1、第三章 二元关系,二元关系,定义相关:按照某种规则，确定二个对象或多个对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相关的。,注意:相关性与指定的规则有关。,(1)扑克牌中的方块与梅花同花关系：不相关同点关系：相关(2)父子二人同辈关系：不相关父子关系：相关,注：二元关系：二个对象之间相关的关系多元关系：多个对象之间的关系多元关系常化成二元关系来研究无序的二元关系：方块与梅花，谁在前，谁在 后都还是同点的 有序的二元关系：父子关系，不能交换父与子的次序,又如: （1） 偶数，与是无序的用，表示无序对（2），与是有序的二元关系，叫作相关于，记成，用（，）表示有序对（3）无序的二元关系可用有序的二元关系
2、表示即（，）与（，）都属于这种二元关系,定义2: 二元关系-按照某种规定，定义了一个有序对（，）的集合，其中，称为到的一个二元关系。,注意: 二元关系是指满足某规律的有序对的全体。,（，），其中读作相关于。,定义3: 当时，是到的二元关系,称为上的二元关系。,例：（，） /，是自然数集上的二元关系,定义: 二元关系的表示：因为二元关系本身也是集合，也可用穷举法，描述法来表示，还可用表格，图示，矩阵法表示。,例如： 张三，李四，王五，赵六米，跳高，铅球，足球，跨栏 穷举法表示：（张三，铅球），（张三，足球），（李四，米），（李四，跳高），（王五，跨栏），（赵六，米） 是运动会的报名表。,用字母数
3、字来代替这些元素， ， ,表格表示法：用表格表示一目了然,图示法：关系图，直观,相关矩阵法表示：把，集合内元素排好序, ,由于直交积（，），二元关系（，），可见二元关系是直交积的子集。若，则相关矩阵元素全为，,注：（1）若B，称此二元关系为普遍关系（2）设1，2，n（i，j）i，j若（i，i）i称为恒等关系，用A表示，是单位矩阵,把二元关系看成函数关系（，），称为的定义域，记称为的值域，记 当定义域与值域交换得C（，）（，），称为的逆关系。, 二元关系的运算,二元关系是集合，集合存在并，交，差，非和对称差的运算。故二元关系也存在这样的运算。,设1和2是到的二元关系，则（1）12（，）（，）1或
4、 （，）2 （2）12（，）（，）1且 （，）2 （3）1-2（，）（，）1 但 （，） 2,（5）12（，）（，）12 但 （，）12,例：，为整数集,解：与都是上的二元关系（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）（，） （，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）,注：二元关系的矩阵运算：相关矩阵可表示二元关系，可用矩阵的逻辑运算 来研究二元关系的运算。,R ,设: 1，2，n1，2，m1（ij）2（ij）,其中:逻辑加()：， ， 逻辑乘()：， ， ,则用矩阵的逻辑运算:,二元关系的复合,定义：设1为到的二元关系，2为到的二元关系，1（，
5、）1，2（，）2，则12是由到的二元关系， 称为1，2的复合关系,3（，）（，）1， 且 （，）2 记 312。,例：是父子关系，则是祖孙关系。,则：1（1，1），（1，3），（2，2），（2，4），（3，3），（3，4）,（4，1），（4，4） 是选双学位专业的二元关系。,2（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，2），（4，4）是各专业本学期必修课的二元关系。,312（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）是选双学位学生本学期必
6、修课的二元关系,普通的矩阵乘法：,而二元关系的复合的矩阵布尔型乘法：,在行处标上姓名，列处标上课程，就知谁该必修哪些课了。,若是上二元关系，（，）， 若设: 1(1)22（，）（，），（，）(2)设nn已定义，则n+1nnn+1= （，）（，），（，） ,例：（，），（，），（，），（，），（，），（，） 是有限集，上的二元关系的关系图：,2（，），（，），（，），（，），（，），（，），(，），（，），（，） ,2的关系图中不存在（，），（，），故2,n的关系图的构造：可由的关系图来构造，从的每个结点ai出发，数n条边。凡通过数n条边能到达的结点aj，则有（ai，aj）n。关系图中从i出发到
