多元函数的极值

1、2019/2/14,1,第八节 多元函数的极值及其求法,第九章,一、多元函数的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,三、小结与思考练习,2019/2/14,2,一、 多元函数的极值及最大值、最小值,定义 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,2019/2/14,3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,函数,偏导数,证明:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定。

2、1、二元函数极值的定义,极大值和极小值统称为极值.,函数取得极值的点称为极值点（极大值点，极小值点）.,一、多元函数的极值和最值,第八节 多元函数的极值及其求法,例1,例2,例3,根据极值的定义,易知以下结果:,2、二元函数取得极值的条件,证明,定理1(必要条件),驻点,推广,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,定理2(充分条件),求二阶连续可导的函数 z = f ( x, y ) 极值的一般步骤:,10,20,30,求出所有驻点：,求出每个驻点处的A,B,C的值；,确定每个驻点处， AC-B2 的符号，,并判定函数在该点处是否有极值，,有极值时，由A的符号判。

3、1,第六节 多元函数的极值与最值,一、多元函数的极值与最值,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,2,(1),(2),(3),例1,例,例,3,播放,4,5,6,7,8,9,10,11,12,极值的求法,（称驻点）,驻点,极值点,注意：,定理1（必要条件）,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,13,定理2（充分条件）,14,例4,解,无极值,极小值-5,极大值31,无极值,驻点,15,二元函数的最值,若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.,设生产某种商品需原料A和B，设A的单。

4、 12 2多元函数的极值及其求法 多元函数的极值和最值 引例1 某商店卖两种牌子的果汁 本地牌子每瓶进价1元 外地牌子每瓶进价1 2元 店主估计 如果本地牌子的每瓶卖元 外地牌子的每瓶卖元 则每天可卖出瓶本地牌子的果汁 瓶外地牌子的果汁问 。

5、多元函数极值的充分条件 马丽君 集宁师范学院 数学系 我们知道 一元函数在点取得极值的充分条件是 函数在点处具有一阶二阶连续导数 是驻点 即 若 则为的极小值点 或极大值点 对于多元函数 其中 有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论 定义1 设元函数 其中 对各自变量具有一阶连续偏导数 则称 为的梯度 记作 引理 设元函数 其中 对各自变量具有一阶连续偏导数 则在点取得极值的必要条件是 证。

6、2 多元函数的极值1 2 无 条 件 极 值条 件 最 值3 闭 区 域 最 值2-1 多元函数极值1 2 3 定 义必 要 条 件充 分 条 件4 驻 点2-1-1 定义 一元 函数 极值 一元 函数 拐点 多元 函数 极值 必要条件 一元函数极值 一元函数拐点 设点 00,x f x 为曲线 y f x 的拐点，且 fx 存在，则 0 =0fx 多元函数极值 充分条件 一元函数极值 一元函数拐点 充分条件 1：设 fx在 0x 处连续，在 0x 的某去心领域内二阶可导，并且在 0xx 的左、右领域 fx 异号，则点 00,x f x 是曲线 y f x 的拐点 . 充分条件 2： 设 fx在 00,xx二阶可导， 若 0 =0fx ，且 0 0fx。

7、2010年第12卷第6期 总第105期 巢湖学院学报 Joum of Chaohu College No 6 Vo1 12 2010 General Serial No 105 多元函数极值求法探讨 陈惠汝 黄冈师范学院数学与信息科学学院 湖北黄冈438000 摘要 利用方向导数 梯度及内积 二次型三种方法分别判别函数极值 通过二元函数求极 值的方法介绍多元函数极值的求法 关键词 多元函数 极值 。

8、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,有极小值；,有极大值；,无极值。,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例4 求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,因此，驻点,因此，驻点,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显。

9、1,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,9.8-9.9多元函数的极值及条件极值,2,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取。

10、实验11 多元函数极值与一元函数极值的比较,内容提要本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们的理解。 实验步骤 1. 方向导数我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导数就可能不存在，请看下面的例子。,多元函数极值与一元函数极值的比较,例 1 （1）证明：函数在原点处连续，而且在原点处的偏导数fx和fy 都存在（即沿x轴和y轴方向导数都存在），但原点处其。

11、第十一讲 二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题一二元函数的极值定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(yxfz),(0，如果总有 ，则称函数 在点 处),(),0yxyxf),(yxfz),(0有极大值；如果总有 ，则称函数 在点 有极小值),(),(0fyxf,f0函数的极大值，。

12、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,二、多元函数的最值,三、条件极值,一、多元函数的极值,1二元函数极值的定义,定义,例如：,2二元函数取得极值的必要条件,注,20 定理1可简述为：“可偏导函数的极值点必为驻点”,30 驻点不一定是极值点,40 对于一般的二元函数，偏导数不存在的点也可能是极值点,3二元函数取得极值的充分条件,解,二、多元函数的最值,（3）将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,1求多元连续函数 在有界闭区域 D 上的最值的一般方法与步。

13、多元函数的极值与应用摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性Extreme value of function and applicationAbstract：This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singularKeywords：Function extreme: function extend application一函数极值理论定。

14、第五节 多元函数的极值,主讲教师：黄小平,一、复习引入 二、二元函数极值的定义 三、二元函数取得极值的条件 四、二元函数极值的求法 五、本节小结,1、复习回顾,2、问题的提出,求最大收益即为求二元函数的最大值。,某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,问题：如何求二元函数的最大值和最小值呢？,二、二。

15、第八节 多元函数的极值及其求法,一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值,1、定义,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，。

16、多元函数极值解法摘 要：科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦，有时根本无法解决。鉴于此，本文从一下几方面作了介绍：二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法；条件极值的求解方法及应用；n 元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n 元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍，旨在为以后的学习和实际工作带给一定的方便。关键词：多元函数；极值；充要条件 ；方向导数；偏导数；矩阵；驻点； 。

17、7.6 多元函数的极值,一、多元函数的极值,二、条件极值,定义7.7,一、多元函数的极值,多元函数的极值是一种局部的性质.,例2,例1,例3,定理7.7,可微函数的极值点一定是驻点，但驻点未必是 极值点.,定理7.8,那么有下列结论成立：,例2,解,再求二阶偏导数,因此,例3,解,例4,解,例5,解,二、条件极值,问题：,在实际问题中可由实际意义判别.,例6,解,例7,解,。