389111.0;289949.0,821162.01010AAxx这样，形如 (5.3)的高斯公式是 )8 2 1 1 6 2.0(3 8 9 1 1 1.0)(10 fdxxfx ).289949.0(277556.0 f由于非线性方程组 (5.2)较复杂，通常 就很难求解 . 2n故一般不通过解方程 (5.2)求 ， ),1,0( n
5、kAxkk 及而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式 . 9 定理 5 bxxxa n 10是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 )()()( 101 nn xxxxxxx 与任何次数不超过 的多项式 带权 正交， n )(xP )(x.0)()()( 1 ba n dxxxxP （ 5.5） 证明 即 插值型求积公式 (5.1)的节点 必要性 . ,H)( nxP 设 ,H)()( 121 nn xxP 则 10 nxxx , 10 是高斯点， 因此，如果 精确成立， )()()( 1 xxPxf n .)()()()()(011 nkknkkba n xxPAdxxxxP 因
6、),1,0(0)(1 nkx kn 即有 故 (5.5)成立 . 则求积公式 (5.1)对于 充分性 . 用 除 ， )(1 xn )(xf记商为 ， )(xP 余式为 ， )(xq 即 , )()()()(1 xqxxPxf n 其中 . nxqxP H)(),( ,H)( 12 nxf对于 由 (5.5)可得 .)()()()( baba dxxxqdxxxf （ 5.6） 11 由于求积公式 (5.1)是插值型的，它对于 是精确的， nxq H)( .)()()(0 nkkkba xqAdxxxq 即 再注意到 ),1,0(0)(1 nkx kn ),1,0()()( nkxfxq kk
7、 知 从而由 (5.6)有 baba dxxxqdxxxf )()()()( .)(0 nkkk xfA12 可见求积公式 (5.1)对一切次数不超过 的多项式均精 确成立 . 因此， 为高斯点 . 12 n),1,0( nkx k 定理表明在 上带权 的 次正交多项式的 零点就是求积公式 (5.1)的高斯点 . , ba )(x 1n有了求积节点 ，再利用 ),1,0( nkxk nkbammkk dxxxxA0)(对 成立， nm ,1,0 的线性方程 . ).,1,0( nkAk 解此方程则得 nAAA , 10 则得到一组关于求积系数 13 下面讨论高斯求积公式 (5.1)的余项 .
8、利用 在节点 的埃尔米特插值 )(xf ),1,0( nkxk ,12 nH.,1,0),()(),()( 1212 nkxfxHxfxH kknkkn 于是 )()!22( )()( 2 1)22(12 xnfHxf nnn 也可直接由 的插值多项式求出求积系数 nxxx , 10 ).,1,0( nkA k 即 14 两端乘 ，并由 到 积分，则得 )(x a b.)()()()( 12 fRdxxxHdxxxfI nba nba （ 5.7） 其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故 12 n nkkkn xfAIfR0)(由于 ,0)()(2 1 xxn .)()()!22( )(
9、2 1)22( ba nnn dxxxnffR （ 5.8） .)()()!22( )( 2 1)22( ba nn dxxxnf 由积分中值定理得 (5.1)的余项为 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有： 15 定理 6 ),1,0( nkAk 证明 ,)(0 nkjj jkjk xxxxxl它是 次多项式， n 因而 是 次多项式， )(2 xlk n2.)()()(0022 niikiba k xlAdxxxl 注意到 ,)(kiik xl 高斯求积公式 (5.1)的求积系数 全是正的 . 考察 故高斯求积 公式 (5.1)对于它能准确成立，即有 ,kA上式右端实际上即等于 从而有 1
10、6 由本定理及定理 2，则得 推论 定理 7 .)()()(lim0 bankkkn dxxxfxfA .0)()(2 ba kk dxxxlA 定理得证 . 高斯求积公式 (5.1)是稳定的 . ,)( baCxf 设 即 则高斯求积公式 (5.1)收敛， 17 4.5.2 高斯 -勒让德求积公式 在高斯求积公式 (5.1)中， ,1,1由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此， 1,1勒让德多项式 的零点就是求积公式 (5.9)的高斯点 . )(1 xPn形如 (5.9)的高斯公式称为 高斯 -勒让德求积公式 . 区间为 则得公式 ,1)( x若取权函数 .)()(011 nkkk x
