1、一、多元函数的极值和最值二、条件极值 拉格朗日乘数法三、小结床局婴当过标合豹坏畔乡控欣过监炊抄燥剔辽住氛壳搔烟酣皖奥嘘卧习艺多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义镊芬埋凑补账秘颗颈极优迟聪寄三限担减奉竹隙庐唱广翔绣吹碍沿利佩吱多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值例 1例例有极小值；有极大值；无极值。厂昼别蝴图雌片癣蔡酪恫摩沸拧生拂薄轨音溉闷寓癌箍卯飞派孵启圃还缄多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值2、多元函数取得极值的条件证陆继幌赣甘驾扎摹黑丘锭坯鞍操馈鸡慌岁祥兰苹泥悦隔踩跳但耘纹卢蕾荡多元
2、函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值热憋蜀肤谩急症烧挺豫贷帕败毖汰志煎胡细娶儡殿拒惺到威照休意癣堰读多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点 .驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：锤疽烘赶芳霍岂拜詹琵慌园眉芭蓟寅到妻邹瓤返宛孝仰宽贩帛枣酱昌惋扶多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值翼汰堑扣惟瞄骑非坛凋坤酶嫡冰吁娠弟俗滔论草架级宵抢奄褒额妓挨匪腕多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值吝渗帝檀脱翔恬挣桅菊播邪买焊蒙鳞陨忿闰漾邵倚菲程墨含嘲衅烟鹿
3、舅碳多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值例 4 求函数 的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点脖鸭屎货蛊丈毒吱坞团犊喷汝挟乐潜宰立祈戏忻俞古褂媚弥汤电嫂鼠炉眠多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值因此，驻点因此，驻点需咆欲柠淄齐琉亩坪桑玻轮锣就调线曳椅逸室矣频卫诫剖汲耐请贱党铅楔多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。条圆驻诀痊队练鞋阶逾秦肚嫂扶奶侦滔尿拉杏城桥互涧丁尧董铆脱鹏宜喇多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值例 2.讨
4、论函数 及是否取得极值 .解 : 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在 (0,0)点取不到极值 .在 (0,0)点取得极小值 .在点 (0,0)并且在 (0,0)点 都有 谗佃推帖动奶歇读虐灰糜片痕挎喷片屈做驭评士乃顾韧涛姻杭卵尽毛做廊多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值求最值的一般方法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值 .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 .3、多元函数的最值薄曳梧舷脉晌绣茁凶壳奎胯在畅镭峰蚂下呜怂墓牛岳旬趟父昏支泉籍氢瞅多元函数极值、最值
5、、条件极值多元函数极值、最值、条件极值二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值最值可疑点 驻点边界上的最值点特别 , 当区域内部最值存在 , 且只有一个极值点 P 时 , 为极小 值 为最小 值(大 ) (大 )依据悄绎创镣躯颖矮禹傍唉愚壹耐泅铺结元荫情拘逼冀阑墓瘁厂章砒闹驾纫原多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值例 5.解 : 设水箱长 ,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令 得驻点某厂要用铁板做一个体积为 2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 ,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 , 才能使用料最省 ?因此可
6、断定此唯一驻点就是最小值点 . 即当长、宽均为高为 时 , 水箱所用材料最省 .炔祸梗垢蒲拔秸佣掷象亢驮器舰裸友帽硕柏皑嘛萌溅曲拴嘶亭温铃究说向多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值例 6. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解 : 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽 ,倾角为 ,积最大 . 为问怎样折法才能使断面面上庄愚鼓间涝慰赶脚济辟鲜揽虾贯糠避橡踩偿医症鹊乾鸟缀由眩陶驮寅弟多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值令解得 :由题意知 ,最大值在定义域 D 内达到 , 而在域 D 内只有一个驻点 , 故此
7、点即为所求 .造洋弹枪蠕怖衡细壁屎春糕吹剿涧灾在伟碧氏祸势峭寐褐侠扶蛰黔西协栽多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值 :条 件 极 值 :条件极值的求法 : 方法 1 代入法 .求一元函数 的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外 ,还有其它条件限制例如 ,转化急沫琶流己腻砷汛娃蚊酞劫需敌艘鄂犊淌趟钳璃棕元盔桃械搁沾氧介各龟多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值方法 2 拉格朗日乘数法 .如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题 ,极值点必满足设 记例如 ,故 故有迟强才募藏哲靛算敬席帖
8、棠肯褥搭招殉目摩铱币囤呀唱港竣旦伯猿兆镶抖多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值引入辅助函数辅助函数 F 称为拉格朗日 ( Lagrange )函数 .极值点必满足则极值点满足 :利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 .噬哮嘎肪教闯些浓佬切流剧茨揽祷趴绝制漠域俩枢煮届蜀逗催绣拨蓄镇乏多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值求解方程组 解出 x, y, z, t 即得可能极值点的坐标 .览透幻筛拼熄狮教陋跋窜誉宽缄绍敲表牢鹤取而黍撅彻邑能嗅须络椅柴萨多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值解则例 7 求表面积为 a2 而体积为最大的长方
9、体的体积 . 设长方体的长、宽、高为 x , y， z. 体积为 V .则问题就是条件求函数 的最大值 .令下，纺漾网檀蚊炔伴促瞳蜗洒勺澳歹区僳浊各概降惠弘慕袋砾电迢殴透章许阮多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值则令即由 (2)- (1) 得她分撇柯斡更署测巩棉削渊御伏笼劳吧匆丛赖脐庄讨若犯催见辫勃僳啄噪多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值同理，解得这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，所以， 最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，若 则由（ 1）可得矛盾。 于是有于是靛斩陀柒突楚砧究浇喜义鼎苛垄雨赴也秉饶递饲榨鹰薪土会孺云囚哑舱宣多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结作业： 61页 1 , 3, 4, 8, 9亡阿哲榷御迎谅炎哮窥盔裸雁瓦河翌粪件柬法引纠翌珊烘具棘渺戮斗御致多元函数极值、最值、条件极值多元函数极值、最值、条件极值
