1、,三重积分,习题课(9),课件制作：全志勇 于红香,一、内容总结,1、三重积分的概念,(1)定义:,(2)物理意义:,2、三重积分的性质,(1)线性性质：,(2)可加性：,(4)单调性：若 在上， ，则,(5)估值性质: 设,的体积，则在 上至少存在一点 ，使得,(3) 的体积：,(6)中值定理：设函数 在闭区域 上连续， 是, 则,3、三重积分的计算方法,(1)利用直角坐标计算,a) “先一后二”法,则,b) “先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若 为 在 面上的投影区域,若,(2)利用柱面坐标计算,若,则,(3)利用球面坐标计算,若,则,4、三重
2、积分的解题方法,二、作业选讲,(P72.四).计算三重积分,其中 是由,xOy 平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,三、典型例题,例1. 设,由,确定 ,由,所确定 , 则,C,上半球,第一卦限部分,例2. 把积分,化为三次积分,其中 由曲面,提示: 积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,例3 . 计算积分,其中 是两个球,( R 0 )的公共部分.,解法1 ：利用球面坐标计算.,用圆锥面 将 分成两部分,其中,于是,得,(由作业P71三1修改),解法2：利用柱面坐标计算.,由于 在 平面的投影区域为,故在柱面坐标下，,解法3 : 由
3、于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 计算方便 .,注意：从上面三种解法的计算过程中不难发现,“先二后一”法最为简便.,解,例4 .,分析：由于被积函数中含有绝对值，故应首先考虑,由三重积分的对称性结论，可简化所求三重积分.,设 为 在第一卦限内的区域，则,注意：若本题用球面坐标法计算,虽积分限很简单，,但被积函数的积分却不易求得.,利用“先二后一”计算.,例5. 试计算椭球体,的体积 V.,解法1,解法2,利用三重积分换元法.,则,令,例6.,设函数 f (x) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性;,(2) 证明 t 0 时
4、,(2003考研),解: (1) 因为,两边对 t 求导, 得, f (x) 恒大于零,(2) 问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,广义二重积分,例7. 求 ，其中 D 为 y = 4x2 与 y = 9x2在第一象限所围成的区域.,解：积分区域图形如图所示. 易见其为广义二重积分. 由被积函数可以看出，只能采用先对 x 积分后对 y 积分的积分次序. 此时区域 D 可表示为 .因此,解：取球心为坐标原点，圆锥的对称轴为 z 轴，,建立直角坐标系，如右图.,则球面方程为：,锥面方程为：,球顶锥体就是这两个曲面,所围成的区域 .,故,由于密度 常数且 关于z 轴对称，,采用球面坐标计
5、算三重积分：,故该物体的重心坐标为：,四、课堂练习,【2】计算三重积分 . 其中 是由锥面,与平面 所围成的闭区域。,【4】设 连续， ，其中,， 。求 ， 。,【1】设 ，计算 .,【3】计算三重积分 , 其中 是由圆锥面,与上半球面 所围成的闭区域。,【6】 计算三重积分 。其中 是由曲面,与平面 ， 及 所围成的闭区域。,【5】求 ，其中 是由球面,所限定的球域。,【7】将三次积分,改换积分次序为,.,课堂练习解答,分析： 由于积分区域 关于 面对称，而函数,关于变量 为奇函数，所以 , 又 ，,故本题可利用对称性及积分的性质计算。,解：,【1】设 ，计算 .,【2】计算三重积分 . 其
6、中 是由锥面,与平面 所围成的闭区域。,被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域,故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法计算比较简便；,所以本题也可采用柱面坐标计算,解法1：利用“先二后一”方法计算。,由于 ，,分析 由于被积函数 只与变量 有关, 且积分区域,其中 ，故,解法2：利用柱面坐标计算。,在柱面坐标下,故有,注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法,来计算，但“先二后一”法相对简便。,【3】计算三重积分 , 其中 是由圆锥面,与上半球面 所围成的闭区域。,分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。,解法1：利用“先二后一”方法计算。,因,
7、由于当 时， ；,而当 时， 。,故需用平面 将积分区域 划分为两部分：,其中,于是，得,解法2：利用柱面坐标计算。,在柱面坐标下,故有,注意：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。,【4】设 连续， ，其中,， 。求 ， 。,分析：本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限,综合题目。由于积分区域 为圆柱体, 故应首先利用柱面坐标,将三重积分 转化成积分变上限的函数，然后求导，最后,再利用洛必达法则求极限。,解: 由柱面坐标得,从而有 ；于是,【5】求 ，其中 是由球面,所限定的球域。,分析：由于积分区域 是由球面所围成的球域, 且被积函数,在球面坐标系下，,中含有 ，故本题利用球面坐标计算比较简单。,解：积分区域 的图形如图。,故有,【6】 计算三重积分 。其中 是由曲面,与平面 ， 及 所围成的闭区域。,分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面,坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.,解: (1) 求 （如图）在平面 上的投影区域为,(2) 确定上顶曲面 及下顶曲面 。,(3) 转化为先对 后对 的三次积分计算：,因为当 时满足 ， ,。因此,答案：,备选题,【1】计算 , 其中 是由圆锥面,与上半球面 所围成的闭区域。,提示：,答案：,【2】设,在,上连续,试证:,提示：,
