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1、二元关系,1 有序对与笛卡儿积,2 二元关系,3 关系的运算,4 关系的性质,5 关系的闭包,6 等价关系与划分,7 偏序关系,定义1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。,1 有序对与笛卡儿积,性质： 1当xy时，。 2=的充分必要条件是x=u且y=v。,与x,y的区别：,有序对中的元素是有序的，而二元集中的元素是无序的。,当xy时有x,y=y,x ，而。,例1 已知=，求x和y。,解由有序对相等的充要条件有 x+2=5 2x+y=4 解得x=3,y=-2。,定义2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素

2、，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作AB。,笛卡儿积的符号化表示为 AB=|xAyB,例如，设A=a,b, B=0,1,2，则,AB=,BA=,如果|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn。,反例： A=1 ，B=2 ，C= 3,3. 笛卡儿积运算不满足结合律，即(AB) C A ( BC) (当ABC ),笛卡儿积运算的性质：,1. 对任意集合A，根据定义有 A , A ,2. 一般地说，笛卡儿积运算不满足交换律，即AB BA(当A B 且A B ),(AB) C=,3, 而 A ( BC) =,4.笛卡儿积运算对并交运算满足分配律，即,A

3、(BC)=(A B) ( AC) (BC) A= (BA) (CA),A (BC)=(A B) ( AC) (BC) A= (BA) (CA),证明：任取,A (BC), xAy BC, xA(y ByC), (xAy B) (xA yC), A B AC, (A B) ( AC),5. A CB D AB C D,证明：任取, xAy B,AB, xCy D, CD,所以 AB C D,注意：逆命题不成立！,证明: 当A=B=，显然有AC且B D, 当A且B,显然也有AC且B D，因为,任取xA，由于B，必存在yB，有xA且yB AB CD xC且yD xC,从而有AC，同理可证B D,

4、当A=，B时，有AC，但不一定有B D；, 当A，B = 时，有B D，但不一定有AC 。,所以，逆命题不成立。,如果设A,B,C,D为非空集合，则 A CB D AB C D,例2 设A=，,求P(A) A.,=，，,解： P(A) A,=，，,例7.3 设A,B,C,D为任意集合，判断下列命题是否为真，并说明理由。,（1） A B=A CB=C,解：假。例如：A=， B=1 , C=2,(2) A(BC)=(AB) (AC),解：假。例如：A= B=1 , C=2,（3）A= BC=DA C=B D,解：为真,（4）存在集合A,使得AA A,解：为真, 例如：A=,（5）(

5、AB) (CD)= (AC)(BD）,解：假。例如：A=1， B=2 , C=a, D=b,（6）(A-B) (C-D)= (AC)-(BD）,解：假。例如：A=1,2， B=2 , C=a, D=b,习题：设A,B,C,D为任意集合，判断下列命题是否为真，并说明理由。（1）(AB) (C D)= (AC) (BD）（2）P(A)P(A) =P(A A) （3）若AA=BB,则A=B,二元关系,定义3 如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空，且它的元素都是有序对（2）集合是空集,则称该集合为一个二元关系，记作R。简称为关系,例如R1=,，R2=,a,b。,R1是二元关系，R2

6、不是二元关系,定义7.4 设A，B为集合，AB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B时则叫做A上的二元关系。,例如A=0,1，B=1,2,3,R1=，R2=AB，R3=，R4=,R1、R2、R3、R4都是从A到B的二元关系,R3、R4是A上的二元关系,如果|A|=n，那么|AA|=n2， AA的子集就有个。,所以A上有个不同的二元关系。,每一个子集代表一个A上的二元关系,几个特殊的关系：,空关系：空集是AA的子集，则称是A上的空关系。,全域关系 EA： EA=|xAyA=AA,恒等关系 IA：IA=|xA,对任何集合A，,例如，A=1,2，则,EA=,IA=,几个

