1、第7讲 二元关系,离 散 数 学,本章说明,本章的主要内容 有序对与笛卡儿集 二元关系的定义和表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 本章与后续各章的关系 本章是函数的基础 本章是图论的基础,本章内容,7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系本章小结习题作业,7.1 有序对与笛卡儿积,定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对(ordered pair)或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 有序对具有以下性
2、质： （1）当xy时，。 （2）的充分必要条件是xu且yv。,说明,有序对中的元素是有序的 集合中的元素是无序的,例7.1,例7.1 已知，求x和y。,由有序对相等的充要条件有 x+25 2x+y4 解得 x3,y-2。,解答,定义7.2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积(Cartesian product)，记作AB。 笛卡儿积的符号化表示为 AB|xAyB,笛卡儿积的定义,A表示某大学所有学生的集合，B表示大学开设的所有课程的集合，则AB可以用来表示该校学生选课的所有可能情况。 令A是直角坐标系中x轴上的点集
3、，B是直角坐标系中y轴上的点集，于是AB就和平面点集一一对应。,举例,笛卡尔积举例,设A=a,b, B=0,1,2，则 AB=, BA=,举例,说明,如果|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn。,笛卡儿积的运算性质,(1)对任意集合A，根据定义有A, A (2)一般的说，笛卡儿积运算不满足交换律，即ABBA (当 A B AB 时) (3)笛卡儿积运算不满足结合律，即(AB)CA(BC) (当 A B C 时) (4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) (5)AC BD
4、AB CD,A(BC)=(AB)(AC)的证明,任取 A(BC) xA yBC xA (yByC) (xAyB) (xAyC) AB AC (AB)(AC) 所以 A(BC)=(AB)(AC),关于ACBD ABCD的讨论,该性质成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A且B时，也有AC和BD成立，证明如下：任取xA，由于B,必存在yB,因此有xAyB AB CD xCyD xC从而证明了 AC。同理可证 BD。,关于ACBD ABCD的讨论,该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （3）当A而B时，有AC成立，但不一定有BD成立。反例：令A,B1
5、,C3,D4。 （4）当A而B时，有BD成立，但不一定有AC成立。反例略。,例7.2,例7.2 设A=1,2,求P(A)A。,P(A)A ,1,2,1,21,2 ,解答,例7.3,例7.3 设A，B，C，D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由。 (1) ABAC BC (2) A-(BC)(A-B)(A-C) (3) ABCD ACBD,(1) 不一定为真。当A，B1,C2时，有 ABAC，但BC。 (2) 不一定为真。当A=B=1,C2时，有A-(BC)11 (A-B)(A-C)1 (3) 为真。由等量代入的原理可证。,解答,7.2 二元关系(binary relation),定义7
6、.3 如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空，且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果R，可记作xRy；如果R，则记作xRy。,设R1,，R2,a,b。 则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合，除非将a和b定义为有序对。 根据上面的记法可以写1R12，aR1b，aR1c等。,举例,R,是否为二元关系？,7.2 二元关系,定义7.4 设A，B为集合，AB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系；特别当A=B时，则叫做A上的二元关系。,A=0,1，B=1,2,3，那么 R1=，R2=AB，R3=
