1、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,二、多元函数的最值,三、条件极值,一、多元函数的极值,1二元函数极值的定义,定义,例如：,2二元函数取得极值的必要条件,注,20 定理1可简述为：“可偏导函数的极值点必为驻点”,30 驻点不一定是极值点,40 对于一般的二元函数，偏导数不存在的点也可能是极值点,3二元函数取得极值的充分条件,解,二、多元函数的最值,（3）将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,1求多元连续函数 在有界闭区域 D 上的最值的一般方法与步骤,解,（3）由（1），（2）得，,2求多元函数最值的应
2、用问题的方法,在实际问题中，如果根据问题的性质就可以断定目标 函数 的最大值或最小值一定存在，而且一定在 D 的 内部取得，而 在 D 内只有一个驻点，那么可以断定 该驻点处的函数值就是要求的最值,例3,解 设水箱长,宽分别为 x m , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,由,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,由问题的性质可知，A 的最小值在定义域内一定存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,故可断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽、高均为,水箱所用材料最省.,时,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条件极值 :,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,对函数的自变量附加限制条件的极值，称为条件极值,1条件极值的定义,2条件极值的求法,方法1 转化法将条件极值转化为无条件极值,方法2 拉格朗日乘数法,注,解,解,解得,由,解,由,由于,解,则,由,思考题,思考题解答,