7、常用的关系：,A上的小于或等于关系,LA=|x,yAxy，这里AR。,B上的整除关系,DB=|x,yBx整除y，这里BZ*。,A上的包含关系,R=|x,yAxy，这里A是集合族。,例如A=1,2,3，B=a,b,LA=,DA=,令A=P(B)=, a , b , a,b ，,A上的包含关系是,R=, , ,类似的还可以定义大于等于关系，小于关系，大于关系，真包含关系等等。,例7.4 设A=1,2,3,4，下面各式定义的R都是A上的关系，试用列元素法表示R。,(1) R=|x是y的倍数,解: R=,(2) R=|( x-y)2A,解：R=, ,(3) R=|x/y是素数,解：R=,(4) R=|

8、xy,R=EA-IA=,关系的三种表示：,关系图,集合表达式,关系矩阵,设A=x1,x2,xn,R是A上的关系。,关系矩阵,令,则,是R的关系矩阵，记作MR,例如A=1,2,3,4， R=,，,则R的关系矩阵是,关系图,设A=x1,x2,xn，R是A上的关系，令图G=，其中顶点集合V=A，边集为E。对xi,xjV，满足,E xiRxj 称图G为R的关系图，记作GR。,在上面的例子中，R的关系图GR如图7.1所示。,R=,关系图、关系矩阵只限于表示有穷集A上的关系。,关系的运算,七种基本运算：,设R是二元关系，定义如下：,R的定义域 R中所有有序对的第一元素构成的集合记作domR。,(2)

9、 R的值域 R中所有有序对的第二元素构成的集合记作ranR。,形式化表示为： domR=x|y(R),形式化表示为： ranR=y|x(R),练习：设A=0，1，2，3，R是A上的关系，且R=, , 给出R的关系矩阵和关系图。,(3) R的域 R的定义域和值域的并集，记作fldR。,形式化表示为 fldR=domRranR,例7.5 设R=,domR=1,2,4，ranR=2,3,4，fldR=1,2,3,4,（4）R的逆关系，简称R的逆，记作R-1,其中 R-1=|R,（5）左复合、右复合,设F,G为二元关系,G对F的右复合记作FG，其中,FG=|t(FG),例7.6 设F=,G=，则,F

10、-1=,FG=,GF=,类似的也可以定义关系的左复合，即,FG=|t(GF),那么在上例中FG=,GF=,如果我们把二元关系看作一种作用，R可以解释为x通过R的作用变到y，那么右复合FG与左复合FG都表示两个作用的连续发生。,所不同的是：右复合FG表示在右边的G是复合到F 上的第二步作用。,而左复合FG恰好相反，其中F是复合到G上的第二步作用。,这两种复合都是合理的，正如在交通规则中有的国家规定右行，有的国家规定左行一样。,在没有特别说明的情况下，本书采用右复合。,(7) A在R下的象记作RA，其中,显然 RA ranR,例7.7 设R=,，则,R1=2,3,R=,R3=2,关系是集合，因此

11、第六章所定义的集合运算对于关系也是适用的。为了使集合表达式更为简洁，我们进一步规定：本节所定义的关系运算中逆运算优先于其它运算，而所有的关系运算都优先于集合运算，对于没有优先权的运算以括号决定运算顺序。,例如 ranF-1，FGFH，ran(F A),运算的性质,定理1 设F是任意的关系，则,(1) (F-1)-1=F,(2) domF-1=ranF，ranF-1=domF,证: (1) 任取，由逆的定义有,(F-1)-1, F-1, F,所以有(F-1)-1=F, y(F-1), y(F), xranF,所以有domF-1=ranF。,同理可证 ranF-1=domF。,定理 2 设F，G，

12、H是任意的关系，则,(1) (FG)H=F(GH),(2) (FG)-1= G-1F-1,证： (1)任取,(FG)H, t(FG(t,y)H), t( s(FG)H), ts(FGH), s(Ft(GH), F(GH),所以(FG)H=F(GH), s(F GH),（2）任取,(F G)-1, FG, t(F(t,x)G), t(G-1(t,y)F-1), G-1F-1,所以（FG）-1=F-1G-1。,定理 3 设R为A上的关系，则,RIA = IAR = R,证明：任取，,RIA,t(RIA),t(Rt=y),R,R,RyA,RIA,RIA,综合上述有RIA = R,同理可证 IAR =

