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1、第7章二元关系,离散数学,统计与数理学院,本章说明,本章的主要内容有序对与笛卡儿集二元关系的定义和表示法关系的运算关系的性质关系的闭包等价关系与划分偏序关系本章与后续各章的关系本章是函数的基础本章是图论的基础,本章内容,7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系本章小结习题作业,7.1 有序对与笛卡儿积,定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对(ordered pair)或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。

2、有序对具有以下性质：（1）当xy时，。（2）的充分必要条件是xu且yv。,说明,有序对中的元素是有序的集合中的元素是无序的,例7.1,例7.1 已知，求x和y。,由有序对相等的充要条件有 x+25 2x+y4 解得 x3,y-2。,解答,定义7.2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积(Cartesian product)，记作AB。笛卡儿积的符号化表示为 AB|xAyB,笛卡儿积的定义,A表示某大学所有学生的集合，B表示大学开设的所有课程的集合，则AB可以用来表示该校学生选课的所有可能情况。令A是直角坐标

3、系中x轴上的点集，B是直角坐标系中y轴上的点集，于是AB就和平面点集一一对应。,举例,笛卡尔积举例,设A=a,b, B=0,1,2，则 AB=, BA=,举例,说明,如果|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn。,笛卡儿积的运算性质,(1)对任意集合A，根据定义有A, A (2)一般的说，笛卡儿积运算不满足交换律，即ABBA (当 A B AB 时) (3)笛卡儿积运算不满足结合律，即(AB)CA(BC) (当 A B C 时) (4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) (

4、5)AC BD AB CD,A(BC)=(AB)(AC)的证明,任取 A(BC) xA yBC xA (yByC) (xAyB) (xAyC) AB AC (AB)(AC) 所以 A(BC)=(AB)(AC),关于ACBD ABCD的讨论,该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。（1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。（2）当A且B时，也有AC和BD成立，证明如下：任取xA，由于B,必存在yB,因此有xAyB AB CD xCyD xC从而证明了 AC。同理可证 BD。,关于ACBD ABCD的讨论,该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。（3）当A而B时，有AC成立，但不一定有

5、BD成立。反例：令A,B1,C3,D4。（4）当A而B时，有BD成立，但不一定有AC成立。反例略。,例7.2,例7.2 设A=1,2,求P(A)A。,P(A)A ,1,2,1,21,2 ,解答,例7.3,例7.3 设A，B，C，D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由。 (1) ABAC BC (2) A-(BC)(A-B)(A-C) (3) ABCD ACBD (4) 存在集合A，使得A AA,(1) 不一定为真。当A，B1,C2时，有 ABAC，但BC。 (2) 不一定为真。当A=B=1,C2时，有A-(BC)11 (A-B)(A-C)1 (3) 为真。由等量代入的原理可证。 (4

6、) 为真。当A时，有 AAA 成立。,解答,7.2 二元关系(binary relation),定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空，且它的元素都是有序对（2）集合是空集则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果R，可记作xRy；如果R，则记作xRy。,设R1,，R2,a,b。则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合，除非将a和b定义为有序对。根据上面的记法可以写1R12，aR1b，aR1c等。,举例,R,是否为二元关系？,集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。如果|A|=n，那么|AA|=n2， AA的子集就有

7、个。每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有个不同的二元关系。例如|A|=3，则A上有个不同的二元关系。,7.2 二元关系,定义7.4 设A，B为集合，AB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系；特别当A=B时，则叫做A上的二元关系。,A=0,1，B=1,2,3，那么 R1=，R2=AB，R3= ，R4= 等都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的二元关系。,举例,说明,常用的关系,定义7.5 对任意集合A，定义全域关系 EA=|xAyA=AA 恒等关系 IA=|xA空关系 ,设 A=1,2，那么 EA=, IA=,举例,其它常用的关系,小于或等于关系：LA=|

