二元关系

1、第2-2章 二元关系,2-2-1 集合的笛卡儿积,一、序偶,定义1.1 由两个元素x和y(允许x=y)按固定的顺序组成的二元组，叫做有序对(序偶)。,记作，其中x是第一元素，y是第二元素,序偶的特点：,1. 若xy,则 ,2. = 当且仅当 x=u , y=v,3. 序偶中两个元素不一定来自同一集合,代表单地址指令,a代表操作码，b代表地址码,定义1.2 一个有序n元组(n3)是一个序偶，其中第一个元素是一个有序n-1元组，第二个元素是一个客体。 一个有序n元组记作。,= ，xn, ，z= ，w,当且仅当 = z=w,二、笛卡儿积,定义1.3 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素。

2、二元关系习题课,一. 判断题 ( F) 设A、B、C和D是四个非空集合, 且ACBD，则AB且CD。 ( F ) 设A、B、C和D是四个集合，则AC=BD，iff A=B且C=D。 ( F ) 3. 传递关系的对称闭包仍是传递的。 ( F ) 4. 非空集合上的关系不是对称的，则必是反对称的。 ( T ) 5. 非空集合上的自反关系必不是反自反的。 ( F ) 6. 若R和S是二个有完全相同的二元组的集合，则称它们是相等的二元关系。 ( F ) 7. 设A是一个非空集合，则A上的等价关系都不是偏序关系。 ( T ) 8. 有限集上的全序关系必是良序关系。 ( F ) 9. 有限集上的偏序关系必是全序关系。 ( F ) 10. 。

3、1,2,3,一、有序对,由两个元素x和y(允许x=y)，按一定顺序组成的二元组称为有序对，记作。,(1) 有序性 （当x y时） (2) = 的充分必要条件是x=u y=v,如：平面直角坐标系中点的坐标。,二、笛卡儿积,4,设A, B为集合，用A中元素为第一个元素，B中元素为第二个元素构成有序对。 所有这样的有序对组成的集合叫做 A和B 的笛卡儿积，记作AB。AB = | xA yB ,5,例：A=1,2, B=a,b,cAB =, BA =,注意：若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn。,6,2. 性质： 对任意集合A， A=A= 不适合交换律 ABBA (当AB A B时) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (当A B C 时), 对于并或交运。

4、第七章 二元关系,2019/10/10,2,本章说明,本章的主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义和表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 本章与后续各章的关系 本章是函数的基础 本章是图论的基础,2019/10/10,3,第七章 二元关系,7.1 有序对与笛卡儿乘积 定义7.1 由两个元素x,y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作,其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 有序对具有以下性质： 当xy时， (2) = x=w y=v 例：已知=，求x和y。 解：由有序对相等的充要条件得x+3=y+7y-2=3y-x解得x=6,y=2,20。

5、第7章 二元关系,聊城大学重点课程 离散数学,本章说明,本章的主要内容 有序对与笛卡儿集 二元关系的定义和表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 本章与后续各章的关系 本章是函数的基础 本章是图论的基础,本章内容,7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系本章小结习题作业,7.1 有序对与笛卡儿积,定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对(ordered pair)或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它。

6、第六章,二 元 关 系,第三篇 二元关系,关系理论历史悠久。它与集合论、数理逻辑、组合学、图论和布尔代数都有密切的联系。关系是日常生活以及数学中的一个基本概念，例如：兄弟关系，师生关系、位置关系、大小关系、等于关系、包含关系等。 计算机程序的输入、输出关系； 数据库的数据特性关系； 数据结构本身就是一个关系等。 数据结构、情报检索、数据库、算法分析、计算机理论等计算机学科很好的数学工具。,第6章 二元关系,内容提要,6.2 二元关系,6.2.1 序偶与笛卡尔积,上,下；左，右；3，其中称x为的第一元素，y为的第二元素。,例6.2.1。