13、 R,定理 4设F，G，H是任意的关系，则,(1) F（GH）=FGFH,(4) （GH） F GF HF,(3) F（GH）FGFH,(2) （GH） F= GF HF,证明：任取，,F（GH）, t(F(t,y) GH), t(F(t,y) G (t,y) H), t(F(t,y) G F(t,y) H), t(F(t,y) G ） t(F(t,y) H), FG FH, FG FH,所以有 F（GH）FGFH,定理 4 可以推广到有限多个关系的并和交:,(1) R（R1R2Rn）=RR1RR2 RRn,(2) (R1R2Rn)R = R1RR2 R RnR,(3) R（R1R2Rn） R

14、R1RR2 RRn,(4) (R1R2Rn)R R1RR2 R RnR,幂运算,定义7.10 设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：,（1） R0=|xA=IA,（2） Rn+1=Rn R,可知，对于A上的任何关系R1和R2都有R10=R20=IA,对于A上的任何关系R都有R1=R，,给定A上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？,R0=|xA=IA,R1=R,n2的情况：,通过n-1次右复合计算得到Rn,n个矩阵MR之积,注：与普通矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑加，即1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0,直接由图GR得到图GRn,例7.8 设A = a,b,c,d，R =

15、 ,，求R的各次幂，分别用矩阵和关系图表示。,R2=, ,R2 = , ,R3=, , ,R3= R2 R,R3 = , ,解：,R2= R R,R的关系矩阵为,则R2，R3，R4的关系矩阵分别是,因为R4=R2，可得,R2=R4=R6= R3=R5=R7=,关系图,GRn的顶点集与G相同。,考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n步长的路径到达顶点xj，则在G中加一条从xi到xj的边。,当把所有这样的边都找到以后，就得到图G。,R =,R0 =IA,R2 = , ,R3 = , ,幂运算的性质,定理 6 设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得Rs=Rt。,证: R

16、为A上的关系，对任何自然数k，Rk都是AA的子集。,该定理说明有穷集上只有有穷多个不同的二元关系。,当t足够大时Rt必与某个Rs(st)相等。,又知|AA|=n2，|P(AA)|= ，即AA的不同子集仅个。,当列出R的各次幂R0，R1，R2，，必存在自然数s和t使得Rs=Rt。,定理 7 设R是A上的关系，m,nN，则,(1)Rm Rn=Rm+n (2)(Rm)n=Rmn,证: 用归纳法,(1) 对于任意给定的mN,施归纳于n。,若n=0，则有 RmR0 = RmIA = Rm = Rm+0,假设Rm Rn=Rm+n，则有,Rm Rn+1=Rm (Rn R)=(RmRn)R=Rm+n+1

17、，,所以对一切m,nN有RmRn=Rm+n。,(2) 对于任意给定的mN,施归纳于n。,若n=0，则有 (Rm)0=IA=R0=Rm0,假设(Rm)n=Rmn，则有,(Rm)n+1=(Rm)nRm=(Rmn)Rn=Rmn+m=Rm(n+1),所以对一切m,nN有(Rm)n=Rmn。,定理 8 设R是A上的关系，若存在自然数s,t(st),使得Rs=Rt，则,（1）对任何kN 有 Rs+k=Rt+k,（2）对任何k,iN 有 Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s,（3）令S=R0，R1，，Rt-1，则对任意的qN有RqS,证明:,（1）Rs+k = RsRk = RtRk = Rt+k,

18、(2) 对k归纳：,若k=0，则有 Rs+0p+i=Rs+i,假设 Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，则,Rs+（k+1）p+i =Rs+kp+i+p = Rs+kp+i Rp,=Rs+i Rp =Rs+i+p =Rs+i+t-s =Ri+t =Rs+i,由归纳法命题得证。,（3）任取qN，若qt，显然有RqS；若qt，则存在自然数k和i使得,q=s+kp+i 其中0ip-1，p=t-s,于是 Rq= Rs+kp+i=Rs+i,而 s+is+p-1=s+t-s-1=t-1,所以有 RqS,由上述的定理可知，有穷集A上的关系R的幂序列R0 ，R1 ，R2 是一个周期变化的序列。,例7.

