1、多元函数的极值与应用摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性Extreme value of function and applicationAbstract：This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the appli
2、cation of function extreme and singularKeywords：Function extreme: function extend application一函数极值理论定义 2.1.1 设 元函数 在点 的某个3n(2)12(,)nzfx 0012(,)nx邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于 的点 都有00, (或 )，则称函数001212(,)(,)nnfxfx 01212,)(,nnfxfx 在点 有极大值(或极小值) .极大值、极小值统称为0 00(,极值，使函数取得极值的点称为极值点.定义 2.2.1 函数 在 个约束条件 312(,)nzfx m12
3、(,)0inx下的极值称为条件极值.(1,2;)imn3. 多元函数普通极值存在的条件定理 3.1（必要条件）若 元函数 在点n(2)12(,)nzfx存在偏导数，且在该点取得极值，则有 0012(,)nx 002,)ixnxi备注：使偏导数都为 的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理 3.2 （充分条件）设 元函数 在 附3 n(2)12(,)nfx 0012(,)nx近具有二阶连续偏导数，且 为 的驻点.那么当二001,nx ,z次型0012,()(,)ijnxnijijgf正定时， 为极小值；当 负定时， 为极大值；0012)nfx (g0012(,)nfx当 不定时， 不是极值.()
4、g012(,nfx记 ，并记0012,)ijijxnaf，1213212kkkaaA它称为 的 阶 矩阵.对于二次型 正负定的判断有如下定理：fkHes()g定理 3.3 若 ，则二次型 是正定的，此时3dt0kA,n ()g为极小值；若 ，则二次型 是负0012(,)nfx (1)det0kA(1,2k ()定的，此时 为极大值.012(,nfx特殊地，当 时，有如下推论：推论 3.1 若二元函数 某领域内具有一阶和二阶连续0(,)(,)zfxyy在 点 的偏导数，且 00(,)xyf令 0(,)(,)xxyAyBfCfx则 当 时， .20C,A取 极 大 值取 极 小 值当 时，没有极值
5、.2AB当 时，不能确定，需另行讨论.04介绍多元函数条件极值的若干解法4.1 代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例 4.1.1 求函数 在 条件下的极值.(,)fxyz0xyz解 由 解得，0xyz2将上式代入函数 ，得 (,)fxyzg(,)=2-+)解方程组 2 0yg得驻点 12P=3（ 0， ） ， （ ， -）， ， 2xgxyygx在点 处，1,ABC，所以 不是极值点22=04C1P从而函数 在相应点 处无极值；(,
6、)fxyz(0,2)在点 处，2P,33ABC，244()C又 ，所以 为极小值点02因而，函数 在相应点 处有极小值(,)fxyz2(,)3极小值为 .28374.2 拉格朗日乘数法 3拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数 在条件函数 组12(,)nfx 12(,)0,(12,)knxkmn 限制下的极值，若 及 有连续的偏导数，且 Jacobi 矩 ,k阵的秩为 ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.1122112nmmnxxJxx首先，构造拉格朗日函数 12112121(,)(,)(,)mnmnknLfxx 然
7、后，解方程组0,2,ikLxi 从此方程组中解出驻点的坐标 ，所得驻点是函数极0012(,)inPx (1,2)ik值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理 4.2.1（充分条件） 设点 及 个常数0012(,)nx m12,m满足方程组 ，10miikklLfxx(,;,2)l 则当方阵 20,12(,)mkl nx为正定（负定）矩阵时， 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0x为满足约束条件的条件极小（大）值.0()fx例 4.2.1 求椭球 在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面221xyzabc体的最小体积.解 此椭球在点 处的切平面为0(,)Pxyz0 0222()()x
8、zabc化简,得 00221xya此平面在三个坐标轴上的截距分别为：200,abcxyz则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 206aVxyz由题意可知，体积存在最小值，要使 最小，则需 最大；即求目标函数 在条件 下的最大值，(,)fxyz221xyzabc其中 ，拉格朗日函数为0,x22(,)(1)xyzLyzabc由 解得 ;2220;0;1xyzbLxcyzab,33abcxyzmin 3(,)23cVabc说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判
