1、第四节 高阶导数,本节要点,本节引入高阶导数的概念及计算方法, 并给出高阶导,数的莱布尼兹公式.,高阶导数,记为 或,若 在 处都可导, 则由极限,则很自然地会考虑函数 的可导性. 若 在 处可导,若函数 在区间 中点点可导, 即,则称 在 处的导数为 在 处的二阶导数,由定义, 知,同样可以定义三阶、四阶导数, 及更高阶的导数.,确定了一个以 为定义域的函数, 称其为 的二阶导,函数, 简称为二阶导数. 记为,按照定义, 我们有,为了记号上的方便, 我们约定,例1 求函数,解,的三阶导数.,例2 求函数,解,例3 求 的 阶导数.,解,的二阶导数.,例4 求 的 阶导数.,解,例5 求,的
2、阶导数.,解,一般, 若 则,例6 求由方程 所确定的隐函数,解 方程两边对 求导, 得,因 , 所以 即有,的二阶导数.,上式两边继续求导, 得,例7 求由方程 确定的隐函数,解 方程两边对 求导, 得,整理后有,在 的二阶导数.,因,即有,对式继续求导, 得,将 代入得,上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数, 在,设函数 和 为二阶可导函数, 且,但更多的情况下, 我们宁可采取直接求导的方法来求,二阶可导的条件下, 我们建立相应的的二阶导数公式.,出高阶导数, 而不是死记这个烦琐的公式.,则由方程所确定的函数的二阶导数为,例8 计算由摆线的参数方程,所确定的函数的二阶导数.,解,阶导数的莱布尼茨公式: 设,若记 则有:,在 处有 阶导数, 则:,例9 已知,解 设,代入莱布尼茨公式, 得,求,则,
