1、 第 1 页 共 6 页第四章 圆 与 方 程1. 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设 M（x,y）为A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = M | |MA| = r 2、圆的方程（1） 标准方程 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)y()()当 ，点在圆外; 当 = ，点在圆上220r2200()()xybr当 ，点在圆内; 0()()xayb（2） 一般方程 2FEyDx（x+D/2) 2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （ 042FED）当 04FED时，方程表示圆，此时圆心为 ,
2、，半径为 FEDr4212当 2时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r ；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线 0:CByAxl，圆 22:rbyax，圆心 baC,到 l 的距离为2bad，则有 相 离与lrd； 相 切与ld； 相 交与rd（2）过圆外一点的切线：设
3、点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可； 若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 1+ 2 4 条外切 1+ 2 3 条相交 | 1-2| 1+ 22 条内切 | 1- 2| 1 条内含 | 1- 2| 0 条第 2 页 共 6 页4、圆与圆的位置关系：
4、通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 21211: rbyaxC， 222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 （即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆 C1：x 2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x 2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆 C1的方程与圆 C2 的方程得到一个二元一次方程 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆 C1与圆 C2 公共弦所在的直线方程； 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆 C1与圆 C2 的公切线的方程；
5、若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）6、已知一直线与圆相交，求弦的长度代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ：| | 1- 2| （或者| |y1-y2|）求解2k2k7、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长 代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为 A、B） ；公共弦
6、直线方程 与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ：| | 1- 2| （或者| |y1-y2|）求解2k2k几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）8、圆系与圆系方程(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2) 圆系方程：（一）.圆 C1：x 2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x 2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程：x 2+y2+D1x+E1y+F1+(x 2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1) - （）若圆 C1与圆 C2 交于 P1
7、、P 2点，那么，方程（）代表过 P1、P 2两点的圆的方程。若圆 C1与圆 C2 交于点（一个点） ，则方程（）代表与圆 1 、圆 2 相切于点的圆的方程。（二）.直线：+0 与圆：x 2+y2+Dx+Ey+F=0 相交或相切则过它们的交点的圆系方程为：x 2+y2+Dx+Ey+F+（+）0 9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第 3 页 共 6 页ABCPxy(4,1)0o第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论轴对称例 1、已
8、知 点 A(4,1)，B(0,4)，在直线 L：y=3x-1 上找一点P，求使 |PA|-|PB|最大时 P 的坐标。解：如图，设点 C(x,y)是点 B 关于直线 L 对称点，则由 ， ，得：3lk31BCk直线 BC 的方程为： ，将其与直线 y=3x-1 联立，解得：D ,其中431xy 273D 为 BC 中点，利用中点坐标公式，得 C（3,3） 。显然：|PA|-|PB|PA|-|PC|AC|,当且仅当 A、C、P 三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线 AC 方程为： ，与 L 方程联立解得 P 的坐标为（2,5） 。092yx例 2、光线由点 C（3，3）出发射到直线
9、L：y=3x-1 上，已知其被直线 L 反射后经过点 A(4,1)，求反射光线方程。解：设点 B 是点 C 关于 L 的对称点，则由光线反射的知识易知：点 B 在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线 AB 所在的直线方程。由例 1 知点 C 关于 L 的对称点为 B（0,4） ，故直线 AB 的方程易求得为：。它即为反射光线方程。43xy直线和圆1自点（3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线 L 所在直线方程0742yx解：已知圆的标准方程是(x2) 2(y2) 21，它关于 x 轴的对称圆的方程是(x2) 2(y2) 21。设光线 L
10、所在直线方程是：y3k(x3)。 第 4 页 共 6 页由题设知对称圆的圆心 C（2，2）到这条直线的距离等于 1，即 1|5|2kd整理得 解得 故所求的直线方程是,02 34k或，或 ， 即 3x4y30，或 4x3y30)3(4xy )3(4xy2已知圆 C： ，是否存在斜率为 1 的直线 L，使以 L 被圆022C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线 L 的方程，若不存在说明理由 （14 分）解：圆 C 化成标准方程为: 假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心223)(1yxM 的坐标为（a，b）由于 CM L，k CMkL=1 k CM= ，即 a+b+1=0，得 b=
11、 a1 1ab直线 L 的方程为 yb=x ，即 xy+ba=0 CM= 以 AB 为直径23b的圆 M 过原点， ， OMBA )(922aCMB2baO 把代入得 ，2)3(9 032a12a或当 此时直线 L 的方程为：xy4=0 ；当 此时直线 L 的方程5,2ba时 ,1b时为：xy+1=0 故这样的直线 L 是存在的，方程为 xy4=0 或 xy+1=04已知圆 C: 及直线 .2512yx472: mml R（1）证明:不论 取什么实数,直线 与圆 C 恒相交；ml（2）求直线 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 的方程l l解:(1)直线方程 ,可以改写为 ,所以直线4
12、712: myxl 0472yxm必经过直线 的交点.由方程组 解得 即两直线007yx和 04,yx13的交点为 A 又因为点 与圆心 的距离 ,所以该点在 内,故不论)1,3(1,3A2,1C5dC取什么实数,直线 与圆 C 恒相交.ml第 5 页 共 6 页(2)连接 ,过 作 的垂线,此时的直线与圆 相交于 、 . 为直线被圆所截 ACCBD得的最短弦长.此时, .即最短弦长为 .542,5BDC所 以 54又直线 的斜率 ,所以直线 的斜率为 2.此时直线方程 为:A21Ak.052,31yxy即5（12 分）已知圆 x2+y2+x6y +m=0 和直线 x+2y3=0 交于 P、Q
13、 两点，且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数 m 的值解：由 01250322yyx 5124my又 OP OQ， x 1x2+y1y2=0,而 x1x2=96(y 1+y2)+4y1y2= 7 解得 m=305274m6.已知圆 C：(x+4) 2+y2=4 和点 A(-2 ，0)，圆 D 的圆心在 y 轴上移动，且恒与圆3C 外切，设圆 D 与 y 轴交于点 M、N. MAN 是否为定值？若为定值，求出MAN 的弧度数；若不为定值，说明理由.【解】设圆 D 的方程为 那么),0()(22rbyx ).,0(),(rbNr因为圆 D 与圆 C 外切, 所以 .1241622b又直线 的
14、斜率分别为 NAM, .32,rkrkMBA为定值 .334123321tan2 ANrbrbA夹角问题xyPQO第 6 页 共 6 页例 5 (06 全国卷一文) 从圆 外一点 向这个圆作两条0122yx)2,3(P切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) 0215323解 已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .1)()(22yx )1,(C1r设由 向这个圆作的两条切线的夹角为 ，则在切线长、半径 和 构成的直)2,3(PPC角三角形中， ， ，故选(B).52cos5312cos点评：处理两切线夹角 问题的方法是：先在切线长、半径 和 所构成的直角三rPC角形中求得 的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角 问题.2
