1、,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xoy 面上的投影
2、记为,的面积为,则规定,类似可规定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.
3、,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2. 定义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,证:, 取上侧,机动
4、目录 上页 下页 返回 结束, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,定
6、义:,1. 两类曲面积分及其联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(4) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),
7、类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. P167 题2,提示: 设,则, 取上侧时, 取下侧时,2. P184 题 1,3. P167 题3(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,是平面,在第四卦限部分的上侧 , 计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,P167 题3(3). 设,作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2),第六节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 求,取外侧 .,解:,注意号,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用轮换对称性,机动 目录
8、 上页 下页 返回 结束,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯公式 通量与散度,第十章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,证明: 设,为XY型区域 ,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍
9、成立 .,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式：,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页
10、下页 返回 结束,利用重心公式, 注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式,例4. 设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.(见 P171),机动 目录 上页 下页 返回 结束,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1. 连通区域的类型,设有空间区域 G ,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为
11、空间二维单连通域 ;,若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域 .,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域 .,既是一维也是二维单连通区域 ;,是二维但不是一维单连通区域 ;,是一维但,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证: “充分性”.,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“必要性”. 用反证法.,已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数
12、,则存在邻域,则由高斯公式得,与矛盾,故假设不真.,因此条件是必要的.,取外侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 .,流出的,表明 内有泉;,表明, 内有洞 ;,根据高斯公式, 流量
13、也可表为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向向外的任一闭曲面 ,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设有向量场,其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在场中点 M(x, y, z) 处,divergence,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表明该点处有正源,表明该点处有负源,
14、表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如, 匀速场,故它是无源场.,P16 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且,*例5.,置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 通量与散度,设向量场,P, Q, R, 在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量
15、为,G 内任意点处的散度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2), 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ;3; 4,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,试证,证: 设 的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数
16、论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,三、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*四、向量微分算子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,
17、的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,则,(利用格林公式),定理1 目录 上页 下页 返回 结束,因此,同理可证,三式相加, 即得斯托克斯公式 ;,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意: 如果 是 xoy
18、 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界, 方向如图所示.,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线
19、方向余弦,公式 目录 上页 下页 返回 结束,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有,(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,与路径无关,(3) 在G内存在某一函数 u, 使,(4) 在G内处处有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,由斯托克斯公式可知结论成立;,(自证),设函数,则,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,同理可证,故有,若(3)成立, 则必有,因P, Q, R 一阶偏导数连续,故有,同理,证毕,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,与路径无关, 并求函数,
20、解: 令, 积分与路径无关,因此,例3. 验证曲线积分,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,三、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令, 引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,rotation,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理
21、意义:,例4.,求电场强度,的旋度 .,解:,(除原点外),这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的外法向量,计算,解:,例5. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*四、向量微分算子,定义向量微分算子:,它又称为( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,高斯公式与斯托克斯公式可写成:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在内与路径无关,在内处处有,在内处处有,2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件,设 P,
22、 Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 场论中的三个重要概念,设,梯度:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,散度:,旋度:,则,思考与练习,则,提示:,三式相加即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1); 4 (2) ; 6 补充题: 证明,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性
23、流体运动方程 ( 后称之,为纳维 斯托克斯方程 ),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线面积分的计算,第十章,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,练习题: P184 题 3 (1), (
24、3), (6),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P184 3 (1),P184 3(3). 计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P184 3(6). 计算,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注
25、意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,
26、机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10,3(5).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P185 6 .,设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P185 10.,求力,沿有向闭曲线 所作的,功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向
27、.,利用对称性,角形的整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设三角形区域为 , 方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,
28、机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,P185 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,P185 题4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算.,记半球域为 ,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.
29、计算曲面积分,其中,解:,思考: 本题 改为椭球面,时, 应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向,
30、计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,D 的形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P184 3 (2) , (4) ; 3 (2)5 ; 8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是,备用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄,象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄,像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求,(2) 在,解: 如图建立坐标系.,的时间内 , 卫星监视的地球,表面积是多少 ?,多少 ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处 播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,斯托克斯( Stokes ) 公式,
