1、1第四章 图形的相似一成比例线段1.线段的比1.如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m、n,那么就说这两条线段的比 AB:CD=m:n ,或写成 .nmBA2.成比例线段及比例的性质：（1）成比例线段：四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即 ,dcba那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段,简称比例线段.注意点:a:b=k,说明 a 是 b 的 k 倍； 由于线段 a、b 的长度都是正数,所以 k 是正数；比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若 , 则 ad=bc； 若 a
2、d=bc, 则dc dbcab或合比 性质: 如果 ，那么 ； bb等比性质：如果 （ ） ，那么 nmca 0nnmb注意：若没有“b+d+n0 ”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图 1， / / ，则 .l23lEFBCDA推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC
3、,如果 ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分ACB割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点. 0.618:1；215AB： BC2532四相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五三角形的相似（“”不需分类讨论， “相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件相似三角形的判定方法
4、:一般三角形 直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.两角对应相等；两边对应成比例,且夹角相等；三边对应成比例.一个锐角对应相等；两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b. 斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3 种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法 1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法 2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线” ，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射3运
5、用方法 3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质（1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于 1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.图形的位似：位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫
6、做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.位似图形的画法：（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知ABC 和点 O.以 O 为位似中心，求作ABC 的位似图形，并把ABC 的边长扩大到原来的两倍. 注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异
7、侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.例如：点 A(x,y)的对应点为 A，则 A点的坐标可以这样确定xA=xAk，yA=yAk 即 A（kx,ky）或 xA=xA(-k)，yA=yA(-k) 即 A（-kx,-ky）例题：在平面直角坐标系中, 四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2),C(-44,0),D(-2,4),画出它的一个以原点 O 为位似中心,相似比为 的位似图形.21题：ABC 三个顶点坐标分别为 A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点 O 为位似中心，相似比为2，将ABC 放大，点 A 的对应点 A的坐标为_总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移 左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转: 绕原点旋转 180 度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为 k 的位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.