7、j的边是存在的。这样处理容易出错，用相关矩阵的布尔型乘法来做，简单，又不容易错，还适宜于计算机处理。,二元关系的逆关系：运算设，是到的二元关系，是到的二元关系，是到的二元关系。则：,证明其中:(1)任意 （，）（）C（，）（）（，） 或 （，）（，）C 或 （，）C（，）C C,(7) （）CCC 证： 对（，）（）C，有 （，） ，使（，），（，）即：（，）C，（，）C （，）CC,证明：等式不成立若，1，2，且（，1），（，2），（，1）， （，2） ，（1，），（2，），显然 （ ）但 （，） （）,(10) 证：（x,y) Rc (y,x) R(y,x) s (x,y) Sc,注：（）
8、不一定成立，由于（）若上式成立，则（）=, 上各类二元关系的性质,设是上的二元关系，=(rij)n*n (1)自反性:对，（，），则称为自反的二元关系。显然，rii1（，n)反自反性:对，（，），则称为反自反的二元关系。即rii （，n),注:自反和反自反性互斥，但不互补。如：rij中既有0又有1，则R既不是自反的也不是反自反的。,(2）对称性：若, a（，）,必有（，），称为对称的二元关系即的相关矩阵为对称阵，ijji,反对称性：若，（，）,则（，），称为反对称的二元关系。,注: （1）的相关矩阵是反对称的，即rijrji （） （2）若rij，则rji=，但rij时，不要求rji，即rij
9、rji是允许的。(3) 对称性与反对称性既不互斥，又不互补,注: rij，rjk中有一个不是,则 =1, rik就可以任意。,即若(，),(，)中有1 个不属于R，则讨论（a,c)是否属于R，无意义。即没有传递的条件，也不需传递的结果。如:a,b,c,d，（，）,（，）,二元关系的性质对应于关系图，有：（1）自反性：每个顶点都有自回路，（2）反自反性：每个顶点都没有自回路；（3）对称性：任二个顶点间或没有边，或有二条相对而指的有向边；（4）反对称性：任二个顶点至多只有一条有向边；（5）传递性：若到有边，到有边，则到必有边。,注： 由对称性与传递性可推出自反性。 理由： 若（，），由对称性，有（
10、，），由传递性有（，）。,如：R的相关矩阵是全0矩阵，是对称的， 传递的，反自反的，但不是自反的。,错误原因：不是， 使（，）。,例：1（，）， ，自反的，rii=1;不对称的，(1,2) R1,而(2,1) R1反对称的，传递的。注：将改为，则无自反性，且是反自反的。,例：2（，），自反的，不对称的，反对称的，传递的。,例：3（1，2）12，1，2（）其中（）是的幂集。自反的，不对称的，反对称的，传递的。注：若改为，则无自反性。,例：4（，）偶数， ，自反的，对称的，传递的，因：偶，偶，则：（）（）偶数与偶数之差偶数。,例：5（，）（，）（互素），对称的，但不是自反的，也无传递性。,定理1：
11、设是上的二元关系，则A一定是自反的，而且是包含，具有自反性的最小关系。（其中A是上恒等关系）。,定义1：称A是的自反闭包，记为r(R）。证明： 对，（，）A A，且A。若为包含且具有自反性，则A ，A。即A为最小。,推论1：当且仅当是自反闭包，具有自反性。,定理2：设是上的二元关系，则c是对称的，包含的最小关系,（其中C是的逆关系）。,定义2：称C是的对称闭包，记为s(R)。 证明： 若（，）C，则（，） 或（，）C，（，）C 或（，）故（，）C（对称性），若为包含，对称的二元关系，则对（，）C，若（，）（，）；若（，）C （，）， （，）又具有对称性，（，），故C。,推论2：当且仅当是对称闭
12、包时，具有对称性。 证明：（1）具有对称性，若（，），则（，），又（，）c即（，）c，（，）（，）C C；(2）是对称闭包时，C具有对称性。,定义3: 传递扩张 设（，），则称1（，）（，），或,使（，），（，）为的传递扩张。,注：(1)1(2)1不一定是传递的，如：（，），（，），（，）1（，），（，），（，），（，），（，）由（，），（，），（，）， （，）又产生了新的传递条件，而（，）1，1不是传递的。,(3) 当且仅当是传递的，1。 证明：“”： 是传递的，（1）对 （，）1， 有（，） 或 c，使（，），（，），由的传递性，（，），故1 ，得1。“”：1若（，），（，），则（，）1，
13、是传递的。,注：（1）若1不是传递的，可扩张到2，3，k ；（2）若k是传递的，则k+1k。,定义3：设0，k+1是k的传递扩张（，），则称*012k为的传递闭包,也记作t(R)。,定理3 传递闭包*2k证明： 2（，）（，），（，）1（，）（，） 或（，），（，）2 2（，）（，）1，或 （，），（，）1,（1）若（，），（，），则（，）， （2）若其一，如(，）另一，如 (c，） 则（，）3， （3）若（，），（，）则（，）4 22， 即2234,假设k（，）（，），或 ，或 （，）2k 则 k+1（，）（，）k，或 （，）， （ ）k当（，）i，（，）j，（，2k）（，k+1） 有k+1