9、种表示方法：集合表达式关系矩阵关系图关系矩阵和关系图可以表示有穷集上的关系。,关系矩阵和关系图的定义,设A=x1,x2,xn,R是A上的关系。令,则,是R的关系矩阵，记作MR。,设A=x1,x2,xn,R是A上的关系。令图G=，其中顶点集合V=A，边集为E。对于 xi,xjV，满足 E xiRxj 称图G为R的关系图，记作 GR。,关系矩阵和关系图的实例,设 A=1,2,3,4，R=,，则R的关系矩阵和关系图分别是,7.3 关系的运算,定义7.6 设R是二元关系。 (1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域(domain)，记为dom R。形式化表示为： dom R x

10、| y(R ) (2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域(range) ，记作ran R。形式化表示为 ran Ry | x(R) (3)R的定义域和值域的并集称为R的域(field)，记作fld R。形式化表示为 fld Rdom R ran R,例7.5 求R=,的定义域、值域和域。解答 dom R1,2,4 ran R2,3,4 fld R1,2,3,4,关系的逆和右复合运算,定义7.7 设R为二元关系，R的逆关系，简称R的逆(inverse)，记作R-1,其中R-1|R 定义7.8 设F,G为二元关系，G对F的右复合(composite)记作FG，其中FG | t(FG)

11、例7.6 设F,G=，则F-1 ,FG GF,说明,可以把二元关系看作一种作用，R可以解释为x通过R的作用变到y。 FG表示两个作用的连续发生。,关系的限制和像,定义7.9 设R为二元关系，A是集合 (1) R在A上的限制(restriction)记作RA，其中RA=|xRyxA (2) A在R下的像(image)记作RA，其中RA=ran(RA),说明,R在A上的限制RA是R的子关系。 A在R下的像RA是ran R的子集。,例7.7,设R，,R1,，,R ,R2,3,，,R1,2,3,R ,R3,2,关系与集合的说明,关系是集合，集合运算对于关系也是适用的。规定：关系运算中逆运算优先于

12、其它运算所有的关系运算都优先于集合运算，没有规定优先权的运算以括号决定运算顺序。例如： ran F-1 FGFH ran (FA),例题,设A表示是学校的所有学生的集合，B表示学校的所有课程的集合，并设R1由所有有序对组成，其中a是选修课程b的学生。R2由所有的有序对构成，其中课程b是a的必修课。则关系R1R2、R1R2、R1R2、R1R2、R2R1的含义为 R1R2：a是一个学生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修课。 R1R2：a是一个学生，他选修了课程b并且课程b也是a的必修课。 R1R2：学生a已经选修了课程b，但课程b不是a的选修课，或者课程b是a的必修课，但是a没有选修

13、它。 R1R2：学生a已经选修了课程b，但课程b不是a的选修课。 R2R1：课程b是学生a的必修课，但是a没有选修它。,定理7.1,定理7.1 设F是任意的关系，则 (1)(F-1)-1F (2)dom F-1ran F，ran F-1dom F,(1)任取，由逆的定义有(F-1)-1 F-1 F,(2)任取xxdom F-1 y(F-1) y(F) xran F 所以有 dom F-1ran F,证明,定理7.2,定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(FG)HF(GH) (2)(FG)-1G-1 F-1,证明,(1)任取，(FG)H t(FG(t,y)H) t(s(FG)H) t

14、s(FGH) s(Ft(GH) s(FGH) F(GH),定理7.2,定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(FG)HF(GH) (2)(FG)-1G-1F-1,证明,(2)任取，(FG)-1 FG t(FG) t(F-1G-1) G-1 F-1,定理7.3,定理7.3 设R为A上的关系，则R IAIA RR,证明,(1)任取， R IA t(R(t,y)IA) t(Rty) R,R RyA RIA) R IA,综上所述，有 RIAR 同理可证 IARR,定理7.4,定理7.4 设F，G，H是任意的关系，则 (1) F(GH)FGFH (2) (GH)FGFHF (3) F(GH)F

