三 环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一 斯托克斯公式 二 空间曲线积分与路径无关的条件 四 向量微分算子 机动目录上页下页返回结束 第十章 一 斯托克斯 Stokes 公式 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关
同济大学高等数学课件D10_3Tag内容描述：
1、 三 环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一 斯托克斯公式 二 空间曲线积分与路径无关的条件 四 向量微分算子 机动目录上页下页返回结束 第十章 一 斯托克斯 Stokes 公式 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯。
2、,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线。
3、,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、 函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,机动 目录 上页 下页 返。
4、,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示。
5、,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,即,同理可证,、两式相加得:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2) 。
6、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,第九章,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把。
7、,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分,第十章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲。
8、第十节一 、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意 : 若函数在 开区间 上连续 ,结论不一定成立 .一 、最值定理定理 1.在 闭区间 上连续的函数即 : 设 则 使值和最小值 .或在闭区间内 有间断 在该区间上一定有最大(证明略 )点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 ,无 最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论 . 由 定理 1 可知有证 : 设上 有界 .二、介值定理定理 2. ( 零点定理 )至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束。
9、推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第八章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的基本概念,一、 区域,1. 邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,机动 目录 上页 下页 返回。
10、,第七章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度, 称为螺距 .,机动 目录。
11、2019/9/20,同济版高等数学课件,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第十章,2019/9/20,同济版高等数学课件,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,2019/9/20,同济版高等数学课件,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,。
12、,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线。
13、2019/5/13,高等数学课件,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十章,2019/5/13,高等数学课件,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1 目录 上页 下页 返。
14、,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯公式 通量与散度,第十章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,证明: 设,为XY型区域 ,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,正反两侧面积分正负抵消,在。
