1、科学出版社,第四节,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,多元复合函数的求导法则,第八章,科学出版社,一元复合函数,求导法则,微分法则,科学出版社,定理1.,在对应点（u, v）可微,在点 t 可导,则复合函数,证:,则相应中间变量,且有链法则（见右边的树图）,有增量u ,v , 由于 f 可微，所以,上式两端同时除以t ，得到,一、多元复合函数求导的链式法则,若函数,设 t 为t 的增量,科学出版社,导数，,(t0 时,根式前加“”号),为了与偏导数区别, 称为全,全导数还可以写成:,科学出版社,若定理中,注:,如:,易知:,但不可微（验证），此时复合函数,可微减弱为偏导
2、数存在,则定理结论不一定成立.,科学出版社,推广:,1) 中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微 .,例如,定理2. 设,则,偏导数都存在，,科学出版社,例1. 设,其中,求,解:,代入,解法二，,所以,先代入，变成一元函数的求导.,因为,解法一，,科学出版社,例2.,解,设,科学出版社,例3.,的偏导数.,解:,有了多元函数的链法则，,就不需要用对数求导法了.,由,复合而成，,于是,同理可得,求,这是一个幂指函数，,科学出版社,例4. 设,求全导数,解:,注意：,验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,求导口诀 :,分段用乘, 分叉用
3、加.,多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,科学出版社,求复合函数,的偏导数.,例5.,都具备可微,条件，,解:,注：,有时会出现复合函数的某些,中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，,这时要,注意防止记号的混淆.,如左图，有,在应用链法则时，,设,科学出版社,如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导,表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导,与,不同,科学出版社,例6. 设,都有一阶,求,连续偏导数，,解:,代入中间变量，得到复合函数,科学出版社,为简便起见 , 引入记号,例7.,f 具有二阶连续偏导数,
4、求,解: 令,则,设,科学出版社,二、一阶全微分形式不变性,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做一阶全微分形式不变性.,科学出版社,利用这个性质，容易证明，无论 u, v 是自变量还是,中间变量，,用链法则求复合函数偏导数时，,和中间变量.,有了一阶全微分形式不变性，,考虑这种区别，使计算变得方便。,可以不再,首先要分清自变量,都有下面的微分法则：,科学出版社,例 8.,的全微分和偏导数.,解:,求,则,所以,设,科学出版社,例 9.,都可微, 求d z.,解:,.设,利用一阶全微分形式不变性，有,科学出版社,例10.,已知,求,解:,两边求微分, 得,又因为,所以,由条件,
