1、1,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第四节,微积分的基本公式,第六章,2,在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分麻烦的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。,3,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,4,考察定积分,记,变上限积分函数 或积分上限函数,二、变上限积分函数及其导数,5,变上限积分函数的性质：,证,6,由积分中值定理得,7,注1.,此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变
2、量 x求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量x处的函数值。,若上限不是x而是x的函数a(x)，则求导时必须按复合函数的求导法则进行,即：,定理证明了连续函数的原函数是存在的.,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,2.,3.,若上限不是x而是常数，下限是x的函数变限函数，则求导时必须先换限，即：,4.,8,一般情况,5.,0,9,例1 求,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,解,10,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,11,解,例3.,12,例4.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,13,证,令,14,前述变速直线运动的路
3、程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。,定理（微积分基本公式）,三、Newton-Leibniz公式,15,令,令,牛顿莱布尼茨公式,证,16,注,微积分基本公式表明：,（2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题即不定积分与定积分两者之间的内在联系.,（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.,（4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。,注意,17,例1 求,解,显然比用定义的方法简便得多,18,解,原式,例2 求,例3. 计算,解:,19,例4 求,解,
4、由图形可知,20,例5. 计算正弦曲线,的图形的面积 .,解:,21,例6 计算,解,例7 计算,解,22,例8 计算,解,例9 计算,解,23,24,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,3.微积分基本公式,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系称之为微积分基本公式。,注意 使用公式的条件:（1）被积函数 f(x) 连续;（2）F(x)是 f(x) 在该区间上的任一原函数,四、小结,25,作业P18,4. 5.单号 6.,26,练习题,27,练习题解答,28,29,习题5-2,1.求下列函数在指定点的导数,2.求下列极限,30,3.求下列定积分,31,习题5-2答案,32,例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,车到停车走了多少距离?,33,备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数 ,设, 则,故应用积分法定此常数 .,34,2.,求,解：,的递推公式(n为正整数) .,由于,因此,所以,其中,35,练 习 题,36,37,38,39,40,41,练习题答案,42,
