第四节.微积分基本公式

1、存在，必须,，,解得,例7,解,先变形再求极限.,例8,解,例9,解,左右极限存在且相等,意义：,例8,解:,原式,三、小结 思考,1、极限的四则运算法则及其推论;,2、极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,3、复合函数的极限运算法则,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾,故假设错误,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,。

2、余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,2. 反三角函数,四、初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.,五、小结 思考题,1.基本初等函数：,幂函数、指数与对数函数、,三角函数与反三角函数的图象与简单性质.,2.初等函数的定义：,思考题,分段函数一定不是初等函数吗？,解答,不一定,考察函数,它是一个分段函数，,根据定义，它是一个初等函数.,练 习 题,三、火车站行李收费规定如下：20千克以下不计费，2050千克每千克收费0.20元，超出50千克超出部分每千克0.30元，试建立行李收费f(x)(元)与行李质量x(千克)之间的函数关系，并作出图形,练习题答案,。

3、以定义三阶、四阶导数, 及更高阶的导数.,确定了一个以 为定义域的函数, 称其为 的二阶导,函数, 简称为二阶导数. 记为,按照定义, 我们有,为了记号上的方便, 我们约定,例1 求函数,解,的三阶导数.,例2 求函数,解,例3 求 的 阶导数.,解,的二阶导数.,例4 求 的 阶导数.,解,例5 求,的 阶导数.,解,一般, 若 则,例6 求由方程 所确定的隐函数,解 方程两边对 求导, 得,因 , 所以 即有,的二阶导数.,上式两边继续求导, 得,例7 求由方程 确定的隐函数,解 方程两边对 求导, 得,整理后有,在 的二阶导数.,因,即有,对式继续求导, 得,将 代入得,上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数, 在,设函数 和 为二阶可导函数, 且,但更多的情况下, 我们宁。

4、变量后积分,记 为函数 的原函数，则有通解,将 代入上式，得原方程的隐式解,例1 求解方程,解 此方程为齐次方程，令 则,即,两边积分，得,从而有,例2 求解方程,解 方程变形得：,令 则,分离变量，得,两端积分，得,即,例3 探照灯反射镜的设计 在 平面上有一曲线曲线绕 轴旋转一周，形成一旋转曲面假设由 点出发的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后与 轴平 行，求曲线的方程.,解 如图所示设 出发的的某条 光线经 上一点 反射后是 一条与 轴平行的直线 又设 过点 的切线 与 轴的夹角为由题意， 另一方面，,是入射角的余角. 由反射定律有,由此得到 而,因 ，由此得微分方程,此方程为齐次型方程，为求解方便，以 为积分变量，为未知函数，由对称性，并假定 令 则有：,即,从而,两边积分，得,即,由上式得,即,代入 。

5、余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,2. 反三角函数,四、初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.,五、小结 思考题,1.基本初等函数：,幂函数、指数与对数函数、,三角函数与反三角函数的图象与简单性质.,2.初等函数的定义：,思考题,分段函数一定不是初等函数吗？,解答,不一定,考察函数,它是一个分段函数，,根据定义，它是一个初等函数.,练 习 题,三、火车站行李收费规定如下：20千克以下不计费，2050千克每千克收费0.20元，超出50千克超出部分每千克0.30元，试建立行李收费f(x)(元)与行李质量x(千克)之间的函数关系，并作出图形,练习题答案,。

6、为,一、问题的提出,4,考察定积分,记,变上限积分函数 或积分上限函数,二、变上限积分函数及其导数,5,变上限积分函数的性质：,证,6,由积分中值定理得,7,注1.,此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量 x求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量x处的函数值。
,若上限不是x而是x的函数a(x)，则求导时必须按复合函数的求导法则进行,即：,定理证明了连续函数的原函数是存在的.,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,2.,3.,若上限不是x而是常数，下限是x的函数变限函数，则求导时必须先换限，即：,4.,8,一般情况,5.,0,9,例1 求,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,解,10,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,11,解,例3.,12,例4.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,13,证,令,14,前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。
这就是微积分基本公式。
,定理（微积分基本公式）,。