9、别式法、梯度法、数形结合法.4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例 4.3.1 设 ,求 的最小值.4xyza22uxyz解 取 为标准量, 3令 ,xy则 ( 为任意实数),az从而有 222)()33au22 22()33aa等号当且仅当 , 即 时成立，0xyz所以 的最小值为 .u23a4.4 不等式法 44.4.1 利用均值不等式均值不等式是常用
10、的不等式，其形式为 ，1212nnna这里 ，且等号成立的充分条件是 .0,12kan 2n例 4.4.1.1 已知 ， ，求 的12xyz(0,)xyz(,)2fxyzyz极小值.解 0,x()2fyzxyz14()2xyzA()z4(3)xyx2)36当且仅当 时，等号成立.xyz4.4.2 利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数 和 ，总有 12,na 12,nb212()nabab,当且仅当实数 与212()nb ,iiR12,na对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，1,2n进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值.例 4.4
11、.2.1 已知 ，求 的最值.222()(1)(4)9xyz(,)2fxyzyz解 首先将 变形为,fz；(,)fxyz2()()0yz再设 ，,2(1)4gx于是，根据柯西不等式及已知条件，有22()(1)4xyz2222()()(1)(4)81xyz即： 9(149xyz当且仅当 时，等号成立；222()()()kxyz即当 时， ；1435kxyzmax(,)9gyz当 时， ，103kxyzmin(,)9gxyz所以， ， .max(,)19fin(,)1fz4.5 二次方程判别式符号法例 4.5.1 若 ,试求 的极值.522yz2fxyz解 因为 ,1()xf代入 得22yz()1
12、04xf即 (1)225(84)0zxzfz这个关于 的二次方程要有实数解, 必须22(4)0()zfzfz即 95解关于 的二次不等式,得:f22(1)(1)1zfzz显然,求函数 的极值, 相当于求f(2)25()fzz或(3)2(1)1fzz的极值.由(2)得 (4)229450zf这个关于 的二次方程要有实数解,必须z,22163(5)0ff即 9解此关于 的二次不等式,得 .f 3f所以 , .max3in把 代入(4),得f2z再把 , 代入(1),得 ,313x最后把 , , 代入 ,得 .fz(2)yzf23y所以,当 , , 时,函数 达到极大值 3.1x2yzf同理可得,当
13、 , , 时,函数 达到极小值-3.33也可以从(3)作类似讨论得出 的极大值 3 和极小值-3.f4.6 梯度法 6用梯度法求目标函数 在条件函数时12(,)nfx 12(,)0inx组限制下的极值，方程组(1,2,)imn 12 121(,)(,)0,(,)mniinigradfxgradx 的解,就是所求极值问题的可能极值点.其中 表示目标函数 的梯度向量 ，gradf12(,)nfx 12(,)nffxx表示条件函数 的梯度向量i12(,)in 12(,)iiin例 4.6.1 从斜边之长为 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.l解:设两条直角边为 ,本题的实质是求 在条件xy
14、(,)fxyl22xyl下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 2222()()gradxylgradxyl进一步求解得 221,xyl容易解出 l根据题意 是唯一的极大值点,也是最大值点.2l所以，当两条直角边都为 时,直角三角形的周长最大.2l4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例 4.7.1 设 ，求 的最值. 2219xy2xy解法一 数形结合法 7解 设 ,uv则 ， 22319xyv即 2219()()3u表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的 2 倍22)xyv显然最大值为长轴的长 38，最小值为
15、 38解法二 消元法解 设 ， ，cosxrsinyr则 221(2)99sinxyr故当 ，即 时， 达到最小值.sin21193xy238xy当 ，即 时， 达到最大值.i2解法三 均值不等式法解 （1）若 注意到 0,xy2xy当且仅当 时等号成立因此： ，22221919xyxy当且仅当 时等号成立即 23()故 ，此时28xy193xy（2）若 ，设 ，则问题变为 求 的最值0,u2219xu2xu由于 ，2xu所以2222xuxu因此 222()38xu即最大值为 38（3）若 ，做变换 ，则问题转化为（1）0,y,xuyv（4）若 ，则问题转化为（2）x解法四 拉格朗日乘数法解
16、设 222(,)(19)Fyxy令 22)0(190xyFx则 2xy若 ，则 ，2319x193y此时 ；28y若 ，则 ， 或x219x19y19xy此时 238y从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率.二.多元函数极值的应用多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析
17、上的应用问题，具体内容可以参考文献8和文献9，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例 5.1.1 证明不等式： .ln0,(1)yexyxy证 令 ，则只需证明(,)lyfx函数 在区域 上存在最小值 ，(,)|,Dxy0对于 ，令 ，1x,0yfe得 ，且当 时，lny0lnx(,)yf当 时， .x(,)yf由一元函数取极值的第一充分判断法， 为最小值点，lnyx即在曲线 上 取得最小值，lnyx(,)fy最小值 .l(,)l0fex故在 上 ，即 .D0xynyxy5.2 物理学中光的折射定律证明例 5.2.1 设定点 和 位于以平面分开的不同光介