15、GFH (4) (GH)FGFHF,证明,(3) F(GH) t(F(t,y)GH) t(F(t,y)G(t,y)H) t(F(t,y)G) (F(t,y)H) t(F(t,y)G) t(F(t,y)H) FG FH FGFH,定理7.4的推论,由数学归纳法不难证明定理7.4的结论对于有限多个关系的并和交也是成立的，即有R(R1R2Rn)RR1RR2RRn(R1R2Rn)RR1RR2RRnRR(R1R2Rn)RR1RR2RRn(R1R2Rn)RR1RR2RRnR,定理7.5,定理7.5 设F为关系，A,B为集合，则 (1) F(AB)FAFB (2) FABFAFB (3) F(AB)FAFB

16、 (4) FABFAFB,定理7.5 (1)的证明,(1) F(AB)FAFB,证明,任取，F(AB) F x(AB) F (xAxB) (FxA) (FxB) FA FB FAFB 所以有 F(AB)FAFB。,定理7.5 (4)的证明,(4) FABFAFB,证明,任取y，yFAB x(FxAB) x(FxAxB) x(FxA)(FxB) x(FxA) x(FxB) yFA yFB yFAFB 所以有 FABFAFB,关系的幂运算,定义7.10 设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：（1） R0|xAIA（2） Rn+1Rn R,说明,对于A上的任何关系R1和R2都有R10R2

17、0IA 即：A上任何关系的0次幂都相等，都等于A上的恒等关系IA。对于A上的任何关系R都有R1R，因为R1R0 RIA RR,Rn的计算,给定A上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？若n是0或1，结果是很简单的。下面考虑n2的情况。如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次右复合计算得到Rn。如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系矩阵是Mn，即n个矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑加，即 1+11，1+00+11，0+00 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到Rn的关系图G。G的顶点集与G相同。考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n步长的路径到达

18、顶点xj，则在G中加一条从xi到xj的边。当把所有这样的边都找到以后，就得到图G。,例7.8,例7.8 设Aa,b,c,d，R,，求R的各次幂，分别用矩阵和关系图表示。,解答,例7.8,因此M4M2，即R4R2。因此可以得到 R2R4R6 R3R5R7 用关系图的方法得到R0, R1, R2, R3,的关系图如P120图7.2所示。,幂运算的性质,定理7.6 设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得Rs=Rt。,R为A上的关系，对任何自然数k，Rk都是AA的子集。,证明,又知|AA|=n2，|P(AA)|= ，,即AA的不同子集仅个。,当列出R的各次幂R0，R1，R2，，时，

19、,必存在自然数s和t使得Rs=Rt。,说明,该定理说明有穷集上只有有穷多个不同的二元关系。当t足够大时，Rt必与某个Rs(st)相等。如例7.8中的R4=R2。,定理7.7,定理7.7 设R是A上的关系，m,nN，则 (1)Rm RnRm+n (2)(Rm)nRmn,证明,(1)对于任意给定的mN,施归纳于n。若n=0，则有,所以对一切m,nN有 Rm RnRm+n。,Rm R0,Rm IA,Rm,Rm+0,假设Rm Rn=Rm+n，则有,Rm Rn+1,Rm (Rn R),(Rm Rn)R,Rm+n+1，,定理7.7,定理7.7 设R是A上的关系，m,nN，则 (1)Rm RnRm+n

20、(2)(Rm)nRmn,证明,(2)对于任意给定的mN,施归纳于n。若n=0，则有,所以对一切m,nN 有(Rm)n=Rmn。,(Rm)0,IA,R0,Rm0,假设(Rm)nRmn，则有,(Rm)n+1,(Rm)n Rm,Rmn+m,Rm(n+1),定理7.8,定理7.8 设R是A上的关系，若存在自然数s,t(st)使得Rs=Rt，则 (1) 对任何kN有 Rs+k=Rt+k (2) 对任何k,iN有 Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s (3) 令S=R0，R1，Rt-1，则对于任意的qN有 RqS,证明,(1) Rs+kRs RkRt RkRt+k (2)对k归纳。若k=0，则有