19、9 设A=a,b,d,e,f，R=, 求出最小自然数m,n，使得mn且Rm = Rn,解：A中的元素可以分成两组a,b，d,e,f,在R的右复合运算下有如下的规律：,a b a b,d e f d e f ,因此必有 Rm=Rm+6 得m=0 , n=6,7.4 关系的性质,主要性质：自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性。,定义7.11 设R为A上的关系，,（1）若 x(xAR)，则称R在A上是自反的。,如A上的EA，IA， LA ，DB都是A或B上的自反关系。,包含关系R是给定集合族A上的自反关系。,而小于关系、空关系、父子关系都是反自反的。,例7.10 设A=1,2,3，,R1,

20、 R2, R3,自反,反自反,不是自反的也不是反自反,自反关系和反自反关系不是非此即彼，可能都不成立。,定义7.12 设R为A上的关系，,（1）若xy(x,yARR)，则称R为A上对称的关系。,（2）若xy(x,yARRx=y)，则称R为A上的反对称关系。,A上EA，IA和空关系都是A上的对称关系。,恒等关系IA和空关系也是A上的反对称关系。,EA一般不是A上的反对称关系，除非A为单元集或空集。,存在某些关系既是对称的，又是反对称的。,例7.11 设A1,2,3，,说明R1，R2，R3和R4是否为A上对称和反对称的关系。,R1, R2, R3, R4,对称,反对称,又如，在同一班级的同学关

21、系，平面上三角形的相似关系都是对称关系。,例7.12 设A2，3，5，7，R=|(x-y)/2是整数证明R在A上是自反的和对称的。,证：对xA，(x-x)/2=0,即R,故R是自反的；,设x,yA，如果(x-y)/2是整数，则(y-x)/2也必是整数。即R，则R，故R是对称的。,定义7.13 设R为A上的关系，若,xyz(x,y,zARRR),则称R是A上的传递关系。,A上的EA,IA和空关系都是A上的传递关系。,小于等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的传递关系。,小于关系和真包含关系仍旧是相应集合上的传递关系。,又如祖先关系也是传递关系。,例7.13 设A1,2,3,R1,R2,

22、R3,传递关系,传递关系,非传递关系,例7.14 设某人有三个儿子，组成集合A=T,G,H,在A上的兄弟关系具有哪些性质？,不具有传递性,具有对称性,具有反自反性,（4） R在A上反对称当且仅当RR-1 IA,五种性质成立的充分必要条件：,（1） R在A上自反当且仅当IAR,（2） R在A上反自反当且仅当RIA=,（3） R在A上对称当且仅当R=R-1,（5） R在A上传递当且仅当RRR,证：必要性：,（1） R在A上自反当且仅当IAR,任取，由于R在A上自反必有,IAx,yAx=y R,从而证明了IA R,充分性：,任取x，有xAIA R,因此R在A上是自反的。,证：必要性。（用反证法。）

23、,（2） R在A上反自反当且仅当RIA=,假设RIA，必存在RIA。,由于IA是A上恒等关系，从而推出xA且R。,这与R在A上是反自反的相矛盾。,充分性。,任取x，则有,xA IA R (由于RIA=),从而证明了R在A上是反自反的。,证：必要性。,（3） R在A上对称当且仅当R=R-1,任取，有 R R R-1,所以 R=R-1。,充分性。任取，由 R=R-1得,R R-1 R,所以R在A上是对称。,证：必要性。,（4） R在A上反对称当且仅当RR-1IA,任取，有,RR-1 RR-1,RR x=yIA,这就证明了RR-1IA 。,RRRR-1,RR-1IA x=y,从而证明了R在A上

24、是反对称。,充分性。任取，由于RR-1IA ，则有,（5） R在A上传递当且仅当RRR,证：必要性。,任取，有 RR $t(RR)R,所以RRR 。,R在A上传递,充分性。任取，R,则,RRRRR,所以R在A上是传递的。,五种性质在关系矩阵和关系图中的特点,如果顶点xi到xj有边,xj到xk有边,则从xi到xk也有,如果两个顶点之间有边，一定是一条有边（除环外无双向边）,如果两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边（无单向边）,每个顶点都没有环,每个顶点都有环,关系图,对M2中1所在的位置，M中相应的位置都是1,若rij=1且ij，则rji=0,矩阵是对称的,主对角线元素全是0,