7、1,离散数学 Discrete Mathematics,主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院 2013.09,第4章 二元关系,二元关系,4.1二元关系基本概念 (重点) 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 (重点) 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 (重点及难点) 4.6 函数的基本概念,等价关系,本节内容主要说明等价关系和集合的划分(分类)之间的关系：,1.等价关系, 等价类, 商集, 集合的划分,2.集合的划分, 等价关系,等价关系,定义 等价关系： 设A上的二元关系R, 如果R是自反的, 对称的，传递的，则称R为等价关系。 若R，称x与y等价，记作xy。,等价关系,例1 数学中。

8、离散数学 CH4二元关系和函数,回顾,用推理规则证明：|= A,证明： 设论域D=a , b , c，求证：,第4章二元关系和函数,本章学习 1.集合的笛卡尔积 2.关系及其表示 3.关系的运算 4.关系的性质 5.关系的闭包 6.等价关系和偏序关系 7.函数的定义和性质 8.函数的复合和反函数,今日内容,集合的笛卡尔积 关系及其表示 关系的运算,笛卡尔乘积,定义：由两个元素x和y（允许x=y）按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对（也称序偶），记做，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 平面直角坐标系中点的坐标就是序偶。例如，,.都代表坐标系中不同的点。

9、第7讲 二元关系,离 散 数 学,本章说明,本章的主要内容 有序对与笛卡儿集 二元关系的定义和表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 本章与后续各章的关系 本章是函数的基础 本章是图论的基础,本章内容,7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系本章小结习题作业,7.1 有序对与笛卡儿积,定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对(ordered pair)或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 有。

10、第7章 二元关系,离 散 数 学,本章说明,本章的主要内容 有序对与笛卡儿集 二元关系的定义和表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系,7.1 有序对与笛卡儿积,定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对(ordered pair)或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 有序对具有以下性质： （1）当xy时，。 （2）的充分必要条件是xu且yv。,说明,有序对中的元素是有序的 集合中的元素是无序的,例7.1,例7.1 已知，求x和y。,由有序对相等的充要条件有 x+25 2x+y4 解得 x3,y-2。,。

11、4/25/2019 12:44 AM,liu qun, northeastern Univ.,1,4.1笛卡儿积与二元关系,在现实社会中有许多事物是成对出现的，而且其中的两个事物是有一定次序的，例如 一双鞋子有左右只， 影剧院的坐号的表示（排号） 平面上点的表示，等， 概括起来，数学上用两个有次序的元素组成一个称之为序偶的结构就可以表示现实世界中那种成对出现而且有一定次序关系的事物,4/25/2019 12:44 AM,liu qun, northeastern Univ.,2,两个具有固定次序的客体组成的集合，记作：,序偶,1.序偶可看作是具有两个元素组成的集合，即=x,x,y。 2.序偶刻画了两个客体间的次序。

12、温 故 而 知 新 !,67-1,温故而知新!,2020年1月8日星期三,温 故 而 知 新 !,67-2,集合的表示法,集合是由它包含的元素完全确定的，为了表示一个集合，通常有：列举法、隐式法（描述法）、归纳法、文氏图等表示方法。,温 故 而 知 新 !,67-3,2.2集合的运算,定义 设A、B是两个集合，则 ABx|xAxB 仍是一个集合，称为集合A与B的并集，称“”为并运算（Union Operation）。 用文氏图表示如下：,温 故 而 知 新 !,67-4,交集,定义 设A，B是两个集合，则 ABx|xAxB 仍是一个集合，称为集合A与B的交集，称“”为交运算（Intersection Operation）。用。

13、1第四章 二元关系与函数一、选择：1设集合 A=a, b, c，R=,，则 R 是 。自反的 反自反的 对称的 反对称的 传递的 不可传递的2集合 A=a, b, c, d, e, f, g，A 上的一个划分 =a, b, c, d, e, f, g，则 所对应的等价关系 R 应有 个有序对。15 16 17 18 14 49 2 73A=2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24，R 是 A 上的整除关系，则 A 的极大元是 ；极小元是 。2 和 3 2, 3 和 5 10 和 24 10, 12, 2424 和 6 只有 24 1 1, 2, 3, 4, 54A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R 是 A 上的整除关系。子集 B=2, 4, 6, 8，则 B 的最小元是 ；B 的最大元。