7、，R4= 等都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的二元关系。,举例,例子：有四件物件 球，糖，车，枪 及四个人 甲，乙，丙，丁。 若甲拥有球， 乙拥有糖，及丁拥有车,则二元关系“为.拥有“便是 R=, , ,举例,7.2 二元关系,集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。 如果|A|=n，那么|AA|=n2， AA的子集就有 个。 每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 个不同的二元关系。 例如|A|=3，则A上有 个不同的二元关系。,说明,常用的关系,定义7.5 对任意集合A，定义全域关系 EA=|xAyA=AA 恒等关系 IA=|xA空关系 ,设 A=1,2，那么 E
8、A=, IA=,举例,其它常用的关系,小于或等于关系：LA=|x,yAxy，其中 AR。 整除关系：DA=|x,yAx整除y，其中 AZ* Z*是非零整数集 包含关系：R|x,yAxy，其中 A是集合族。,(1)设 A=1,2,3，Ba,b则 LA=, DA=, (2)令A=P(B)=,a,b,a,b，则A上的包含关系是 R, , ,举例,例7.4,例7.4 设A=1,2,3,4，下面各式定义的R都是A上的关系，试用列元素法表示R。(1) R= | x是y的倍数 (2) R= | (x-y)2A (3) R= | x/y是素数 (4) R= | xy,解答,(1)R=, (2)R=, , (3
9、)R=, (4)R=EA-IA=, ,关系的表示方法,关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵 关系图 关系矩阵和关系图可以表示有穷集上的关系。,关系矩阵和关系图的定义,设A=x1,x2,xn,R是A上的关系。令,则,是R的关系矩阵，记作MR。,设A=x1,x2,xn,R是A上的关系。令图G=，其中顶点集合V=A，边集为E。对于 xi,xjV，满足 E xiRxj 称图G为R的关系图，记作 GR。,关系矩阵和关系图的实例,设 A=1,2,3,4，R=,， 则R的关系矩阵和关系图分别是,7.3 关系的运算,定义7.6 设R是二元关系。 (1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域(d
10、omain)，记为dom R。形式化表示为： dom R x | y(R ) (2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域(range) ，记作ran R。形式化表示为 ran Ry | x(R) (3)R的定义域和值域的并集称为R的域(field)，记作fld R。形式化表示为 fld Rdom R ran R,例7.5 求R=,的定义域、值域和域。 解答 dom R1,2,4 ran R2,3,4 fld R1,2,3,4,关系的逆和左复合运算,定义7.7 设R为二元关系，R的逆关系，简称R的逆(inverse)，记作R-1,其中R-1|R 定义7.8 设F,G为二元关系，F对G的
11、左复合(composite)记作FG，其中FG | t(GF) 例7.6 设F,G=，则F-1 ,FG GF,说明,可以把二元关系看作一种作用，R可以解释为x通过R的作用变到y。 FG表示两个作用的连续发生。,关系的限制和像,定义7.9 设R为二元关系，A是集合 (1) R在A上的限制(restriction)记作RA，其中RA=|xRyxA (2) A在R下的像(image)记作RA，其中RA=ran(RA),说明,R在A上的限制RA是R的子关系。 A在R下的像RA是ran R的子集。,例7.7,设R，,R1,，,R ,R2,3,，,R1,2,3,R ,R3,2,关系与集合的说明,关系是集合
12、，集合运算对于关系也是适用的。 规定： 关系运算中逆运算优先于其它运算 所有的关系运算都优先于集合运算， 优先权的运算以括号决定运算顺序。 例如： ran F-1 FGFH ran (FA),定理7.1,定理7.1 设F是任意的关系，则 (1)(F-1)-1F (2)dom F-1ran F，ran F-1dom F,(1)任取，由逆的定义有(F-1)-1 F-1 F,(2)任取xxdom F-1 y(F-1) y(F) xran F 所以有 dom F-1ran F,证明,定理7.2,定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(FG)HF(GH) (2)(FG)-1G-1 F-1,证明