25、主对角线元素全是1,关系矩阵,R R R,RR-1 IA,R=R-1,RIA=,IA R,集合表达式,传递性,反对称性,对称性,反自反性,自反性,性质表示,例7.14 判断下图中的关系的性质。,自反,反自反,对称,反对称,传递,(1),(2),(3),关系的性质和运算之间的联系,R1和R2是反对称、传递的，举例说明 R1R2不一定满足反对称性和传递性。,R1 R2 ,R1R2= , ,例7.15 证明（1）若R1，R2是自反的，R1R2也是自反的。,证明：,因为R1，R2自反，所以IA R1， IA R2,所以IA R1 R2,即 R1 R2 是自反的。,由于R1，R2是反对称的，故有,

26、证明：,（2）若R1，R2是反对称的，R1-R2也是反对称的。,R1R1-1IA R2R2-1IA,任取,有,(R1-R2) -1,(R1-R2),R1 R2,R1-1 R2-1,(R1-1 -R2-1),所以有(R1-R2) -1= R1-1 - R2-1,所以对 (R1-R2) (R1-R2) -1,任取,有,(R1-R2) (R1-R2) -1,(R1-R2) (R1-1-R2 -1), (R1R1 -1), IA,（R1R1 -1 IA）,即(R1-R2) (R1-R2) -1IA,所以，R1-R2也是反对称的。,7.5 关系的闭包,一基本概念,设R是A上的关系，我们希望R具有某些有

27、用的性质，比如说自反性。如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关系R，使得R具有自反性。但又不希望R与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭包外还有对称闭包和传递闭包。,定义7.14 设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R，使得R 满足以下条件：,（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R有RR。,一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包s(R)，传递闭包记作t(R)。,（1）R是自反的（对称的或传递的）,（2）RR,构造闭包的方法:,定理7.10

28、设R为A上的关系，则有,(1) r(R)=RR0,(2) s(R)=RR-1,(3) t(R)=RR2R3,(1) 证: 由IA=R0 RR0可知RR0是自反的，且满足R RR0,设R“是A上包含R的自反关系，则有RR“和IA R“,任取,必有,RR0 RIA R“R“=R“,从而证明了RR0 R“。,综上所述RR0满足定义的三个条件，所以r(R)=RR0,(3)证: 先证RR2R3 t(R)成立，,为此只需证明对任意的正整数 n 有Rn t(R)即可。,归纳法：n =1时，有R1=R t(R);,假设Rn t(R)成立，那么对任意的,有 Rn+1=RnR,$ t(Rn R), $t(t(R)

29、 t(R), t(R) (因为t(R)是传递的）,再证t(R) RR2R3 成立，,为此只须证明RR2R3是传递的。,任取，,则, RR2RR2, $t(Rt )$s(Rs ), $t$s(RtRs ), $t$s(Rt+s), RR2R3,从而证明了RR2R3是传递的。,令R=RR-1,由 RRR-1 满足RR,任取R,即,RR-1 R R-1, R-1 (R-1)-1, R-1 R,所以 R是对称的.,设R”是对称的,且RR”,对任意的R,则RR-1,当 R时，R”,当 R-1时，则R R”,因为R”是对称的，所以R”,所以任意的 R”，即RR”,故 S(R)=RR-1,推论设R为有穷集

30、A上的关系，则存在正整数 r 使得 t(R)=RR2R3Rr,以此定理为基础可以得到通过关系矩阵和关系图求闭包。,设关系 R, r(R)，s(R)，t(R)的关系矩阵分别为M， Mr，Ms，和Mt，则,Mr = M + E （E 是和 M同阶单位矩阵）,Ms = M + MT ( MT是 M的转置矩阵）,Mt = M + M2 + M3 +,设关系 R, r(R)，s(R)，t(R)的关系图分别记为G, Gr，Gs，Gt，则Gr，Gs，Gt的顶点集与G的顶点集相等。,除了G的边以外，以下述方法添加新的边:,考察G的每个顶点，如果没有环就加上一个环，最终得到的是Gr.,考察G的每一条边，如果

