1、第九章 重积分习题课 (二),三 重 积 分,典型例题,主要内容,巩固训练,探索提高,一、三重积分的概念,1定义:,2物理意义:,二、三重积分的性质,1.线性性质：,2.可加性：,4. 单调性：若 在上， ，则,5估值性质：,的体积，则在 上至少存在一点 ，使得,3. 的体积：,7. 中值定理：设函数 在闭区域 上连续， 是, 则,三、三重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,(1) “先一后二”法,则,(2) “先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若 为 在 面上的投影区域,若,2利用柱面坐标计算,若,则,3利用球面坐标计算,若,则,四、三重积分的应用
2、,(1)质量,(2)质心 ， ，,(3)转动惯量,五、三重积分的解题方法,计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标,三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域,所具有的特点。如果被积函数,积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果,被积函数 ，则可采用先二后一法计算；如果,被积函数 ，积分区域 为柱或 的投影,是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，,则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：,利用球面极坐标计算,先一后二的方法,Yes,No,No,Yes,转化为三次积分,先二后一的方法,求D1及截面面积,求,确定,上顶曲面 下顶曲面,为柱或 投影为圆域
3、,利用柱面坐标计算,确定,上顶曲面 下顶曲面,利用直角坐标计算,Yes,No,1,2,3,11,12,解题方法流程图,解: （如图）在平面 上的投影域 .,的上顶曲面 为 ，,即 ： 。,下顶曲面 为 。,于是，得,六、典型例题,【例2】 计算三重积分 。其中 是由曲面,与平面 ， 及 所围成的闭区域。,分析 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面,坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标,来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。,解: (1) 求 （如图）在平面 上的投影区域为,(2) 确定上顶曲面 及下顶曲面 。,(3) 转化为先对 后对 的三次积分计算：,因
4、为当 时满足 ， ,。因此,分析 由于积分区域 在 坐标面上的投影区域为圆域,且被积函数中含有 ，所以可采用柱面,坐标计算，即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。,解：积分区域 的如图所示。,在柱面坐标下,故有,被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域,故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法，即按照框图中,面上的投影区域为圆域 ，,所以本题也可采用柱面坐标计算，即按框图中线路1 12的方法计算。,解法1：利用“先二后一”方法计算。,由于 ，,线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域 在 坐标,分析 由于被积函数 只与变量 有关，且积分区域,其中 ，故,解法2：利用柱面坐标计算。,在柱
5、面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但“先二后一”法相对简便。,分析 由于积分区域 是由球面所围成的球域，且被积函数,线路2的方法计算比较简单。,在球面坐标系下，,中含有 ，故本题利用球面坐标计算，即框图中,解：积分区域 的图形如图。,故有,【例6】设 ，计算 ，,分析 由于积分区域 关于 面对称，而函数,关于变量 为奇函数，所以 ，又 ，,故本题可利用对称性及积分的性质计算。,解：,分析 本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的,综合题目。由于积分区域 为圆柱体, 故应首先利用柱面坐标,将三重积分 转化成积分变上限的函数，然后求导，最后,再利用洛
6、必达法则求极限。,解: 由柱面坐标得,从而有 ；于是,型,解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为,【例9】一均匀物体(密度 为常量)占有的闭区域是由曲面,和平面 所围成.,（1）求其体积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于,轴的转动惯量.,分析 同上题的分析，本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。,解法1：利用“先二后一”方法计算。,因,由于当 时， ；,而当 时， 。,巩固训练,故需用平面 将积分区域 划分为两部分：,其中,于是，得,解法2：利用柱面坐标计算。,在柱面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但利用柱面坐标
7、计算相对简便。,分析 由于积分区域 是由两个球面及平面所围成的球壳体，故,本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。,解：积分区域 的图形如图。,在球面坐标系下,故有,分析 由于 在 平面上的投影区域为圆域（如图），且,的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标,计算，即框图中线路2和线路112的计算方法。但由于被积,函数 而 的截面面积 又非常容易求, 因此，,又满足框图中线路3的条件，故亦可用“先二后一”法来求解。,解法1：利用球面坐标计算。,用圆锥面 将 分成两部分,其中,于是，得,解法2：利用柱面坐标计算。,由于 在 平面的投影区域 ；,故在柱面坐标下，,于是有
8、,解法3：用“先二后一”法计算。,用平面 将积分区域 划分为两部分： ，其中,于是，得,注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用三种方法来求解， 但其中的“先二后一”法最为简便。,【1】计算三重积分 。其中 为：,分析 由于被积函数中含有绝对值，所以应首先考虑如何去掉,绝对值注意到积分区域 关于三个坐标面均对称，同时被积,可将所求的三重积分简化为如下积分,其中 为 在第一卦限内的区域。而积分 可在直角,函数 关于 都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，,坐标系下采用先对 后对 的 “先二后一” 的方法计算。,探索提高,注：若本题用球面坐标法计算，尽管积分限很简单，但被积,函数的积分却不易求得。,【2】,计算,其中,是由曲线,绕,轴旋转一周所成的曲面与平面,所围成的闭区域.,
