高等数学-三重积分习题课

1、,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示。

2、习题课 二重积分的计算,二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：,作出积分区域的草图,选择适当的坐标系,选定积分次序，定出积分限,1。关于坐标系的选择,这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑,一、主要内容,被积函数呈,常用极坐标,其它以直角坐标为宜,2。关于积分次序的选择,选序原则,能积分，少分片，计算简,3。关于积分限的确定,二重积分的面积元,为正,确定积分限时一定要保证下限小于上限,积分区域为圆形、扇形、圆环形,看图定限 穿越法定限 和不等式定限,先选序，后定限,直角坐标系,。先 y 后 。

3、导数的应用,1 函数单调性的判定法,第三章 习题课二,2. 曲线的凹凸与拐点,定理,3. 函数的极值及其求法,定理1(必要条件),定理2(第一充分条件),定理3(第二充分条件),步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,注意:如果区间内只有一个极值,4. 最大值、最小值问题,实际问题求最值:,1)建立目标函数;,2)求最值:,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,则这个极值就 是最值(最大值或最小值).,5 弧微分 曲率 曲率圆,二. 练习题,并在该点有水平切线，,有拐点（1，2），,有拐点（1，2）， 并在该点有水平切线。

4、,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第八章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,二、三重积分的计算,1.。

5、第六章 定积分应用习题课,一、定积分应用的类型,1几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,2物理应用,变力作功,水压力,引力,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1. 构造微元的基本思想,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、 “以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成 定积分 ,2. 在求解定积分应用问题时，主。

6、第六章 定积分应用习题课,一、定积分应用的类型,1几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,2物理应用,变力作功,水压力,引力,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1. 构造微元的基本思想,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部 上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分 ,2. 在求解定积分应用问题时，主要有。

7、,2,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,3,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,4,2、不定积分,(1) 定义,5,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,6,3、基本积分表,是常数),7,8,5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,9,常见类型:,10,6、第二类换元法,第二类换元公式,11,常用代换:,12,7、分部积。

8、 基本概念 一阶方程 类型1 直接积分法2 可分离变量3 齐次方程4 可化为齐次方程5 全微分方程6 线性方程 7 伯努利方程 可降阶方程 线性方程解的结构定理1 定理2定理3 定理4 欧拉方程 二阶常系数线性方程解的结构 特征方程的根及其。

9、本周调课通知,周五 3、4、5调至周三10、11、12 A408,第五章 定积分习题课,1定积分的定义：,2定积分的几何意义：,用图表示:,一、定积分的概念与性质,曲边梯形的面积,3可积的充分条件, 若 在区间 上连续，则 在 上可积., 若 在区间 上有界，且只有限个间断点， 则 在 上可积.,4定积分的性质,反号性：,与积分变量无关性：,线性性质：,区间可加性:,区间长：,保号性：如果在区间 上, ，则,单调性：如果在区间 上, 则,估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值，则,奇偶对称性：若 在 上连续，则,二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹。

10、,三 重 积 分,习题课(9),课件制作：全志勇 于红香,一、内容总结,1、三重积分的概念,(1)定义:,(2)物理意义:,2、三重积分的性质,(1)线性性质：,(2)可加性：,(4)单调性：若 在上， ，则,(5)估值性质: 设,的体积，则在 上至少存在一点 ，使得,(3) 的体积：,(6)中值定理：设函数 在闭区域 上连续， 是, 则,3、三重积分的计算方法,(1)利用直角坐标计算,a) “先一后二”法,则,b) “先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若 为 在 面上的投影区域,若,(2)利用柱面坐标计算,若,则,(3)利用球面坐标计算,若,则,4。

11、第八章 曲线积分与曲面积分,习题课,一、主要内容,二、线、面 积分的基本计算法,一、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,2.存在条件：,3.推广,注意：,二、对弧长的曲线积分的性质,三、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,类似地定义,2.存在条件：,3.组合形式,4.推广,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,四、对坐标的曲线积分的性质,五、对面积的曲面积分的定义,1.定义,六、对面积的曲面积分的性质,基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面的分类:,1.。