11、fAdxxf（ 5.9） 18 ).0()( 01 1 fAdxxf 令它对 准确成立，即可定出 1)( xf .20 A这样构造出的一点高斯 -勒让德求积公式为 ),0(21)(1 1 fdxxf 是中矩形公式 . 若取 的零点 做节点构造求积公式 xxP )(1 00 x再取 的两个零点 构造求积公式 )13(21)( 22 xxP 31),31()31()( 101 1 fAfAdxxf19 令它对 都准确成立，有 xxf ,1)( .03131;21010AAAA由此解出 ,110 AA).31()31()(1 1 ffdxxf三点高斯 -勒让德公式的形式是 ).515(95)0(98
12、)515(95)(1 1 fffdxxf 表 4-7列出高斯 -勒让德求积公式 (5.9)的节点和系数 . 从而得到两点高斯 -勒让德求积公式 20 56888 89047862 87023692 69000000 00053846 93090617 980465214 52034785 48033998 10086113 630388888 89055555 56000000 00077459 670200000 00157735 030100000 00200000 0000.Axnkk表4-721 由 (5.8)式， ,1,1)()!22( )( 1 1 2 1)22( dxxPnffR
13、 nnn这里 是最高项系数为 1的勒让德多项式 . )(1 xPn由第 3章 (2.6)及 (2.7) .)1()!2( !)( 2 nnnn xdxdnnxP .122;,0)()(11 nmnnmdxxPxP mn公式 (5.9)的余项 22 得 ).1,1()()!22)(32( )!1(2 )22(3432 nnn fnn nfR（ 5.10） 当 时，有 1n).(1351 )4(1 ffR 它比区间 上辛普森公式的余项 1,1)(901 )4(1 ffR 还小，且比辛普森公式少算一个函数值 . 当积分区间不是 ，而是一般的区间 时， 1,1 , ba只要做变换 23 ,22 bat
14、abx 可将 化为 , , ba 1,1.222)( 1 1 dtbatabfabdxxfba （ 5.10） 对等式右端的积分即可使用高斯 -勒让德求积公式 . 这时 24 例 6 用 4点 ( )的高斯 -勒让德求积公式计算 3n.c o s20 2 x d xxI解 先将区间 化为 ， 2,0 1,1 1 1 23 .)1(4c os)1(4 dtttI根据表 4-7中 的节点及系数值可求得 3n.)4 6 7 4 0 1.0(.4 6 7 4 0 2.0)(30 IxfAIkkk 准确值由 (5.11)有 25 4.5.3 高斯 -切比雪夫求积公式 若 且取权函数 ,1,1 ba,1
15、1)( 2xx 则所建立的高斯公式为 .)(1 )(011 2 nkkk xfAdxxxf （ 5.12） 称为 高斯 -切比雪夫求积公式 . 26 由于区间 上关于权函数 的正交多项式是 1,1211x切比雪夫多项式， 因此求积公式 (5.12)的高斯点是 次 1n切比雪夫多项式的零点，即为 ),1,0(22 12c o s nknkx k (5.12)的系数 使用时将 个节点公式改为 ,1 nAk 1n n nkkxfndxxxf111 2 ),(1)(个节点， （ 5.13） 2)12(c o snkxk于是高斯 -切比雪夫求积公式写成 27 由 (5.9)，余项 )()!2(2 2 )
16、2(2 nn fnfR 带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分 . （ 5.14） ).1,1(28 例 7 用 5点 ( )的高斯 -切比雪夫求积公式计算积分 5n.1 e11 2 dxxI x解 当 时由公式 (5.13) 5n 51c o s 10 12e5kkI由 (5.14)式，误差 e!102 9 fR,e)(,e)( )2( xnx xfxf 这里 可得 .9 7 7 4 6 3.3.106.4 929 4.6 数 值 微 分 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的 导数值 . 30 4.6.1 中点方法与误差分析 按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得 到几种数值微分公式 ,)()()( h afhafaf 其中 为一增量，称为 步长 . h,)()()( h hafafaf （ 6.1） .2 )()()( h hafhafaf
