1、一 多元函数的极值及最大值 最小值 二 条件极值拉格朗日乘数法 6 8多元函数的极值及其求法 函数的极值 x1 x2 x3 x4 x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 观察与思考 观察极值与切线的关系 一元函数的极值和求法 温故而知新 设函数f x 在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f x0 0 驻点使导数f x 为零的点 方程f x 0的实根 称为函数f x 的驻点 定理1 必要条件 讨论 极值点是否一定是驻点 驻点是否一定是极值点 考察x 0是否是函数y x3的驻点 是否是函数的极值点 设函数f x 在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f x0
2、 0 驻点使导数f x 为零的点 方程f x 0的实根 称为函数f x 的驻点 定理1 必要条件 观察与思考 1 观察曲线的升降与极值之间的关系 2 观察曲线的凹凸性与极值之间的关系 设函数f x 在x0处连续 且在 a x0 x0 b 内可导 1 如果在 a x0 内f x 0 在 x0 b 内f x 0 那么函数f x 在x0处取得极大值 2 如果在 a x0 内f x 0 那么函数f x 在x0处取得极小值 3 如果在 a x0 及 x0 b 内f x 的符号相同 那么函数f x 在x0处没有极值 定理2 第一充分条件 确定极值点和极值的步骤 1 求出导数f x 2 求出f x 的全部驻
3、点和不可导点 3 考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f x 的符号 4 确定出函数的所有极值点和极值 设函数f x 在x0处连续 且在 a x0 x0 b 内可导 1 如果在 a x0 内f x 0 在 x0 b 内f x 0 那么函数f x 在x0处取得极大值 2 如果在 a x0 内f x 0 那么函数f x 在x0处取得极小值 3 如果在 a x0 及 x0 b 内f x 的符号相同 那么函数f x 在x0处没有极值 定理2 第一充分条件 例 1 f x 在 内连续 除x 1外处处可导 且 解 3 列表判断 x 1为f x 的不可导点 得驻点x 1 2 令f x 0 不可导 0 0 定理
4、3 第二充分条件 设函数f x 在点x0处具有二阶导数且f x0 0 f x0 0 那么 1 当f x0 0时 函数f x 在x0处取得极大值 2 当f x0 0时 函数f x 在x0处取得极小值 应注意的问题 如果f x0 0 f x0 0 则定理3不能应用 但不能由此说明f x0 不是f x 的极值 闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得 函数在闭区间 a b 上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者 极值与最值的关系 极值的定义 设函数z f x y 在点 x0
5、 y0 的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于 x0 y0 的点 x y 都有f x y f x0 y0 则称函数在点 x0 y0 有极大值 或极小值 f x0 y0 极大值 极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 一 多元函数的极值及最大值 最小值 新课 一 多元函数的极值及最大值 最小值 极值的定义 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于 x0 y0 的点 x y 都有f x y f x0 y0 则称函数在点 x0 y0 有极大值 或极小值 f x0 y0 例1函数z 3x2 4y2在点 0 0 处有极小值 提示 当 x y 0
6、0 时 z 0 而当 x y 0 0 时 z 0 因此z 0是函数的极小值 一 多元函数的极值及最大值 最小值 极值的定义 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于 x0 y0 的点 x y 都有f x y f x0 y0 则称函数在点 x0 y0 有极大值 或极小值 f x0 y0 提示 当 x y 0 0 时 z 0 而当 x y 0 0 时 z 0 因此z 0是函数的极大值 提示 因为在点 0 0 处的函数值为零 而在点 0 0 的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点 例3函数z xy在点 0 0 处既不取得极大值也不取得极小
7、值 一 多元函数的极值及最大值 最小值 极值的定义 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于 x0 y0 的点 x y 都有f x y f x0 y0 则称函数在点 x0 y0 有极大值 或极小值 f x0 y0 说明 定理1 取得极值的必要条件 设函数z f x y 在点 x0 y0 具有偏导数 且在点 x0 y0 处有极值 则有fx x0 y0 0 fy x0 y0 0 从几何上看 这时如果曲面z f x y 在点 x0 y0 z0 处有切平面 则切平面z z0 fx x0 y0 x x0 fy x0 y0 y y0 成为平行于xOy坐标面的平面