14、（，）（，），或 或（，）2k+1 1 232k+1,定理4：传递闭包*一定是传递的。证明：设（，）（，）* ，则，使（，）i，（，）j，故（，b）(i+j)*,传递扩张的实际意义： 举例：（，）与是父子关系（，）与是祖孙关系（，）与是三代以内男性直系亲属 ,证明： 对（，）* ，使（，）k，表明在中存在不同元素1，2，k-1，使（，1），（1，2），（2，3），（k-1，）。若，由鸽洞原理，则1，2，k-1，中至少有两个相同，不妨设i，（）。,定理5： 设，是上二元关系，则存在正整数，使* 2k。,于是（，1），（i，i-1 ）,（i-1 ,）， 故（，）i， 即 若，必存在比的正整数，使（
15、，）i。,注： 定理说明，可用2n来求* 。,例： 设，（，），（，），(，） 求* 。,算法：（）设是个元素集合上的二元关系(1)是的相关矩阵；(2)；(3) i j,i j,kj,ki,k(4)=；(5) i ， go (3) ,注： 当较大时，用定理5计算* 工作量非常大。,注：（1） 结果(aij)nxn是*的相关矩阵。（2） 算法的复杂度为3。,例6：重新计算*,例：，（，），（，），（，） 计算*。,(1)i=1 由于aj1=0(j=1,2,3,4) 不改动(2)i=2 j=1, aji=1 a13=1(3)i=3,j=1, a13=1 a14=1j=2, a23=1 a24=1即
16、* （，），（，），（，），（，），（，），（，）, 等价关系, 等价关系,定义1 等价关系: 上的二元关系，如果是(1）自反的(2）对称的(3) 传递的称为等价关系。 （，），称与等价，记作。,定义4.2 等价类:把中的等价元素归为一类，称为等价类。 注：等价关系把的元素分为若干类，各类之间没有公共元素。确定的是对集合进行的分划。,定义4.3集合的分划：把集合分为若干子集1，2，满足：（1）当时ij（2） ， ，使i（，） 则集合Pr（）1，2，n，称为的一个分划。,定理1：在等价关系下的等价类正是的一种分划，的任一种分划，也必有上的一个等价关系与之对应。,证明：是等价关系， ，由的自反性，
17、（，），即与属于同一等价类，也即，i若，ij，而ij ，则ij，i，且j, 对i，j对j，即(对称性)由传递性，由，的任意性，故ij,若已进行了分划，则构造二元关系。(1)，使（，）. (2)分别对每一等价类内所有两个不同元素，（，），使（，）.显然，是自反的，对称的，而且也是传递的，因为若（，），（，） ，则，均在同一等价类内，故（，）。,与i和j 为不同的等价类矛盾。故ij 所以,完成了等价类的分划,例：张扑克1（，）与同花，是扑克2（，）与同点，是扑克则: 1把分为四类同花类，2把分为类同点类。,例：，（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）
18、，（，），（，），（，）,是等价关系，但不直观，用关系图表示。,三个不连通的图,二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把分成了三个等价类，（），,定义：商集的元素个数（即在下的等价类个数）称为的秩，,定义 商集：等价关系R将A分成若干等价类，每个类选个代表组成新的集合称为A关于R的商集，表示为A/R。 例：在上例中A/R，,例：（，） （），是整数集合上模同余的二元关系. 证明R是等价关系。 证明：由于（）（） (1) （）， 自反性 (2)若（），则（）对称性 (3)若（），（），则（）（）（）满足传递性,故是等价关系 商集：， 其中 ，,例：的一个分划为：若i-1i，则i，对应的等价关系（
19、，）与有相同位数，相同位的数归为一类，此把分划为可列个等价类。,定义相容关系：上的二元关系，若是自反的，对称的，称为相容关系。注：等价关系必然是相容关系。,定理2：若1，2是上的等价关系，则12也是等价关系。 证明：123，3传递。,(1），由1，2自反（，）1，（，）2，于是（，）123，3自反(2)若（，）3，则（，）1且（，）2，由1，2对称（，）1，（，）2于是（，）123，3对称, 等价关系的运算,(3)若（，）3，（，）3,于是（，）123，3传递。 归纳以上三点，312也是等价的二元关系。,定理3：若1，2是上等价关系，则12是相容关系。注：12 不一定 是等价关系。,证明：设4