21、Rs+0 p+iRs+i 假设 Rs+kp+iRs+i，其中pt-s，则,Rs+(k+1)p+i,Rs+kp+i+p,Rs+i Rp=Rs+p+i,Rs+t-s+i,Rt+i,Rs+i,由归纳法命题得证。,Rs+kp+i Rp,定理7.8,定理7.8 设R是A上的关系，若存在自然数s,t(st)使得Rs=Rt，则 (1) 对任何kN有 Rs+k=Rt+k (2) 对任何k,iN有 Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s (3) 令S=R0，R1，Rt-1，则对于任意的qN有 RqS,证明,(3)任取qN，若qt，显然有RqS，若qt，则存在自然数k和i使得 qs+kp+i 其中0ip-1,

22、pt-s。于是 RqRs+kp+iRs+i,而s+is+p-1,s+t-s-1,t-1,这就证明了 RqS。,定理7.8的说明,有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，是一个周期性变化的序列。就象正弦函数一样，利用它的周期性可以将R的高次幂化简为R的低次幂。例7.9 设A=a,b,d,e,f，R=,。求出最小的自然数m和n，使得mn且Rm=Rn。,解答,由R的定义可以看出A中的元素可分成两组，即a,b和d,e,f。它们在R的右复合运算下有下述变化规律： abab defdef 对于a或b,每个元素的变化周期是2。对于d，e，f，每个元素的变化周期是3。因此必有Rm=Rm+6，其中6是2和3的最

23、小公倍数。取m=1,n=7即满足题目要求。,7.4 关系的性质,自反性反自反性对称性反对称性传递性,自反性和反自反性,定义7.11 设R为A上的关系， (1)若x(xAR)，则称R在A上是自反(reflexivity)的。 (2)若x(xAR)，则称R在A上是反自反(irreflexivity)的。例如全域关系EA，恒等关系IA，小于等于关系LA，整除关系DA都是为A上的自反关系。包含关系R是给定集合族A上的自反关系。小于关系和真包含关系都是给定集合或集合族上的反自反关系。,例7.10,例7.10 设A=1,2,3，R1，R2，R3是A上的关系，其中 R1, R2, R3说明R1，

24、R2和R3是否为A上的自反关系和反自反关系。解答 R1既不是自反的也不是反自反的，R2是自反的，R3是反自反的。,对称性和反对称性,定义7.12 设R为A上的关系，（1）若xy(x,yARR)，则称R为A上对称(symmetry)的关系。（2）若xy(x,yARRx=y)，则称R为A上的反对称(antisymmetry)关系。例如 A上的全域关系EA，恒等关系IA和空关系都是A上的对称关系。恒等关系IA和空关系也是A上的反对称关系。但全域关系EA一般不是A上的反对称关系，除非A为单元集或空集。,例7.11,例7.11 设A1,2,3，R1，R2，R3和R4都是A上的关系，其中R1, R

25、2, R3, R4,说明R1，R2，R3和R4是否为A上对称和反对称的关系。解答 R1既是对称也是反对称的。R2是对称的但不是反对称的。R3是反对称的但不是对称的。R4既不是对称的也不是反对称的。,传递性,定义7.13 设R为A上的关系，若 xyz(x,y,zARRR) 则称R是A上的传递(transitivity)关系。例如 A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系都是A上的传递关系。小于等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的传递关系。小于关系和真包含关系仍旧是相应集合上的传递关系。,例7.12,例7.12 设A1,2,3，R1，R2，R3是A上的关系，其中R1, R2, R3说明

26、R1，R2和R3是否为A上的传递关系。解答 R1和R3是A上的传递关系，R2不是A上的传递关系。,关系性质的等价描述,定理7.9 设R为A上的关系，则（1）R在A上自反当且仅当 IA R （2）R在A上反自反当且仅当 RIA （3）R在A上对称当且仅当 RR-1 （4）R在A上反对称当且仅当 RR-1 IA （5）R在A上传递当且仅当 RRR,说明,利用该定理可以从关系的集合表达式来判断或证明关系的性质。,分析,关系性质的证明方法,定理7.9 (1)的证明,（1） R在A上自反当且仅当 IA R 必要性。任取，有IA x,yA xy R所以 IA R,充分性。任取x，有xA IA R所以