31、有一条xi到xj的单向边，ij，则在G中加一条xj到xi的反向边，最终得到Gs.,考察G的每个顶点xi,找出从出发的所有2步，3步，n步长的路径（n为G中的顶点数）。设路径的终点为xj1,xj2,xjk，如果没有从xi到xjl(l=1,2,k)的边，就加上这条边。当查完所有的顶点后就得到图Gt。,例7.15 设 A=a,b,c,d,R=,则R, 和r(R)，s(R)，t(R)的关系图如下图所示。,R,S(R),t(R),闭包的性质,定理7.11 设R是非空集合A上的关系，则（1）R是自反的当且仅当r(R)=R。（2）R是对称的当且仅当s(R)=R。（3）R是传递的当且仅当t(R)=R。,

32、证: 只证（2），其余留作练习。,显然有R S(R) 下证S(R) R,从而得到S (R)=R。,S (R) R,充分性显然成立，下面证明必要性,定理7.12 设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1 R2,则（1）r( R1) r( R2 )（2）s( R1) s( R2 )（3）t( R1 ) t( R2 ),定理7.13 设R是非空集合A上的关系，（1）若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的。（2）若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。（3）若R是传递的，则r(R)是传递的。,证明：,由于R是A上的对称关系，所以R=R-1，同时IA=IA-1。,根据练习七第18题得

33、(RIA)-1=R-1IA-1,从而推出 r(R)-1=(RR0)-1=(RIA)-1=R-1IA-1=RIA=r(R),这就证明了r(R)是对称的。,为证明t(R)是对称的，先证明下述命题：若R是对称的，则Rn也是对称的，其中n是任何正整数。,用归纳法。 n=1，R1=R显然是对称的。,假设Rn是对称的，则对任意的有,Rn+1,Rn R,t()RnR),t(RnR),RRn,R1+n=Rn+1,所以Rn+1是对称的。由归纳法命题得证。,下面证明t(R)的对称性。,任取，t(R),n(Rn),n(Rn) （因为Rn是对称的）,t(R),从而证明了t(R)的对称性。,（1）R是自反的 IA R

34、,（3）R是传递的 RR R,r(R) r(R)= (RR0) (RR0),= (RR0) R (RR0) R0,= R R R0 R R R0 R0 R0,= R R R R0,= R R0,=r(R),所以R是传递的,如果关系R是自反的和对称的，那么经过求闭包的运算以后所得到的关系仍就是自反的和对称的。,但是对于传递的关系则不然，它的自反闭包仍旧保持传递性，而对称闭包就有可能失去传递性。,例如：A=1，2，3，R=，s(R)=,则s(R)不再是A上的传递关系。,从这里可以看出，如果计算关系R的自反、对称、传递的闭包，为了不失去传递性，传递闭包运算应该放在对称闭包运算的后边，若令t

35、sr(R)表示R的自反、对称、传递闭包，则,tsr(R)=t(s(r(R),7.6 等价关系与划分,定义7.15 设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。,设R是一个等价关系，若R，称x等价于y，记做xy。,如：在安师院的学生的集合中，同在一个班级的关系是等价关系。,又如：T=1，2，3，4，关系R如图所示：,R是等价关系,xA，有xx(mod 3),x，yA，若xy(mod 3)，则有yx(mod 3),x，y，zA，若xy(mod 3)，yz(mod 3)，则有xz(mod 3),该关系的关系图如图7.5所示:,例7.16 设A=1,2,8，如下

36、定义A上的关系R： R=|x，yAxy(mod 3) 其中xy(mod 3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。,R为A上的等价关系,上述关系图被分为三个互不相连通的部分。,每部分中的数两两都有关系，不同部分中的数则没有关系。,每一部分中的所有的顶点构成一个等价类。,定义7.16 设R为非空集合A上的等价关系，令xA xR=y|yAxRy 称xR为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为x或。,从以上定义可以知道，x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。,例7.16中的等价类是： 1=4=7=1,4,7 2=5=8=2,5,8 3=6=3,6,将例7.16中的模