12、,三重积分,习题课(9),课件制作：全志勇 于红香,一、内容总结,1、三重积分的概念,(1)定义:,(2)物理意义:,2、三重积分的性质,(1)线性性质：,(2)可加性：,(4)单调性：若 在上， ，则,(5)估值性质: 设,的体积，则在 上至少存在一点 ，使得,(3) 的体积：,(6)中值定理：设函数 在闭区域 上连续， 是, 则,3、三重积分的计算方法,(1)利用直角坐标计算,a) “先一后二”法,则,b) “先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若 为 在 面上的投影区域,若,(2)利用柱面坐标计算,若,则,(3)利用球面坐标计算,若,则,4、三。

13、2019/5/13,重积分,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,第九章,2019/5/13,重积分,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,重积分,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似。

14、2019/9/20,同济版高等数学课件,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第十章,2019/9/20,同济版高等数学课件,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,2019/9/20,同济版高等数学课件,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,。

15、1,第八章 重积分,8.4 重积分的应用,8.4.5 三重积分习题课,基本方法：化三重积分为三次积分计算。,关键步骤：,(1)坐标系的选取,(2)积分顺序的选定（直角）,(3)定出积分限,2,要结合被积函数、积分区域两方面的因素综合考虑才能找到好的方案。,对积分区域要有一定的空间想象力，最好能画出的图形。如 的图不好画，也要画出在某坐标面上的投影区域的图形。,3,1、利用直角坐标系计算三重积分。,(1)“投影法”又叫“先单后重法”,设往xoy平面上的投影区域为Dxy，过Dxy内任一点而穿过内部的平行于轴的直线与的边界曲面至多两个交点，则,适用性较。

16、,第九章 重积分习题课(一),二 重 积 分,一、二重积分的概念,1定义 ：,2几何意义：,表示曲顶柱体的体积,3物理意义：,二、二重积分的性质（三重类似）,1线性性质：,2. 可加性：,4. 单调性：,3. 区域 的面积：,若在 上, ,则,设,5估值性质：,6中值定理：,7.奇偶对称性：, 是 的面积,0,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数,设函数 在闭区域 上连续,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数,则,三、二重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）X-型区域：,.,关键：选择积分次序,（2）Y-型区域：,2利用极坐标计算,四. 典型例题,由于在 上,故由二重。

17、三重积分及其计算,一、三重积分的概念,将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义,其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同,若极限存在，则称函数可积,若函数在闭区域上连续， 则一定可积,由定义可知,三重积分与二重积分有着完全相同的性质,三重积分的物理背景,以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量,下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。,二、在直角坐标系中的计算法,如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长。

18、三重积分习题课,当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv,则,三重积分,1. 直角坐标系下三重积分的计算,直角坐标系下，记体积元素,dv=dxdydz,则,Case1. 化成一个定积分和一个二重积分,设 D 为 在 xy 平面上投影区域.,y=y1(x),b,a,y=y2(x),例1. 计算,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,解： D: 0 y 1x, 0 x 1,例2. 计算,其中 是由抛物,柱面,及平面y=0, z=0,解： D: 0 y , 0 x ,y=y1(x, z),z,0,y=y2(x, z),Dxz,y,x,x=x2(y, z),z,0,x=x1(y, z),Dyz,y,x,例3. 将,化为三次定积分，其中, 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.,解：先对 z 积分，。

19、10 3三重积分概念与计算 二 平面x 0 y 0 z 0 x 2y z 1所围成的区域 先画图 1 1 Dxy Dxy x 0 y 0 x 2y 1围成 z 0 1 例1 计算三重积分 x 2y z 1 Dxy I x 2y 1 利用柱面坐标计算三重积分 规定 直角坐标与柱面坐标的关系为 z 动点M z 圆柱面S 常数 平面 z 常数 M r S z 柱面坐标的坐标面 动点M r z 半平面P 。

20、第九章 重积分习题课 (二),三 重 积 分,典型例题,主要内容,巩固训练,探索提高,一、三重积分的概念,1定义:,2物理意义:,二、三重积分的性质,1.线性性质：,2.可加性：,4. 单调性：若 在上， ，则,5估值性质：,的体积，则在 上至少存在一点 ，使得,3. 的体积：,7. 中值定理：设函数 在闭区域 上连续， 是, 则,三、三重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,(1) “先一后二”法,则,(2) “先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若 为 在 面上的投影区域,若,2利用柱面坐标计算,若,则,3利用球面坐标计算,若,则,。