20、12(1)，（，）1，（，）2，于是（，）124。(2）若（，）4，（，）1或（，）2由1，2对称性，（，）1或（，）2，于是（，）124,注：412是相容的，即12不一定是等价关系若（，）4，（，）4（，）与（，）可能分别属于1与2，无法保证12的传递性。,例：，1（，），（，），（，），（，），（，）2（，），（，），（，），（，），（，）412（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，） 显然，（，），（，c）12 但（，c）12（不具有传递性）， 但（12）*一定是传递的。,定理4：若1，2是上等价关系，则（1 2）*也是上等价关系。,证明：(1)，（，）（12）（12）*(
21、2)（12）是对称的，只需证明对称的二元关系的传递扩张还是对称的。设是上对称的二元关系，1是的传递扩张，若（，）1，则（，）或（，），a. 若（，），（，），故(，)1;,由（12）对称（12）1也对称，对任一，（12）k也对称。若（，）（12）*，则，使（，）（12）k，故（，）（12）k （12）*，于是（12）*是对称的。（3）任一传递闭包都具有传递性。即证。,b. 若（，），则，使（，），（，） （，），（，） （，） （，）1,等价关系对应于集合的一种分划。设1，2是上等价关系，对应的分划为1，2，12对应于12，称为二个分划的积，使分划分更细；12对应于（12）*，称为两个分划的和
22、，使分划比1，2要粗。,例：，,. 等价关系的运算与分划的关系,1（，），（，），（，），（， ），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）,2（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）， (，），（，）， ( f , j ) ，（，），（，），
23、（，），（，），（，），（，），（，），（，）,12（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）,12（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
24、（，），（，）,但12不是传递的，如：（，），（，）12，而（，）12。 把12扩张到传递性满足，就是（12）*。,例: 张扑克牌1（，）与同花，是扑克 12（，）与同点，是扑克 212 12把扑克分成张单张（12）* 12把张扑克归为同一类,定义平凡分划：集合A的最粗或最细的分划，称为平凡分划。,注:（1）等价关系，用穷举法很难判别（2）用关系图比较直观，明确（3）用集合的分划来研究等价关系, 半序关系,定义：半序关系（偏序关系）是上的二元关系，如果满足：(1) 自反的 (2）反对称的(3) 传递的 则称是上半序关系。,例：，1（，） ，2（，） |，3（1，2）12，1，2（）,记号：=（
25、，）|b, ，其中可为 ，|， ,注：（1）用矩阵表示半序关系，不能明显看到二元关系的特征。（2）用简化的关系图表示较适合。,简化的关系图：(1)自反性：每个顶点都有自回路，省去。 (2)反对称性：两个顶点间只可能有一个箭头从左右，或从下上的方向从小到大安置顶点，可省略箭头。(3)传递性：由于有（，），（，）R则（，）R故只画（，），（，）对应的边省略边（，）。,定义：图设是上的一个半序关系，如果，则将画在下面，且不，使，则，间用直线连接。并符合简化的关系图的绘制，称这样得到关系图为图。,例中半序关系的图如下：,R1,定义 全序：上半序关系，如果，都有，或，则称为上的全序关系。,注：（1）全序
26、的含义：中每两个元素均能比大小，即任何两个元素都相关。（2）半序则是部分有序。（3）1是全序，2，3都是半序如：2中，都排成了序，但与，与，与，在整除的意义上来说无法排出大小来。,定义半序集：集合及上的一个半序关系组成的二元组（，），称为半序集，记为（，）或（，）。,注：（1）同一集合上的两个不同的半序关系，所构成两个半序集， 如：1和2都定义在，上，但（，1）与（，2）显然不是一样的半序集。,定义全序集：半序集（，）中的半序关系是上的全序，则此（，）称为全序集。,（，1）是全序集。显然，全序集是半序集的特例。又如：（，）实数全体，在下是全序集；平面上点集，也可以规定一种，模长大的大，模长相等
27、的情况下，以幅角的大小来比大小，因此，平面上点集也是全序集。（，）当然也是全序集。,注:实数全体，平面点集是无法用图表示的。一般来说，对有限集用图比较好，对可列集只能示意一下，对不可列无限集是没法表示的，因为任二个数之间一定还有别的数。,定义链：设（，）是半序集，若（，）是全序集，则称为（，）中的链（）。,当是有限集时，的基数称为链长。,例：在上例图（，2）中，取1，2|（整除），则（1，2）是全序关系，1是半序集（，|）中链长为的链。2，3，4，5，也都是（，|）中的链。,定义反链：设（，）为半序集，对，（），（，），（，），则称为（，）中的反链。当为有限集时，为反链的长度。 注： 反链中的