37、3等价关系加以推广，可以得到整数集合Z上的模n等价关系。,设x是任意整数，n为给定的正整数，则存在唯一的整数q和r，使得x=qn+r,其中0rn-1，称r为x除以n的余数。,例如n3，那么8除以3的余数为1，因为 -8=-33+1,对于任意的整数x和y，定义模n相等关系xy xy(mod n),它是整数集合Z上的等价关系。,i=nz+i|zZ，i=0，1，n-1,将Z中的所有整数根据它们除以n的余数分类如下：,余数为0的数，其形式为nz，zZ,余数为1的数，其形式为nz+1，zZ ,余数是n1的数，其形式为nz+n-1，zZ,以上构成了n个等价类，使用等价类的符号可记为,二等价类的性质,证

39、一个新的集合商集。,定义7.17 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，即A/R=xR|xA,例7.16中的商集为1,4,7,2,5,8,3,6,而整数集合Z上模n等价关系的商集是 nz+i|zZ|i=0,1,n-1,和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分。,则称是A的一个划分，称中的元素为A的划分块。,定义7.18 设A为非空集合，若A的子集族(P(A)，是A的子集构成的集合)满足下面的条件：,（1）,（2）xy(x，yxyxy= ),（3）=A,例7.17 设Aa,b,c,d，给定1,2,3,4,5,6,如下：,1=a,b,c

40、,d 2=a,b,c,d 3=a,a,b,c,d 4=a,b,c 5= ,a,b,c,d 6=a,a,b,c,d,把商集A/R和划分的定义相比较，易见商集就是A的一个划分，并且不同的商集将对应于不同的划分。,反之，任给A的一个划分，如下定义A上的关系R： R=|x,yAx与y在的同一划分块中,则不难证明R为A上的等价关系，且该等价关系所确定的商集就是。由此可见，A上的等价关系与A的划分是一一对应的。,这些划分与A上的等价关系之间的一一对应是： 1对应于全域关系EA，5对应于恒等关系IA， 2 , 3 , 4 分别对应于等价关系R2，R3，R4，其中,例7.18 给出A=1,2,3上所有的

41、等价关系。,解：先作出A的所有划分。,R2=,IA,R3=,IA,R4=,IA,7.7 偏序关系,注意这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性。,x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y。根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释。,定义7.19 设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作。如果，则记作xy，读作“小于或等于”。,大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写54 是说大于或等于关系中5排在4的前边，也就是5比4大。,集合A上的恒等关系IA和空关系都是A上的偏序关系。,小于或等于关系，整除关

42、系和包含关系也是相应集合上的偏序关系。,例如整除关系是偏序关系，36的含义是3整除6。,一般来说，全域关系EA不是A上的偏序关系。,定义7.20 设R为非空集合A上的偏序关系，定义 (1) x，yA，xy x y x y。 (2) x，yA，x与y可比 x y y x。,其中x y读作x“小于”y。,这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边。,有以上两个定义可知，在具有偏序关系的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：,例如A1，2，3，是A上的整除关系，则有,1 2，1 3， 1=1，2=2，3=3， 2和3不可比。,定义7.21 设R为非空集合A上的偏序关系，如果x

43、，yA，x与y都是可比的，则称R为A上的全序关系(或线序关系)。,例如数集上的小于或等于关系是全序关系因为任何两个数总是可比大小的。,整除关系一般来说不是全序关系,如集合1,2,3上的整除关系就不是全序关系，因为2和3不可比。,定义7.22 集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集，记作。,例如: 整数集合Z和数的小于或等于关系构成偏序集，,集合A的幂集P(A)和包含关系R构成偏序集。,利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。,为了说明哈斯图的画法，首先定义偏序集中顶点的覆盖关系。,定义7.23 设为偏序集。 x,yA，如果x y且不存在zA使得x z y，则称y覆盖x。,

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