13、,(1)任取，(FG)H t(H (t,y) FG) t(Hs(GF) ts(HGF) s(GHF) F(GH),定理7.2,定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(FG)HF(GH) (2)(FG)-1G-1F-1,证明,(2)任取，(FG)-1 FG t(GF) t(G-1F-1) G-1 F-1,定理7.3,定理7.3 设R为A上的关系，则R IAIA RR,证明,(1)任取， R IA t(R(t,y)IA) t(Rty) R,R RyA RIA) R IA,综上所述，有 RIAR 同理可证 IARR,定理7.4,定理7.4 设F，G，H是任意的关系，则 (1) F(GH)F
14、GFH (2) (GH)FGFHF (3) F(GH)FGFH (4) (GH)FGFHF,证明,(3) F(GH) t(GH (t,y)F) t(G(x,t)H(t,y)F) t(G(t,y)F) (H(t,y)F) t(G(t,y)F) t(H(t,y)F) FG FH FGFH,关系的幂运算,定义7.10 设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：（1） R0|xAIA（2） Rn+1Rn R,说明,对于A上的任何关系R1和R2都有R10R20IA 即：A上任何关系的0次幂都相等，都等于A上的恒等关系IA。 对于A上的任何关系R都有R1R，因为R1R0 RIA RR,Rn的计算,
15、给定A上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？ 若n是0或1，结果是很简单的。下面考虑n2的情况。 如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次左复合计算得到Rn。 如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系矩阵是Mn，即n个矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑加，即 1+11，1+00+11，0+00 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到Rn的关系图G。G的顶点集与G相同。考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n步长的路径到达顶点xj，则在G中加一条从xi到xj的边。当把所有这样的便都找到以后，就得到图G。,例7.8,例7.8 设Aa,b,c,d，R,，求R的各次
16、幂，分别用矩阵和关系图表示。,解答,例7.8,因此M4M2，即R4R2。因此可以得到 R2R4R6 R3R5R7,定理7.7,定理7.7 设R是A上的关系，m,nN，则 (1)Rm RnRm+n (2)(Rm)nRmn,证明,(1)对于任意给定的mN,施归纳于n。 若n=0，则有,所以对一切m,nN有 Rm RnRm+n。,Rm R0,Rm IA,Rm,Rm+0,假设Rm Rn=Rm+n，则有,Rm Rn+1,Rm (Rn R),(Rm Rn)R,Rm+n+1，,定理7.7,定理7.7 设R是A上的关系，m,nN，则 (1)Rm RnRm+n (2)(Rm)nRmn,证明,(2)对于任意给定的
17、mN,施归纳于n。 若n=0，则有,所以对一切m,nN 有(Rm)n=Rmn。,(Rm)0,IA,R0,Rm0,假设(Rm)nRmn，则有,(Rm)n+1,(Rm)n Rm,Rmn+m,Rm(n+1),7.4 关系的性质,自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性,自反性和反自反性,定义7.11 设R为A上的关系， (1)若x(xAR)，则称R在A上是自反(reflexivity)的。 (2)若x(xAR)，则称R在A上是反自反(irreflexivity)的。 例如 全域关系EA，恒等关系IA，小于等于关系LA，整除关系DA都是为A上的自反关系。包含关系R是给定集合族A上的自反关系。小于关系
18、和真包含关系都是给定集合或集合族上的反自反关系。,例7.10,例7.10 设A=1,2,3，R1，R2，R3是A上的关系，其中 R1, R2, R3说明R1，R2和R3是否为A上的自反关系和反自反关系。 解答 R1既不是自反的也不是反自反的，R2是自反的，R3是反自反的。,对称性和反对称性,定义7.12 设R为A上的关系， （1）若xy(x,yARR)，则称R为A上对称(symmetry)的关系。 （2）若xy(x,yARRx=y)，则称R为A上的反对称(antisymmetry)关系。 例如 A上的全域关系EA，恒等关系IA和空关系都是A上的对称关系。恒等关系IA和空关系也是A上的反对称关系
