1、1 主讲教师 王升瑞 高等数学 第二十二讲 2 第四节 一 多元复合函数求导法则 三 隐函数求导公式 多元复合函数与隐函数求导法则 第七章 二 多元复合函数的全微分 3 一元复合函数 求导法则 微分法则 4 一 多元复合函数求导的链式法则 定理 若函数 处偏导数连续 在点t可导 则复合函数 且有链式法则 中间变量是一元函数的情形 若定理中 说明 偏导数连续减弱为 偏导数存在 则定理结论不一定成立 5 推广 1 中间变量多于两个的情形 例如 设下面所涉及的函数都可微 2 中间变量是多元函数的情形 例如 6 3 中间变量只有一个的情形 例如 注 由于 是一元函数 则它对 的导数应该 采用一元函数的
2、导数记号 例1 设 求全导数 解 7 又如 当它们都具有可微条件时 有 注意 这里 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 口诀 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 与 不同 8 下列两个例题有助于 称为混合偏导数 在计算时注意合并同类项 设 掌握这方面问题的求导技巧 常用导数符号 9 例1 设 解 10 例2 解 11 求 例3 12 例4 解 13 例5 求 解 f具有二阶连续偏导数 14 为简便起见 引入记号 例6 设 f具有二阶连续偏导数 求 解 令 则 15 例7已知 解 16 二 多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 都可微
3、其全微分表达 形式都一样 这性质叫做全微分形式不变性 17 例1 利用全微分形式不变性再解 解 所以 18 例2 设 解法一 利用公式有 19 例2 设 解法二 利用微分形式的不变性有 20 解 例3 已知 21 本节讨论 1 方程在什么条件下才能确定隐函数 例如 方程 当C 0时 能确定隐函数 当C 0时 不能确定隐函数 2 在方程能确定隐函数时 研究其连续性 可微性 及求导方法问题 例 已知二元方程 求 解法一 显式求导法 解法二 隐式求导法方程两边同时对 求导 现学习了多元函数 偏导数的概念和多元复合 函数的求导法 就能给出一元隐函数的求导定理及 一般求导公式 22 三 隐函数求导法则
4、定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 23 两边对x求导 在 的某邻域内 则 24 解 令 则 例1 25 例2 方程 解 令 求 可确定一个函数 26 27 两边对x求导 两边再对x求导 令x 0 注意此时 导数的另一求法 利用隐函数求导 代入导数方程得 28 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确
5、29 两边对x求偏导 同样可得 则 30 解法一 利用隐函数求导公式 设 例3 是由方程 所确定 31 例3 解法二 利用微分形式的不变性有 是由方程 所确定 32 例4 设 解 利用微分形式的不变性有 是由方程 所确定 33 例5 设 解法1利用隐函数求导 再对x求导 是由方程 所确定 34 解法2利用公式 设 则 两边对x求偏导 35 内容小结 1 复合函数求导的链式法则 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 例如 2 全微分形式不变性 不论u v是自变量还是因变量 36 3 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则有连续偏导数 在点 满足 37 作业 P4471 2 3 4 5 6 7 3 4 8 1 4 9 10 11 12 13
