1、第五节 多元函数的极值,主讲教师：黄小平,一、复习引入 二、二元函数极值的定义 三、二元函数取得极值的条件 四、二元函数极值的求法 五、本节小结,1、复习回顾,2、问题的提出,求最大收益即为求二元函数的最大值。,某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,问题：如何求二元函数的最大值和最小值呢？,二、二元函数极值的定义,观察：,观察二元函数 的图形,二元函数极值的
2、定义,定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对 于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y):如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点。,极值是局部特性,问题：,回顾一元函数极值的知识可知，如果函数f(x)在x0处取得极值，且导数存在，那么必有f(x0)=0.,如果(x0,y0)为二元函数f(x，y)的极值点，且在此处导数存在，那么会有什么结果呢？,二、多元函数取得极值的条件,推广,如果三元函数,在点,有极值的必要条件,具有偏导数，则它在,是：,仿照一元函数，凡
3、使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,定理,2,（充分条件）,设函数,在点,的某邻域内有连续的,二阶偏导数，且 是函数 的驻点.令,则：,四、二元函数极值的求法,例4 求函数f (x，y)x3y33x23y29x 的极值,五、本节小结,1、本节学习了多元函数极值的定义，注意极值仅是函数的局部特性。,2、多元函数取得极值的必要条件和充分条件。,只有当AC- 0时驻点才是极值点。,3、有可能偏导不存在也是极值点，例如函数 在（0，0）点处有极大值，但函数在（0，0）点偏导不存在。,因此，在求函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑,思考：,某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,