18、质中，从 点射出的光线折射ABA后到达 点，已知光在两介质中的传播速度分别为 ， ，求需时最短的传播方1v2式.解 设 到平面的距离为 ， 到平面的距离为 ，（如图），ab，光线从 点射到 点所需时间为 ，CDdAM1cosav光线从 点射到 点所需时间为B2sb且 ，即CMdtantd问题转化为函数 在条件 12(,)cosbfv下的最小值.tantbd作拉格朗日函数 112(,)(tant)cosabLbdv令 122112sin0,co,sstant.avbbLd由此解得 ，即光线的入射角与折射角应满足：12siiv（光的折射定律）时光线传播时间最短.12sin5.3 生产销售在生产和销
19、售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例 5.3.1.1 设生产某产品需要原料 A 和 B，它们的单价分别为 10 元、15 元，用10单位原料 A 和 单位原料 B 可生产 单位的该产品，现要以最低xy2208xy成本生产 112 单位的该产品，问需要多少原料 A 和 B？【分析】由题意可知，成本函数 .(,)105Cxy
20、y该问题是求成本函数在条件 下的条件极值问题，228利用拉格朗日常数法计算.解 令 22(,)105(01),Fxyyxy解方程组 22156081fyxx2,()4,yx舍 去这是实际应用问题，所以当原料 A 和 B 的用量分别为 4 单位，2 单位时，成本最低.5.3.2 利用条件极值得出利润最大化方案例 5.3.2.1 为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为 时，销售量10 ,xy是 ，若销售产品所得利润是销量的 减去广告费，现要使用广告25xyS15费 25 万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为 14022551xyS且 xy设 4025(
21、25)51yFxy令 2()015xyFx得 10.5y依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入 15 万元和 10 万元利润最大.例 5.3.2.2 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：3（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为 100 万台；（2）去年该厂共售出 10 万台，每台售价为 4000 元；（3）仅生产 1 台电视机的成本为 4000 元；但在批量生产后，生产 1 万台时成本降低为每台 3000 元.问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为 ，每台生产成本为 ，销售价格为 ，xcv
22、那么厂家的利润为 (,)(ucvc根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,avxMe这里 为市场的最大需求量， 是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln,ckxc这里 是只生产 1 台电视机时的成本， 是规模系数（这也反映出，产量越大即0c k销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,)(ucvxc在约束条件 下的极值问题.0lnavxMeck作 Lagrange 函数 0(,)()(ln),avLvxvcxMeckx就得到最优化条件00,(1)2,(3),(4)ln.5cavvxavLekxMc由方程
23、组中第二和第四式得到，即=1将第四式代入第五式得到 0(ln)ckMv再由第一式知 .x将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到01(ln)0,vckvk由此解得最优价格为 *M。只要确定了规模系数 与价格系数 ，问题就迎刃而解了.k现在利用这个模型解决本段开始提出的问题.此时 ， .1004c由于去年该厂共售出 10 万台，每台售价为 4000 元，因此得到；lnln10l0.584Mxv又由于生产 1 万台时成本就降低为每台 3000 元，因此得到.043857lnl10ckx将这些数据代入 的表达式，就得到今年的最优价格应为*v（元/台）.*408.57l 10584392107v 参
24、考文献：1 唐军强.用方向倒数法求解多元函数极值J.科技创新导报，2008，（15）：246-2472 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法J.绵阳师范学院学报，2008，27（2）：14-15.3 陈纪修，於崇华，金路.数学分析.下册/2 版M.北京：高等教育出版社，2004.104 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法-北京：高等教育出版社，1993.55 王延源.条件极值的六种初等解法J, 临沂师专学报, 1999(12):21-24.6 肖翔，许伯生.运用梯度法求条件极值J，上海工程技术大学教育研究，2006(1): 35-377 陈传理，张同君竞赛数学教程(第二版)M北京：高等教育出版社，2004：1478 法博齐投资管理学M.北京：经济科学出版社，19999 林德光.多元统计教程M.华南热带作枋学院印，198810 陈文灯.考研数学基础核心讲义/经济类M.北京：北京理工大学出版社，2010.1
