多元复合函数的求导法则

1、复习回顾,1. 基本初等函数的导数公式:,2. 导数的运算法则:,推论:,解:,净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.,解:,净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.,(100x)2,5284(100x),5284 (100x),0,5284 (1),(100x)2,=52.84,所以,纯净度为900/0时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.,(100x)2,5284(100x),5284 (100x),0,5284 (1),(100x)2,=52.84,所以,纯净度为900/0时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.,所以,纯净度为980/0时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.,纯净度为980/0时,费用的瞬时变化率约是,纯净度为900/0时的25倍.,复合函数的求导法。

2、2020年4月2日星期四 1 第四节多元复合函数的求导法则 第七章 DerivationRuleofMultivariateCompositeFunctions 一 多元复合函数的求导法则 二 全微分的形式不变性 三 小结与思考练习 202。

3、高等数学,课程相关,教材及相关辅导用书 高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. 高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7. 高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7. 高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,2014.8.,第九章 多元函数微分学9.1 多元函数的基本概念9.2 偏导数9.3 全微分9.4 多元复合函数的求导法则9.5 隐函数的求导公式9.6 多元函数微分学的几何应用9.7 方向导数与梯度9.8 多元函数的极值9.9 综。

4、1 主讲教师 王升瑞 高等数学 第二十二讲 2 第四节 一 多元复合函数求导法则 三 隐函数求导公式 多元复合函数与隐函数求导法则 第七章 二 多元复合函数的全微分 3 一元复合函数 求导法则 微分法则 4 一 多元复合函数求导的链式法则 。

5、一、反函数的导数,二、复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式小结,三、求导法则小结,2 反函数、复合函数的求导法则,上页,下页,结束,返回,首页,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,简要证明：,因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。,下页,例1求(arcsin x)及(arccos x)。,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,解：,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以,下页,例2求(arctan 。

6、第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,一元复合函数的求导法则 (链式法则）,处也可导，且有,复习,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元复合函数,求导法则,证,例1 设 而,其中 可导，求,解,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:,则复合函数,在对应点,2. 有两个中间变量多元函数的情况,即,复合结构如图示,这个公式的特征：,函数,有两个自变量 x 和 y,故法则中包含,两个公式；,由于在复合过。

7、,第四节,多元复合函数的求导法则,第十一章,一元复合函数,求导法则,微分法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、一阶全微分的形式不变性,一、多元复合函数求导的链式法则,定理11.5,则,注.,1 复合关系图(结构图),口诀 : “连线相乘，分线相加”;,“项数 = 通向该自变量的路径数”.,“单路全导, 叉路偏导”,2 其他情形,z,u,v,x,全导数,x,y,x,y,u,y,x,z,z,w,x,x,y,y,z,w,x,u,v,y,y,x,变量x一身兼两职,x,y,即,若定理中,3,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,解法1,1. 中间变量均为多元函数的情形例1,解法2,例2,解,若使用记号。

8、三、小结 思考题,一、链式法则,二、全微分形式不变性,9.4 多元复合函数的求导法则,一、链式法则,【证】,1. 【中间变量均为一元函数】,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,2. 【中间变量均为多元函数】,链式图如右所示,两者的区别,区别类似,函数复合后求偏导,外层函数求偏导,即,其中,3.【中间变量既有一元又有多元函数的情形】,【定理3 】,变量关系为：,4.【多个中间变量且中间变量既有一元又有多元函数的情形】,【解】,自画链式图,。

9、第 4 节 多元复合函数的求导法则1 设 而 z=xy, v=x+y. 求 和,sinvezuxz.y解 ,cossin1cosinyxyxe vezxy uuyxyxe vevzuzxy uucssi csi2 设 而 z=x2siny.求 和,2zezfuxyu解 yxzyxzexezf2sin42 222si1 sinyxyzxzexy yezfu242 22sin4cosin2 cos3。

10、1复合函数的求导法则全微分形式不变性第四节 多元复合函数的求导法则第八章 多元函数微分法及其应用高阶偏导数与高阶微分小结 思考题 作业2一、 复合函数的求导 法则 (链导法则 )( , ) , ( , ) , ( , )z f u v u x y v x y 回忆 : 对于一元函数 ( ) , ( ) ,y f u u x有d y d y d ud x d u d x而对于二元函数如何求zz,xy?多元复合函数的求导法则3多元复合函数的求导法则),(),(),( yxyxvyxu 都在点及如果 ,的偏导数和具有对 yx 在对且函数 ),( vufz ),( vu应点 则复合函数),(),( yxyxfz 的两个在对应点 ), y偏导数存在 , 且可用下列公式计算。