19、。但全域关系EA一般不是A上的反对称关系，除非A为单元集或空集。,例7.11,例7.11 设A1,2,3，R1，R2，R3和R4都是A上的关系，其中R1, R2, R3, R4,说明R1，R2，R3和R4是否为A上对称和反对称的关系。 解答 R1既是对称也是反对称的。R2是对称的但不是反对称的。R3是反对称的但不是对称的。R4既不是对称的也不是反对称的。,传递性,定义7.13 设R为A上的关系，若 xyz(x,y,zARRR) 则称R是A上的传递(transitivity)关系。 例如 A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系都是A上的传递关系。小于等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的
20、传递关系。小于关系和真包含关系仍旧是相应集合上的传递关系。,例7.12,例7.12 设A1,2,3，R1，R2，R3是A上的关系，其中R1, R2, R3说明R1，R2和R3是否为A上的传递关系。 解答 R1和R3是A上的传递关系，R2不是A上的传递关系。,关系性质的等价描述,定理7.9 设R为A上的关系，则 （1）R在A上自反当且仅当 IA R （2）R在A上反自反当且仅当 RIA （3）R在A上对称当且仅当 RR-1 （4）R在A上反对称当且仅当 RR-1 IA （5）R在A上传递当且仅当 RRR,说明,利用该定理可以从关系的集合表达式来判断或证明关系的性质。,分析,关系性质的证明方法,关
21、系性质的特点,例7.14,例7.14 判断下图中关系的性质，并说明理由。,（1）对称的，不是自反的，不是反自反的，不是反对称的，不是传递的。 （2）是反自反的，不是自反的，是反对称的，不是对称的，是传递的。 （3）是自反的，不是反自反的，是反对称的，不是对称的，不是传递的。,关系的性质和运算之间的关系,例7.13,例7.13 设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明： 若R1，R2是自反的，则R1R2也是自反的。,证明,由于R1和R2是A上的自反关系，故有IA R1 和 IA R2 从而得到 IA R1R2。 根据定理7.9可知 R1R2在A上是自反的。,7.5 关系的闭包,闭包（closur
22、e）的定义 闭包的构造方法 闭包的性质 闭包的相互关系,闭包的定义,定义7.14 设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R，使得 R满足以下条件：（1）R是自反的（对称的或传递的）（2）RR（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R有 R R。一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包记作s(R)，传递闭包记作t(R)。,闭包的构造方法,定理7.10 设R为A上的关系，则有（1）r(R)RR0（2）s(R)RR-1（3）t(R)RR2R3,定理7.10 (1)的证明,（1）r(R)RR0,证明,由IAR0 RR0，可知RR0是自反的， RRR0。 设R是A上包含R
23、的自反关系，则有RR和IAR。任取，必有RR0 RIA RRR所以 RR0 R。 综上所述，r(R)RR0。,例7.14,例题7.14 求整数集合Z上的关系R | a|a|ab|abs(R)RR-1|a|b|ab,通过关系矩阵求闭包的方法,设关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系矩阵分别为M，Mr，Ms和Mt，则Mr ME 对角线上的值都改为1Ms MM 若aij1，则令aji1Mt MM2M3 其中E是和M同阶的单位矩阵，M是M的转置矩阵。注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。,通过关系图求闭包的方法,设关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系图分别记为G，Gr，Gs，Gt，则G
24、r，Gs，Gt的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外，以下述方法添加新的边。 1)考察G的每个顶点，如果没有环就加上一个环。最终得到的是Gr。 2) 考察G的每一条边，如果有一条xi到xj的单向边，ij，则在G中加一条边xj到xi的反方向边。最终得到Gs。 3) 考察G的每个顶点xi，找出从xi出发的所有2步，3步，n步长的路径（n为G中的顶点数）。设路径的终点为 。 如果没有从xi到 (l=1,2,k)的边，就加上这条边。当检查完所有的顶点后就得到图Gt。,例7.15,例7.15 设A=a,b,c,d，R=,，则R和r(R)，s(R)，t(R)的关系图如下图所示。其中r(R)，s(R)，t
