1、高等数学,课程相关,教材及相关辅导用书 高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. 高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7. 高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7. 高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,2014.8.,第九章 多元函数微分学9.1 多元函数的基本概念9.2 偏导数9.3 全微分9.4 多元复合函数的求导法则9.5 隐函数的求导公式9.6 多元函数微分学的几何应用9.7 方向导数与梯度9.8 多元函数的极值9.9 综合例题,定理（可微的
2、必要条件）,如果函数 在点（x，y）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且,定理（可微的充分条件）,如果函数 的两个偏导数 在点（x，y）都存在且连续，则该函数在该点可微。,第四节 复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则：,，则复合函数,对 x 的导数为：,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用.,那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,
3、如,由于 f 没有具体给出，,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u ,v ,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“”号),推广:,1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .,2) 中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,口诀 :,分线相加,连线相乘,与,不同,例,解,例2.
4、,解:,解,设,求,例,解,设,求,例,解,自己做,例,解,设函数,均可微, 求,g,g,例,解,设函数,均可微, 求,g,g,例,解,为简便起见 , 引入记号,例 . 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,二、全微分形式不变性,全微分形式不变性的实质：无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分,来说是线性的，从而为解题带来很多方便，而且也不易出错。,设,应用全微分形式不变性求,例,解,设,应用全微分形式不
5、变性求,例,解,总结：关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式：,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,仍是复合函数,且复合结构与原来的 f (u,v) 完全相同,即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量的复合函数,因此，求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则,是与 f ( u , v ) 具有相同结构的复合函数，易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉,原因就是不注意,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,的合并问题,视题设条件而定。,三、小结,1、链式法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,思考题：,1. 已知,求,解: 由,两边对 x 求导, 得,2.,求,解: 由题设,作业,习题9.4（P62） 1 (1) 、 1 (3) 、2(3)、3 (3) 、4(3)、5(1)习题9.1（P56） 3、 4 (1) 、 4 (2) 、4 (4),
