1、,第四节,多元复合函数的求导法则,第十一章,一元复合函数,求导法则,微分法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、一阶全微分的形式不变性,一、多元复合函数求导的链式法则,定理11.5,则,注.,1 复合关系图(结构图),口诀 : “连线相乘，分线相加”;,“项数 = 通向该自变量的路径数”.,“单路全导, 叉路偏导”,2 其他情形,z,u,v,x,全导数,x,y,x,y,u,y,x,z,z,w,x,x,y,y,z,w,x,u,v,y,y,x,变量x一身兼两职,x,y,即,若定理中,3,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,解法1,1. 中间变量均为多元函数的情形例1,解法2,例
2、2,解,若使用记号:,则上述结果可表示为:,2. 中间变量均为一元函数的情形例3,解,x,x,3.中间变量只有一个的情形例4,解,z,u,x,y,4.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形例5,解法1,u,z,x,x,y,y,解法2,注. 对具体函数，用解法2 较简单.,为简便起见 , 再引入记号,例6 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解 令,则,例7,解,例8,解,v,w,x,x,y,u,x,f,w,x,x,y,二、一阶全微分形式不变性,当 u, v 是自变量时，有,当 u, v 是中间变量时，若,均有连续的偏导数，则,dz,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其一阶,全微分表达形式
3、都一样, 均有, 一阶 全微分形式不变性,一阶全微分形式不变性的实质:,解,例9,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,“连线相乘,分线相加,单路全导,叉路偏导”,例如,2. 一阶全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是因变量,思考与练习,解,1. 设,2. 设,其中f 可微,求u的一阶偏导数.,解,3.,已知,求,解 由,两边对 x 求导, 得,备用题例1-1,解法1,画出关系,写出公式,求出各偏导数,将x，y代入,利用多元复合函数的求导法则:,解法2,例1-2,解,例3-1,解,例3-2 设,求全导数,解,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解,例4-2,例6-1,解,u,z,x,x,y,t,x,z,f,g,h,例6-3,求,在点,处可微 , 且,设函数,解 由题设,(2001考研),例7-1,解,