25、(R)的关系图就是使用上述方法直接从R的关系图得到的。,通过关系矩阵求闭包,例 设A=a,b,c,d，R=,， 求t(R)。,通过关系矩阵求闭包,由Mt(R )可写出t(R )=,从而得到传递闭包的矩阵表示为,闭包的主要性质,定理7.11 设R是非空集合A上的关系，则 （1）R是自反的当且仅当r(R)R。 （2）R是对称的当且仅当s(R)R。 （3）R是传递的当且仅当t(R)R。 证明 （1）必要性。因为Rr(R)，所以R是自反的。 充分性。 显然有R r(R)。 由于R是包含R的自反关系，根据自反闭包定义有r(R)R。 从而得到r(R)=R。,闭包的主要性质,定理7.12 设R1和R2是非空
26、集合A上的关系，且R1 R2，则（1）r(R1) r(R2)（2）s(R1) s(R2)（3）t(R1) t(R2) 证明：(1)任取，有r(R1) R1IA R1 IA R2 IA R2IA r(R2),7.6 等价关系与划分,定义7.15 设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系(equivalent relation)。设R是一个等价关系，若R，称x等价于y，记做xy。 举例 (1)平面上三角形集合中，三角形的相似关系。(2)人群中的同性关系。 但：朋友关系不一定是等价关系。 直线间的平行关系也不一定是等价关系。,例7.16,例7.16 设A1,2,
27、8，如下定义A上的关系R： R|x，yAxy(mod 3) 其中xy(mod 3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。不难验证R为A上的等价关系，因为xA，有xx(mod 3)x,yA，若xy(mod 3)，则有yx(mod 3)x,y,zA，若xy(mod 3)，yz(mod 3)，则有xz(mod 3),等价类,定义7.16 设R为非空集合A上的等价关系，xA，令 xR=y|yAxRy 称xR为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为x,x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。 例7.16中的等价类是：1471,4,72582,5,8363,6,整数集合Z上的
28、模n等价关系,设x是任意整数，n为给定的正整数，则存在唯一的整数q和r，使得 xqn+r 其中0rn-1，称r为x除以n的余数。 例如n3，那么8除以3的余数为1，因为 -8-33+1 对于任意的整数x和y，定义模n相等关系 xy xy(mod n) 不难验证它是整数集合Z上的等价关系。 将Z中的所有整数根据它们除以n的余数分类如下：余数为0的数，其形式为nz，zZ 余数为1的数，其形式为nz+1，zZ 余数是n-1的数，其形式为nz+n-1，zZ 以上构成了n个等价类，使用等价类的符号可记为 inz+i|zZ，i=0，1，n-1,等价类的性质,定理7.14 设R是非空集合A上的等价关系，则
29、（1）xA，x是A的非空子集。 （2）x,yA，如果xRy，则xy。 （3）x,yA，如果R，则x与y不交。 （4）x|xAA。,商集,定义7.17 设R为非空集合A上的等价关系，以R的不交的等价类作为元素的集合称为A关于R的商集(quotient set)，记做A/R，即A/R=xR|xA 例7.16中的商集为1,4,7,2,5,8,3,6 整数集合Z上模n等价关系的商集是 nz+i|zZ|i=0,1,n-1,划分,定义7.18 设A为非空集合，若A的子集族(P(A)，是A的子集构成的集合) 满足下面的条件：（1） （2）xy(x,yxyxy) （3）=A则称是A的一个划分(partitio
30、ns)，称中的元素为A的划分块。,说明,设集合是A的非空子集的集合，若这些非空子集两两不相交，且它们的并等于A，则称是集合A的划分。,例7.17,例7.17 设Aa,b,c,d，给定1,2,3,4,5,6,如下： 1=a,b,c,d 2=a,b,c,d 3=a,a,b,c,d 4=a,b,c 5=,a,b,c,d 6=a,a,b,c,d 判断哪一个是A的划分1和2是A的划分，其它都不是A的划分。因为3中的子集a和a,b,c,d有交，4A，5中含有空集，而6根本不是A的子集族。,商集与划分,商集就是A的一个划分，并且不同的商集将对应于不同的划分。 反之，任给A的一个划分，如下定义A上的关系R：R
31、=|x,yAx与y在的同一划分块中则不难证明R为A上的等价关系，且该等价关系所确定的商集就是。 由此可见，A上的等价关系与A的划分是一一对应的。,例7.18,例7.18 给出A1,2,3上所有的等价关系,这些划分与A上的等价关系之间的一一对应是： 1对应于全域关系EA， 5的对应于恒等关系IA， 2，3和4分别对应于等价关系R2，R3和R4。 其中 R2=,IA R3=,IA R4=,IA,例题,例题 问集合Aa,b,c,d上有多少个不同的等价关系？ 解答 只要求出A上的全部划分，即为等价关系。划分为一个块的情况：1种，即a,b,c,d划分为两个块的情况：7种，即a,b,c,d，a,c,b,d