14、第一页实验项目二元关系及其性质实 验 报 告 内 容【实验目的】掌握二元关系在计算机上的表示方法，并掌握如何判定关系的性质。【实验内容】 编程判断一个二元关系是否为等价关系，如果是，求其商集。等价关系：集合 A 上的二元关系 R 同时具有自反性、对称性和传递性，则称 R 是 A 上的等价关系。【实验原理和方法】（1）A 上的二元关系用一个 nn 关系矩阵 R= 表示，定义一个 nn 数组 rnn表nijr)(示 nn 矩阵关系。（2）若 R 对角线上的元素都是 1，则 R 具有自反性。int i,flag=1; for(i=0;iq 如果 flag=1， 则 R 是自反关系。（3）若 R 。

15、1,离散数学 Discrete Mathematics,主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院 2013.09,第4章 二元关系,二元关系,4.1二元关系基本概念 (重点) 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 (重点) 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 (重点及难点) 4.6 函数的基本概念,偏序关系,偏序关系 Hasse图（重点） 重要元素（重点） 拓扑排序,偏序关系,定义 偏序关系： 设A上的二元关系R, 如果R是自反的, 反对称的，传递的，则称R为偏序关系，记为“”, 称为偏序集。 若R，称“x小于等于y”，记作x y。,偏序关系,例1 几个常见的偏序关系： (1)A上的小于等于关。

16、1“二元”(“多元”)关系辩证思考寻求审题立意的突破口与创新点一看材料作文题，考生总是犹豫不已：我到底该怎样从“材料”中打开审题立意的突破口呢？近几年，高考作文命题越来越降低身段，更加贴近考生实际，使考生审题零距离，这种做法尽管使考生几乎没有了审题之忧，但随即又产生了新问题：我审题立意的创新点又在哪里呢？动笔之前审题立意难的问题困扰着不少考生。如何才能走出这个困局呢？指点技巧，找到提升门径几乎一切新材料作文，其本质都是“关系”型，材料中都或明或暗地存在着“A 与 B”或“A 与 B 与 C”这种“二元”或“多。

17、第7章 二元关系,离 散 数 学,统计与数理学院,本章说明,本章的主要内容 有序对与笛卡儿集 二元关系的定义和表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 本章与后续各章的关系 本章是函数的基础 本章是图论的基础,本章内容,7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系本章小结习题作业,7.1 有序对与笛卡儿积,定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对(ordered pair)或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它。

18、第三章 二元关系,二元关系,定义相关:按照某种规则，确定二个对象或多个对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相关的。,注意:相关性与指定的规则有关。,(1)扑克牌中的方块与梅花同花关系：不相关同点关系：相关(2)父子二人同辈关系：不相关父子关系：相关,注：二元关系：二个对象之间相关的关系多元关系：多个对象之间的关系多元关系常化成二元关系来研究无序的二元关系：方块与梅花，谁在前，谁在 后都还是同点的 有序的二元关系：父子关系，不能交换父与子的次序,又如: （1） 偶数，与是无序的用，表示无序对（2），与是有序的二元关。

19、二元关系,1 有序对与笛卡儿积,2 二元关系,3 关系的运算,4 关系的性质,5 关系的闭包,6 等价关系与划分,7 偏序关系,定义1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。,1 有序对与笛卡儿积,性质： 1当xy时，。 2=的充分必要条件是x=u且y=v。,与x,y的区别：,有序对中的元素是有序的，而二元集中的元素是无序的。,当xy时有x,y=y,x ，而 。,例1 已知=，求x和y。,解 由有序对相等的充要条件有 x+2=5 2x+y=4 解得x=3,y=-2。,定义2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，。