11、三、小结 思考题,一、链式法则,二、全微分形式不变性,第四节 多元复合函数的求导法则,一元函数复合函数求导法则：,基本思想：将复杂函数求导转化为若干简单函数求导。,由于一元复合函数“函数” 、“中间变量” 、“自变量”之间关系为“单线联系”，故上述一个公式可以解决所有一元复合函数求导问题。,多元复合函数由于有多个中间变量或多个自变 量， “函数” 、“中间变量” 、“自变量”之间关系“错 综复杂”，无法用一个公式可以解决所有多元复合函 数求导问题。,因此，首要问题是学会根据具体复合情况，写 出相应的求导公式（链锁。

12、,一、多元复合函数求导法则,二、小结 思考题,第四节 多元复合函数的,求导法则,一、多元复合函数的求导法则,在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用.,现在我们把它推广到多元复合函数的情形.,下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论.,1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形,证明,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,解,2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形,，,链式法则如图示,解,解,令,记,同理有,于是,3.复合函数的中间变量既有一元函数又有 多元函。

13、1,一、多元复合函数求导的链式法则,定理 1 若函数,处偏导数连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,9-4,2,例如:,3,称为混合偏导数,设,常用导数符号,4,推广:,1、中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微 .,5,2、 中间变量是多元函数的情形.,6,例2. 设,解:,7,3、 中间变量只有一个的情形,注。

14、1 第三节 本节内容 一 多元复合函数求导的链式法则 二 多元复合函数的全微分 第八章 三 隐函数求导法则 2 一 多元复合函数求导的链式法则 定理 若函数 处偏导连续 在点t可导 则复合函数 证 设t取增量 t 则相应中间变量 且有链式法则 有增量 u v 3 全导数公式 t 0时 根式前加 号 4 若定理中 说明 例如 易知 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在 则定理结论不一定成立 5 。

15、多元复合函数的求导法则,链式规则 一阶全微分的形式不变性,薛星美,一元复合函数,求导法则,一阶微分形式不变性,对多元复合函数成立吗？,复合函数,R,可构造复合函数,在何条件下复合函数可偏导？ 偏导数如何计算？,讨论的是偏导数，先假设g是一元二维函数,设函数,处可微,讨论复合函数,关于 t 可导性,定理. 若函数,处可微,则复合函数,在点 t 可导,且有链式法则,由此立即可得到定理12.2.1.,定理. 若函数,处可微,则复合函数,，且有链式法则,的可微性减弱为可偏导时，结论是否成立？,例如:,易知:,但复合函数,“分线加 ，沿线乘”或 “并联加 ，串。

16、2012年3月10日星期六1返回上页下页目录第四节多元复合函数的微分法第七章(Derivation Rule of Multivariate Composite Functions)一、多元复合函数的求导法则二、全微分的形式不变性三、小结与思考练习2012年3月10日星期六2返回上页下页目录复习引入一元复合函数)(),( xuufy =求导法则xuuyxydddddd=xxufuufy d)()(d)(d =微分法则多元复合函数的求导法则和微分法则推广2012年3月10日星期六3返回上页下页目录)(),( ttfz =一、多元复合函数的求导法则定理若函数,)(,)(可导在点ttvtu =),( vufz =处偏导连续, ),( vu在点在点t 可导, tvvztuuztz。

17、科学出版社,第四节,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,多元复合函数的求导法则,第八章,科学出版社,一元复合函数,求导法则,微分法则,科学出版社,定理1.,在对应点（u, v）可微,在点 t 可导,则复合函数,证:,则相应中间变量,且有链法则（见右边的树图）,有增量u ,v , 由于 f 可微，所以,上式两端同时除以t ，得到,一、多元复合函数求导的链式法则,若函数,设 t 为t 的增量,科学出版社,导数，,(t0 时,根式前加“”号),为了与偏导数区别, 称为全,全导数还可以写成:,科学出版社,若定理中,注:,如:,易知:,但不可微（验证），。

18、第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元复合函数,求导法则,证,t0 时, 取“”号,例1 设 而,其中 可导，求,解,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:,则复合函数,在对应点,2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,复合结构如图示,链式法则的规律：,“连线相乘，分线相加”,解,在对应点,的两个偏导数存在，且可用下列公式计算,链式。