32、，a,d,b,ca,b,c,d，b,a,c,d，c,a,b,d， d,a,b,c划分为三个块的情况：6种，即a,b,c,d，a,c,b,d，a,d,b,c,a,b,c,d，a,c,b,d，a,d,b,c划分为四个块的情况：1种，即a,b,c,d因此，共有15种不同的等价关系。,7.7 偏序(partial order)关系,定义7.19 设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作。设为偏序关系，如果，则记作xy，读作“x小于或等于y”。 注意 这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性。x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排
33、在y的前边。根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释。 偏序关系举例集合A上的恒等关系IA 小于或等于关系整除关系 包含关系,可比,定义7.20 设R为非空集合A上的偏序关系，定义 (1) x,yA，xy xyxy。 (2) x,yA，x与y可比 xyyx。 其中xy读作x“小于”y。这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边。 在具有偏序关系的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：xy(或yx)，xy，x与y不是可比的。 例如A1，2，3，是A上的整除关系，则有 12，13， 1=1，2=2，3=3， 2和3不可比。,全序关系,定义7.21 设R为非空集合A上的偏序关系，如果x
34、,yA，x与y都是可比的，则称R为A上的全序关系（或线序关系）。 例如数集上的小于或等于关系是全序关系，因为任何两个数总是可比大小的。整除关系一般来说不是全序关系，如集合1,2,3上的整除关系就不是全序关系，因为2和3不可比。,偏序集,定义7.22 集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集，记作。 例如 整数集合Z和数的小于或等于关系构成偏序集集合A的幂集P(A)和包含关系R构成偏序集。,覆盖(cover),定义7.23 设为偏序集。 x,yA，如果 xy 且不存在 zA使得xzy，则称y覆盖x。 例如 1,2,4,6集合上的整除关系，有2覆盖1，4和6都覆盖2。但4不覆盖1，因为有124。6也不
35、覆盖4，因为46不成立。,哈斯图(Hasse diagram),利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性所得到的偏序集合图，称为哈斯图。 画偏序集的哈斯图的方法 (1)用小圆圈代表元素。 (2)x,yA，若xy，则将x画在y的下方。 (3)对于A中的两个不同元素x和y，如果y覆盖x，就用一条线段连接x和y。,例7.19,例7.19 画出偏序集和的哈斯图。,例7.20,例7.20 已知偏序集的哈斯图如右图所示，试求出集合A和关系R的表达式。,解答A=a,b,c,d,e,f,g,hCOV(R)=, , R= , , IA,偏序集中的特殊元素,定义7.24 设为偏序集，BA，yB。 （1）若x(xBy
36、x)成立，则称y为B的最小元。 （2）若x(xBxy)成立，则称y为B的最大元。 （3）若x(xBxyxy)成立，则称y为B的极小元。 （4）若x(xByxxy)成立，则称y为B的极大元。,无 无 24,26 2,3,12 6 12 6,6 无 6 2,3,6 6 6 6,特殊元素的性质,最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比。 极小元不一定与B中元素可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。 对于有穷集B，极小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在，一定是唯一的。 极小元可能有多个，但不同的极小元之间是不可比的（无关系）。 如果B中只有一个极小元，则它一定是B的最小元。 哈斯
37、图中，集合B的极小元是B中各元素中的最底层。,例7.21,例7.21 设偏序集如右图所示，求A的极小元、最小元、极大元、最大元。,解答极小元：a,b,c,g 极大元：a,f,h。 没有最小元与最大元,说明,哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元。,上界、下界,定义7.25 设为偏序集，BA，yA。 （1）若 x(xBxy)成立，则称y为B的上界。 （2）若 x(xByx)成立，则称y为B的下界。 （3）令Cy|y为B的上界，则称C的最小元为B的最小上界或上确界。 （4）令Dy|y为B的下界，则称D的最大元为B的最大下界或下确界。,上界与下界举例,无 无 无 无,12,24,36 2,3,6 1