28、元素都互不相关。,例如：（，2）中 1， 1 2， 2 3，3 都是反链。,定义极大元与极小元：设（，）是半序集，若，且在中找不到一个元素（），使（），则称为中的极大元（极小元）。,例：（，|）是半序集， 则 中极大元：，极小元：， 注：极大元，极小元并不要求唯一，且同一元素，可以既是极大元，又是极小元，如，。,注：极大元，极小元必须是子集中的元素。,定义最大元与最小元：设（，）是半序集，若，(），则称为的最大元（最小元）。,例：上例其Hasse图如下图所示,结论：子集中是不存在最大元（最小元）的。,例： ，,3（1，2）12，1，2（），（）， ）是半序集。设，其Hasse图如下图所示,结论
29、：A存在最小元 ，没有最大元。 注：最大元（最小元）本身应属于子集，且与中任一元素都有关系。,定义上界与下界：设（，）是半序集，若，对 ，（）称为的上界（下界）。,注：（1）上例中，无最大元，但存在的上界，。（2）为的最小元，也是的下界（3）最大（小）元是的一个上（下）界（4）上（下）界可以不唯一，也可以不存在,定义上确界与下确界：设（，）是半序集，若是的一个上界（下界），而的上界（下界），都有（），则称是的上确界（下确界）。,注：上确界：最小上界下确界：最大下界如果存在上（下）确界，则上（下）确界一定是唯一的,例：（），）中取 ，则，与，是的上界，是的上确界。,例：，（，）,注：存在上（下）
30、界，并不一定存在上（下）确界。,结论：（1），是的上界（2）与无法比大小，不存在上确界（3）的下界不存在，不存在下确界,引理1：设（，）是半序集，是的非空有限子集，则一定存在极大（小）元。,证： 若，则A中唯一元素既是极大元，也是极小元。假定时存在极大（小）元当时，则将A分成由个元素组成的子集与元素。由假定， 存在极大元M，极小元m，,若M，则为极大元，否则为M，因为若M，且存在b ，而b,由传递性M b,与M为极大元（）矛盾。同理，若m ，则a为 极小元，否则为m。,引理2：设是非空有限子集的极大元集合，则是的反链。,反证：若不是反链，则，（），（，）或（，），即或，则或不是极大元，矛盾。,
31、定理1：设（，）是有限的半序集，中最长链长度为，则可以划分为个互不相交的反链。证：（1），中任两个元素不相关，本身是反链。,(2) 假设时定理成立，即当中最长链长为时，可以划分为个互不相交的反链。(3)当中最长链长为，由引理1，极大元一定存在，设是极大元集合，由引理2，是的一个反链。如果去掉，（，）也是半序集，则中最长链长为，由假设，可以划分为个互不相交的反链，添上，可知可划分为+1个互不相交的反链。,例：，半序集（，），最长链为，,可划分为个互不相交的反链：12，3，4 也可分为：4，3，21 注：反链的取法并不唯一，而最长链中的元素必然分别落在每个反链里。,说明：若r（）1，2，n，是A的
32、一个分划，则可定义一个半序关系，当j-i=1时，取aAi，bAj,使(a,b)R1,且Ai, Aj中每个元素至少取到一次并对 aA ,(a,a)R1然后取R = R1*（闭包）这样R是半序关系，并使每个Ai是反链，且最长链是1，2，n中各取一个元素组成的。,定理2：每个的分划r（）1，2，n，都可以找到一个半序关系，使1，2，n都是（，）的反链，而（，）的最长链由1，2，n中各取一个元素组成。,例：,如上例：取1（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）,但若取: 1（，），（，），（，），（，
33、），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）,定理3：设半序集（，）包含个或以上个元素，则至少有一个链长（或）或至少有一个反链长（或）。证：若的最长链长，反链长，由定理1，可划分为不超过个反链，则至多有个元素，与的元素个数矛盾。,例：个自然数的集合（，|）是半序集） 或者有（）（或（）个数一个被一个整除或者有（）（或（）个数互素,定义良序集：设（，）是半序集，若的非空子集都存在最小元，则称是良序关系，（，）为良序集。,注：（1）良序集是全序集（2）全序集未必是良序的，如：实数全体，任两个实数都能比大小，但子集1/n的最小元找不到。但，有限的全序集自然是良序的。,end,