27、R在A上是自反的。,定理7.9 (2)的证明,（2）R在A上反自反当且仅当 RIA,充分性。任取x，有xA IA R (RIA= )所以 R在A上是反自反的。,必要性。用反证法。假设RIA，必存在RIA。由于IA是A上恒等关系，可知 xA且R。这与R在A上是反自反的相矛盾。,定理7.9 (3)的证明,（3） R在A上对称当且仅当 RR-1 必要性。任取，有R R (因为R在A上对称) R-1所以 RR-1,充分性。任取，由 RR-1 得R R-1 R所以 R在A上是对称的。,定理7.9 (4)的证明,（4） R在A上反对称当且仅当 RR-1 IA 必要性。任取，有RR-1 R R-1 R R

28、xy (R是反对称的) IA所以 RR-1 IA,充分性。任取, 则有 R R R R-1 RR-1 IA (RR-1 IA) xy所以 R在A上是反对称的。,定理7.9 (5)的证明,（5） R在A上传递当且仅当 RRR 必要性。任取，有RR t(RR) R(因为R在A上是传递的)所以 RRR。充分性。任取,R，则 RR RR R (因为RRR)所以 R在A上是传递的。,例7.13,例7.13 设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明： (1)若R1，R2是自反的和对称的，则R1R2也是自反的和对称的。 (2)若R1和R2是传递的，则R1R2也是传递的。,例7.13 (1)的证明,(1)若

29、R1，R2是自反的和对称的，则R1R2也是自反的和对称的。,证明,由于R1和R2是A上的自反关系，故有IA R1 和 IA R2 从而得到 IA R1R2。根据定理7.9可知 R1R2在A上是自反的。再由R1和R2的对称性有 R1R1-1 和 R2R2-1 根据练习七第18题的结果有 (R1R2)-1R1-1R2-1R1R2 从而证明了R1R2也是A上对称的关系。,例7.13 (2)的证明,(2)若R1和R2是传递的，则R1R2也是传递的。,证明,由R1和R2的传递性有R1 R1 R1 和 R2 R2 R2 再使用定理7.4得(R1R2)(R1R2) R1 R1R1 R2R2 R1R2 R

30、2 (R1R2)R1 R2R2 R1 (将前面的包含式代入) R1R2 从而证明了R1R2也是A上的传递关系。,关系性质的特点,例7.14,例7.14 判断下图中关系的性质，并说明理由。,（1）对称的，不是自反的，不是反自反的，不是反对称的，不是传递的。（2）是反自反的，不是自反的，是反对称的，不是对称的，是传递的。（3）是自反的，不是反自反的，是反对称的，不是对称的，不是传递的。,关系的性质和运算之间的关系,问题,如果存在一条从数据中心a到b的电话线，就属于关系R。如何确定从一个中心是否有一条电话线(可能不直接)链接到另一个中心？通过构造包含R的最小的传递关系来找出每一对有着联系的数

31、据中心，这个关系叫做R的传递闭包。,7.5 关系的闭包,闭包（closure）的定义闭包的构造方法闭包的性质闭包的相互关系,闭包的定义,定义7.14 设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R，使得 R满足以下条件：（1）R是自反的（对称的或传递的）（2）RR（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R有 R R。一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包记作s(R)，传递闭包记作t(R)。,闭包的构造方法,定理7.10 设R为A上的关系，则有（1）r(R)RR0（2）s(R)RR-1（3）t(R)RR2R3 证明思路(1)和(2)：证明右边的集合满足闭包定义的