8、z z0 凡是能使fx x y 0 fy x y 0同时成立的点 x0 y0 称为函数z f x y 的驻点 驻点 设函数z f x y 在点 x0 y0 具有偏导数 且在点 x0 y0 处有极值 则有fx x0 y0 0 fy x0 y0 0 讨论 驻点与极值点的关系怎样 提示 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点 定理1 取得极值的必要条件 下页 定理2 取得极值的充分条件 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx x0 y0 0 fy x0 y0 0 令fxx x0 y0 A fxy x0 y0 B fyy x0 y0
9、 C 则f x y 在 x0 y0 处是否取得极值的条件如下 1 AC B2 0时具有极值 且当A0时有极小值 2 AC B2 0时没有极值 3 AC B2 0时可能有极值 也可能没有极值 极值的求法第一步解方程组fx x y 0 fy x y 0 求得一切实数解 即可得一切驻点 第二步对于每一个驻点 x0 y0 求出fxx x0 y0 fxy x0 y0 fyy x0 y0 第三步定出fxx x0 y0 fyy x0 y0 fxy2 x0 y0 的符号 判定f x0 y0 是否是极值 是极大值还是极小值 函数f x y 在驻点处如果fxx fyy fxy2 0 则函数在驻点处取得极值 如果f
10、xx fyy fxy20时有极小值 下页 解 下页 例4求函数f x y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值 求得函数的驻点为 1 0 1 2 3 0 3 2 函数的二阶偏导数为fxx x y 6x 6 fxy x y 0 fyy x y 6y 6 所以函数的 3 2 处有极大值f 3 2 31 又A 0 在点 3 2 处 fxx fyy fxy2 12 6 0 所以f 3 0 不是极值 在点 3 0 处 fxx fyy fxy2 12 6 0 所以f 1 2 不是极值 在点 1 2 处 fxx fyy fxy2 12 6 0 所以函数在 1 0 处有极小值f 1 0 5 又fxx 0 在
11、点 1 0 处 fxx fyy fxy2 12 6 0 应注意的问题不是驻点也可能是极值点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑 但 0 0 不是函数的驻点 两个偏导数都不存在 例5某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长 宽 高各取多少时 才能使用料最省 解 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D x y x 0 y 0 内取得 又因为函数在D内只有一个驻点 2 2 所以此驻点一定是A的最小值点 设水箱的长为xm 宽为ym 则所用材料的面积为 水箱所用的材料最省 二 条件极值拉格朗日乘数法 条
12、件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值 我们在前面求极值问题中 极值点是在函数定义域内部取得 两个自变量的在极值点的邻域内取值是自由的 不受任何条件限制 这样的极值问题称为无条件极值 在实际问题中 自变量的变化范围受到某种条件限制时 所求极值问题称为条件极值 很显然 这种极值更有实际价值 例5某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长 宽 高各取多少时 才能使用料最省 设水箱的长为xm 宽为ym 则所用材料的面积为 解 设水箱的长为xm 宽为ym 高为zm 注意 我们在解决问题过程中 求条件极值的方法 1 将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题 这
13、就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题 方法 从约束条件中求出隐函数 把求得的隐函数代入目标函数 2 用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值 需要用一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 1 要找函数z f x y 在附加条件j x y 0下的可能极值点 可以先作辅助函数 F x y f x y lj x y 拉格朗日函数 其中l为某一常数 拉格朗日乘子 4 对于所求得的可能的极值点 用极值判别法判定 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 2 对辅助函数分别关于求偏导数 得到方程组 3 解方程组 得驻点 方程组的解 x y 就是所要求的可
14、能的极值点 例6求表面积为而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三个棱长x y z 则问题就是求函数V xyz在条件2 xy yz xz a2下的最大值 作拉格朗日函数 求偏导 F x y z xyz l 2xy 2yz 2xz a2 解方程组 因为由问题本身可知最大值一定存在 函数的最大值 最小值问题 1 若最大值或最小值在D的内部取到 在最值点必为驻点 也必为D的内点 所以 首先求的驻点 设二元函数在区域D上连续 则一定可取到最大值M和最小值m 极值点在D的内部或边界上 2 若最大值或最小值在D的边界上取到 则应把边界方程作为约束条件 用拉格朗日乘子法 求出的驻点 3 计算所有驻点的函数值 加以比较 找出最大值或最小值 练习题 作业 习题6 81 1 2
