1、,第四节 可用变量代换法求解的 一阶微分方程,本节要点,本节讨论几类可用变量代换的微分方程. 类型有:,一、齐次方程,二、伯努利方程,设一阶线性微分方程为：,则称方程为齐次型微分方程. 例如方程,是齐次型方程. 因为原方程可变形为,一、齐次型方程,解法 引入变量 则有 代入式,得,这是一个变量可分离的微分方程，分离变量后积分,记 为函数 的原函数，则有通解,将 代入上式，得原方程的隐式解,例1 求解方程,解 此方程为齐次方程，令 则,即,两边积分，得,从而有,例2 求解方程,解 方程变形得：,令 则,分离变量，得,两端积分，得,即,例3 探照灯反射镜的设计 在 平面上有一曲线曲线绕 轴旋转一周
2、，形成一旋转曲面假设由 点出发的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后与 轴平 行，求曲线的方程.,解 如图所示设 出发的的某条 光线经 上一点 反射后是 一条与 轴平行的直线 又设 过点 的切线 与 轴的夹角为由题意， 另一方面，,是入射角的余角. 由反射定律有,由此得到 而,因 ，由此得微分方程,此方程为齐次型方程，为求解方便，以 为积分变量，为未知函数，由对称性，并假定 令 则有：,即,从而,两边积分，得,即,由上式得,即,代入 得曲线的方程：,此为对称轴为 轴，焦点为原点的抛物线方程.,二、可化为齐次型的方程,方程,其中,当 时方程是齐次型的，否则不是齐次型 的. 在非齐次型的情况下, 可做
3、变换 其中常数 满足方程,在 的条件下，上述方程组可唯一确定一组,此方程可化为齐次型方程. 此时,求得该方程的通解后，再以 代入， 即得原方程的通解.,例4 求解方程,解 做变换 代入方程得,解得 做代换 则原方 程变为,再令 则,代入上面的方程，整理后分离变量,后得,积分后得,即,将 代入上式，得,以 代入上式，得原方程的通解,值得注意得是：如果方程中的系数适合 时， 用上述方法无法解得 但若记,则方程可写成,即,做变换 则,即,故，原方程为,此方程为变量可分离的方程.,以上的方法也适用更一般的方程,的求解.,例5 求解方程,解 令 ，则 即 于是 原方程成为,分离变量后积分,得,将 代入上式，即得原方程的通解,三、伯努利方程,形如,的方程称为伯努利方程. 如果在方程的两端除以 得,做代换 则 于是方程成为,此为一阶线性微分方程. 求出通解后，再代入 则得到原方程的通解.,例6 求解方程,解 此方程是 的伯努利方程. 在其两端动除以 方程为,令 ，则 于是所给的方程转化为,一阶线性微分方程,相应的解为,