38、2 6,6,12,24,36 无 6 无,6,12,24,36 2,3,6 6 6,考虑右图中的偏序集。令Bb，c，d，则B的下界和最大下界都不存在，上界有d和f，最小上界为d。,上界与下界的性质,B的最小元一定是B的下界，同时也是B的最大下界。 B的最大元一定是B的上界，同时也是B的最小上界。 B的下界不一定是B的最小元，因为它可能不是B中的元素。 B的上界也不一定是B的最大元。 B的上界、下界、最小上界、最大下界都可能不存在。如果存在，最小上界与最大下界是唯一的。,本章主要内容,有序对与笛卡尔积 二元关系（包括空关系，恒等关系，全域关系等）及其表示（关系矩阵，关系图） 关系的五种性质（自反
39、性，反自反性，对称性，反对称性，传递性） 二元关系的幂运算 关系的三种闭包（自反闭包，对称闭包，传递闭包） 等价关系和划分（包括等价类，商集，划分块等） 偏序关系（包括哈斯图，最大元，最小元，极大元，极小元，上界，下界，最小上界，最大下界等）,本章学习要求,掌握：有序对及卡氏积的概念及卡氏积的性质 掌握：二元关系，A到B的二元关系，A上的二元关系，关系的定义域和值域，关系的逆，关系的合成，关系在集合上的限制，集合在关系下的象等概念，掌握关系的定义域、值域、逆、合成、限制、象等的主要性质 掌握：关系矩阵与关系图的概念及求法 掌握：集合A上的二元关系的主要性质（自反性，反自反性，对称性，反对称性，
40、传递性）的定义及判别法，对某些关系证明它们有或没有中的性质,本章学习要求,掌握：A上二元关系的n次幂的定义及主要性质 掌握A上二元关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的定义及求法 掌握：等价关系、等价类、商集、划分、等概念，以及等价关系与划分之间的对应 掌握：偏序关系、偏序集、哈斯图、最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界等概念,作业,习题4： P11712,13,14,16,24,关系性质的证明,通常的证明方法是利用定义证明。 R在A上自反任取x，有 xA R R在A上对称任取，有 R R R在A上反对称任取，有 R R xy R在A上传递任取，有 R R R,有关关系性质
41、的练习题,在正整数集合上定义关系R：R，如果x和y的最大公因子是1。判断R是否满足关系的五条性质？ 设A=a,b,c，试给出A的一个二元关系R，使其同时不满足五个性质。 N元素集合上有多少个自反的关系？,例题,例题 在正整数集合上定义关系R：R，如果x和y的最大公因子是1。判断R是否满足关系的五条性质？ 分析 按增序系统地列出所有的序对，然后观察。xy 最大公因子 是否在R中2 1 是3 1 是3 1 是4 1 是4 2 否4 1 是 ,例题,解答 自反 否 R反自反 否 R对称 是 RR反对称 否 RR 但 12传递 否 RR 但 R 扩展 (1)从列出的若干序偶来考察是否属于关系。(2)按
42、一定规则列出序偶。(3)一个范例即可证明不满足某种性质。(4)证明某种性质成立，必须取出关系中的每个元素。,例题,例题 设A=a,b,c，试给出A的一个二元关系R，使其同时不满足五个性质。 分析 因为关系的各种性质的存在，都要求满足一定的条件，要做的就是创造或破坏这些条件。从AA出发，通过删除某些序偶，使其不满足那些性质。 解答 令R,R 不满足自反性R 不满足反自反性R R 不满足对称性RRbc 不满足反对称性RRR 不满足传递性,习题,设R|x,yN 且 x+3y12 (1)求R的集合表达式 (2)求 dom R，ran R (3)求RR (4)求R2,3,4,6 (5)求R3 (6)R3
43、,解答： , 0,3,6,9,12， 0,1,2,3,4 , , 3 ,习题,设R是复数集合C上的关系，且满足xRyx-ya+bi，a和b为给定的非负整数，试确定R的性质并证明之。 解答 （1）当ab0时，满足自反性、对称性、反对称性和传递性，不满足反自反性。 （2）当a、b不全为0时，只满足反自反性、反对称性。,习题,例题 设I为整数集，R|xy(mod k)，证明R是等价关系。 证明 设任意a,b,cI(1)因为aa0，所以R。(2)若ab(mod k)，abkt(t为整数)，则ba-kt，所以ba(mod k)。(3)若ab(mod k)，bc(mod k)，则abkt，bcks(t和s为整数)，acabbcktksk(ts)，所以ac(mod k)因此，R是等价关系。,
