1、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,有极小值；,有极大值；,无极值。,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例4 求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,因此，驻点,因此，驻点,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显然函数,不存在。,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显
2、然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点取不到极值.,在(0,0)点取得极小值.,在点(0,0),并且在 (0,0)点 都有,求最值的一般方法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,例5.,解: 设水箱长,宽分别为
3、 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,例6. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条
4、 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,极值点必满足,则极值点满足:,利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,求解方程组,解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.,解,则,例7 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2)- (1) 得,同理，,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得。,故，最大值,最大值一定存在，,若,则由（1）可得,矛盾。,于是有,于是,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,作业： 61页 1 , 3, 4, 8, 9,