32、三个条件。(3) 采用集合相等的证明方法。证明左边包含右边，即t(R)包含每个Rn。证明右边包含左边，即RR2具有传递的性质。,定理7.10 (1)的证明,（1）r(R)RR0,证明,由IAR0 RR0，可知RR0是自反的， RRR0。设R是A上包含R的自反关系，则有RR和IAR。任取，必有RR0 RIA RRR所以 RR0 R。综上所述，r(R)RR0。,定理7.10 (2)的证明,（2）s(R)RR-1,证明, RRR-1。,证明RR-1是对称的，任取，有RR-1 RR-1 R-1R RR-1所以 RR-1 是对称的。,综上所述，s(R)RR-1。,设R是包含R的对称关系，任取，有RR

33、-1 RR-1 RR RR RR R所以 RR-1 R。,定理7.10 (3)的证明,（3）t(R)RR2R3,证明,先证RR2 t(R)成立，为此只需证明对任意的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n1时，有 R1R t(R)。假设Rnt(R)成立，那么对任意的有Rn+1Rn R t(RnR) t(t(R)t(R) t(R) （因为t(R)是传递的）这就证明了Rn+1 t(R)。由归纳法命题得证。,定理7.10 (3)的证明,（3）t(R)RR2R3,证明,再证t(R)RR2成立，为此只须证明RR2是传递的。任取,，则RR2 RR2 t(Rt) s(Rs) ts(Rt Rs)

34、 ts(Rt Rs) ts(Rt+s) RR2 从而证明了RR2是传递的。,推论,推论设R为有穷集A上的关系，则存在正整数r使得t(R)=RR2Rr 证明由定理7.6和7.10(3)得证。例题求整数集合Z上的关系R | a|a|ab|abs(R)RR-1|a|b|ab,通过关系矩阵求闭包的方法,设关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系矩阵分别为M，Mr，Ms和Mt，则Mr ME 对角线上的值都改为1Ms MM 若aij1，则令aji1Mt MM2M3 沃舍尔算法其中E是和M同阶的单位矩阵，M是M的转置矩阵。注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。,通过关系图求闭包的方法,设关系

35、R，r(R)，s(R)，t(R)的关系图分别记为G，Gr，Gs，Gt，则Gr，Gs，Gt的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外，以下述方法添加新的边。 1)考察G的每个顶点，如果没有环就加上一个环。最终得到的是Gr。 2) 考察G的每一条边，如果有一条xi到xj的单向边，ij，则在G中加一条边xj到xi的反方向边。最终得到Gs。 3) 考察G的每个顶点xi，找出从xi出发的所有2步，3步，n步长的路径（n为G中的顶点数）。设路径的终点为。如果没有从xi到 (l=1,2,k)的边，就加上这条边。当检查完所有的顶点后就得到图Gt。,例7.15,例7.15 设A=a,b,c,d，R=,，则R和

36、r(R)，s(R)，t(R)的关系图如下图所示。其中r(R)，s(R)，t(R)的关系图就是使用上述方法直接从R的关系图得到的。,Warshall 算法,输入：M（R的关系矩阵）输出：MT（t(R)的关系矩阵） 1.MTM 2.for k 1 to n do 3. for i 1 to n do 4. for j 1 to n do 5. MTi,jMTi,j+MTi,k*MTk,j 注意：算法中矩阵加法和乘法中的元素相加都使用逻辑加。,Warshall 算法举例,例设A=a,b,c,d，R=,，求t(R)。,分析 k1 时，MTi,jMTi,j+MTi,1*MT1,jMT1,jMT1

37、,j+MT1,1*MT1,jMT2,jMT2,j+MT2,1*MT1,j 将第1行加到第2行上MT3,jMT3,j+MT3,1*MT1,jMT4,jMT4,j+MT4,1*MT1,j得到M1。,Warshall 算法举例,k1时，第1列中只有M2,11，将第1行加到第2行上。,k2时，第2列中M1,2 M2,2M4,21，将第2行分别加到第1,2,4行上。,Warshall 算法举例,k3时，第3列中M1,3M2,3M4,31，将第3行分别加到第1,2,4行上。,k4时，第4列中M1,4 M2,4M3,4M4,41，将第4行分别加到第1,2,3,4行上。,闭包的主要性质,定理7.11 设R

