1、1,离散数学 Discrete Mathematics,主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院 2013.09,第4章 二元关系,二元关系,4.1二元关系基本概念 (重点) 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 (重点) 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 (重点及难点) 4.6 函数的基本概念,偏序关系,偏序关系 Hasse图（重点） 重要元素（重点） 拓扑排序,偏序关系,定义 偏序关系： 设A上的二元关系R, 如果R是自反的, 反对称的，传递的，则称R为偏序关系，记为“”, 称为偏序集。 若R，称“x小于等于y”，记作x y。,偏序关系,例1 几个常见的偏序关系： (1)A
2、上的小于等于关系，A=1,2,3,4,5,6： 1 = xy，x，yA (2) A上的整除关系， A=1,2,3,4,5,6 ： 2 x|y，x，yA (3)P(A)上的包含关系， A=1,2,3 ：3s1s2， s1，s2P(A) (4)任务集S=T1,T2, , Tn 上的关系 R4=|Ti=Tj或Ti必须在Tj之前完成,偏序关系,关于例1(4)的一个举例： 如完成室内闪光拍照的任务，任务集T包括任务： 1、打开镜头盖； 2、照相机调焦； 3、打开闪光灯； 4、按下快门按钮。 在T上定义关系R： R如果i=j或者任务i必须在任务j之前完成。 则R=,偏序关系,定义 设R 为非空集合A上的偏
3、序关系, x, yA,则x与y可比 x yy x 定义 设R 为非空集合A上的偏序关系, x, yA, 则y盖住x xy 且不存在 zA 使得 xzy,Hasse（哈斯）图,例2 设A=2,3,6,12,24,36，“”是A上的整除关系R，画出其关系图。,关系图,2,3,6,12,36,24,2,3,6,12,36,24,简化的关系图Hasse图,Hasse图,简化的关系图Hasse图（哈斯图）(1)自反性：每个顶点都有自回路，省去。 (2)反对称性：两个顶点间只可能有一个箭头，从小到大(或从低到高)安置顶点，可省略箭头。(3)传递性：由于有，R，则R，故只画，对应的边，省略边。,Hasse图
4、,Hasse图的画法“层次”与“连线” (1)极小元放在第一层（最底层）。 (2)若第n层已放好，则第n+1层的元素满足至少能盖住第n层的一个元素。（层次） (3)若y盖住x ，则x，y之间连线。（连线）注：哈斯图体现了偏序集中元素间的“大小”和“层次”关系。,Hasse图,例3 画出例1中各关系的Hasse图：A1,2,3,4,5,6,7,8,9, Ba,b,c, S =1, 2, 3, 41 x y，x，yA2 x | y，x，yA3s1s2， s1，s2P(B)R 4=|Ti=Tj或Ti必须在Tj之前完成且Ti,Tj S =,Hasse图,1,2,全序集,Hasse图,4,3,3,4,全
5、序关系,定义 全序关系任意两个元素都可比 设是一个偏序集，若对任意x, yA，总有x y或y x，二者必居其一，则称 “”为全序关系，或者线序关系。称为全序集，或者线序集，或者链。,偏序集中的重要元素,设偏序集, B A，b表示相应的特殊元素， B的极小元B中没有比b 小的元素bB 且 x(x B x b) B的最小元B中所有的元素都比b大bB 且 x(xBb x) 极大元和最大元类似定义。 注：上述元素都在B中寻找。,偏序集中的重要元素,设偏序集, B A，b表示相应的特殊元素， B的上界B中所有的元素都比b小bA 且 x(xBx b) B的上确界上确界B的上界的最小元 下界和下确界类似定义
6、。注：上述元素都在A中寻找。,偏序集中的重要元素,例4 设偏序集，求A的极小元、极大元、最小元、最大元。设B b,c,d , 求B的下界、上界、下确界、上确界. 解： 极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和下确界都不存在； 上界有 d 和 f, 上确界为 d.,偏序集中的重要元素,性质： (1) 对于有穷集，极小元和极大元一定存在，可能存在多个。 (2) 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一。 (3) 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元。 (4) 孤立结点既是极小元，也是极大元。 (5) 下界、上界、下确界、上确界不一定存在，存在不
7、一定唯一。 (6) 下确界、上确界如果存在，则惟一。,偏序集中的重要元素,练习 的Hasse图如下所示，讨论当B取相应集合时，其最大元，最小元，极大元，极小元，上界，下界，上确界，下确界。B1=a,b, B2=a,b,c, B3=a,b,c,d, B4=b,c,d,f,B5=a,c,f, i ,无,小结,偏序关系是“次序”关系，但不一定是“全序”关系。 哈斯图是偏序集的简化图，通过“层次”关系来表达元素的“大小”关系。 偏序集中的特殊元素可以通过哈斯图来寻找。,作业,1.下图中给出了偏序集的Hasse图。 (1)试分别以集合、关系矩阵、关系图三种方式写出该偏序关系； (2)求A的最大、最小元（若存在的话）； (3)求A的极大、极小元； (4)求子集 b , c , d , c , d , e 和 a , b , c的上下界以及上下确界。,作业,2.设S=0,1,F是S中的字符构成的长度不超过3的串的集合，即F= , 0, 1, 00, 01, . , 111, 其中表示空串。在F上定义偏序关系R： R x是y的前缀。 (1)请画出的Hasse图。 (2)求出的极小元和最大元。 (3)设G=10, 011, 求G的上确界和下确界。,