38、是非空集合A上的关系，则（1）R是自反的当且仅当r(R)R。（2）R是对称的当且仅当s(R)R。（3）R是传递的当且仅当t(R)R。证明（1）充分性。因为Rr(R)，所以R是自反的。必要性。显然有R r(R)。由于R是包含R的自反关系，根据自反闭包定义有r(R)R。从而得到r(R)=R。,闭包的主要性质,定理7.12 设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1 R2，则（1）r(R1) r(R2)（2）s(R1) s(R2)（3）t(R1) t(R2) 证明：(1)任取，有r(R1) R1IA R1 IA R2 IA R2IA r(R2),命题,命题若R是对称的，则Rn也是对称

39、的，其中n是任何正整数。证明用归纳法。n=1，R1R显然是对称的。假设Rn是对称的，则对任意的，有Rn+1 Rn R t(RnR) t(RnR) RRn R1+nRn+1所以Rn+1是对称的。由归纳法命题得证。,关系性质与闭包运算之间的联系,定理7.13 设R是非空集合A上的关系，（1）若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的。（2）若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。（3）若R是传递的，则r(R)是传递的。证明：只证（2）。,定理7.13 (2)的证明,（2）若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。证明r(R)是对称的。由于R是A上的对称关系，所以RR-1，同时IAI

40、A-1。r(R)-1 (RR0)-1(RIA)-1R-1IA-1RIAr(R)所以，r(R)是对称的。,定理7.13 (2)的证明,（2）若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。下面证明t(R)的对称性。任取t(R) n(Rn) n(Rn) （因为Rn是对称的） t(R)所以，t(R)是对称的。,定理7.13的讨论,从这里可以看出，如果计算关系R的自反、对称、传递的闭包，为了不失去传递性，传递闭包运算应该放在对称闭包运算的后边，若令tsr(R)表示R的自反、对称、传递闭包，则 tsr(R)=t(s(r(R),反例 A=1，2，3， R= 是传递的s(R)=,显然s(R)不是传递的。,7.

41、6 等价关系与划分,定义7.15 设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系(equivalent relation)。设R是一个等价关系，若R，称x等价于y，记做xy。举例 (1)平面上三角形集合中，三角形的相似关系。(2)人群中的同性关系。,例7.16,例7.16 设A1,2,8，如下定义A上的关系R： R|x，yAxy(mod 3) 其中xy(mod 3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。不难验证R为A上的等价关系，因为xA，有xx(mod 3)x,yA，若xy(mod 3)，则有yx(mod 3)x,y,zA，若xy(mod

42、 3)，yz(mod 3)，则有xz(mod 3),等价类,定义7.16 设R为非空集合A上的等价关系，xA，令 xR=y|yAxRy 称xR为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为x或 x 。,x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。例7.16中的等价类是：1471,4,72582,5,8363,6,整数集合Z上的模n等价关系,设x是任意整数，n为给定的正整数，则存在唯一的整数q和r，使得 xqn+r 其中0rn-1，称r为x除以n的余数。例如n3，那么8除以3的余数为1，因为 -8-33+1 对于任意的整数x和y，定义模n相等关系 xy xy(mod n) 不难验证它是整数集合Z上的等价关系。将Z中的所有整数根据它们除以n的余数分类如下：余数为0的数，其形式为nz，zZ 余数为1的数，其形式为nz+1，zZ 余数是n-1的数，其形式为nz+n-1，zZ 以上构成了n个等价类，使用等价类的符号可记为 inz+i|zZ，i=0，1，n-1,等价类的性质,定理7.14 设R是非空集合A上的等价关系，则（1）xA，x是A的非空子集。（2）x,yA，如果xRy，则xy。（3）x,yA，如果R，则x与y不交。（4）x|xAA。证明（1）由等价类的定义可知， xA有xA。又由于等价关系的自反性有xx，即x非空。,

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