常微分方程王高雄第三版课后答案

1、y dy=- dx2yd1x两边积分: - =-ln|x+1|+ln|c| y=1|)1(|lnxc另外 y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e特解：y= |)1(|lnxc3 =dxy32解：原方程为： =dxy213xdy= dx y213两边积分：x(1+x )(1+y )=cx224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： dy=- dxy1x1两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0 也是原方程的解。
5 （y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-dxy2令 =u 则 =u+x 代入有：xydxu- du= dx12uln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y +x )=c-2arctg .22xy6. x -y+ =0dyy解：原方程为： = + -dx|2)(1xy则令 =u =u+ xyudu=sgnx dx21u1arcsin =sgnx ln|x|+cxy7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为： =tgydc两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-。

2、然 也 是 原 方 程 的 解当 即时 ， 两 边 同 时 积 分 得 ；当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,123 yxd32解：原式可化为： xy xyc ccdxyxydx 22 223232)1( )1(),0(lnllnl11,0 ）故 原 方 程 的 解 为 （ 即两 边 积 分 得 故 分 离 变 量 得显 然 .0;ln,ln, 010)()1(4 xycxycx dyxyd故 原 方 程 的 解 为 即两 边 积 分 时 ， 变 量 分 离是 方 程 的 解 ， 当或解 ： 由：- 2 -10ln1l, 0l)ln(:931:8.coslnsil07lnsgarcisn1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:532 22222cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdtycxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududxuxdyuyyxxeeexxx两 边 积 分解 。

3、dy dy=- dx2yd1x两边积分: - =-ln|x+1|+ln|c| y=1|)(|lnc另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e特解：y= |)1(|lnxc3 =dxy32解：原方程为： =dxy213xdy= dx y213两边积分：x(1+x )(1+y )=cx224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： dy=- dxy1x1两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0 也是原方程的解。
5 （y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-dxy令 =u 则 =u+x 代入有：dxu- du= dx12uln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y +x )=c-2arctg .22xy6. x -y+ =0dy解：原方程为： = + -dxy|2)(1xy则令 =u =u+ x udu=sgnx dx21u1arcsin =sgnx ln|x|+cxy7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为： =tgydcx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln。

4、时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy+=+=+=+=+1ln11,11,001ln1,11ln0,11123 yxydxdyxy321+= 解：原式可化为： xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111=+=+=+=+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4=+=+=+=+xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxc。

5、1)dy dy=- dx2yd1x两边积分: - =-ln|x+1|+ln|c| y=1|)(|lnc另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e特解：y= |)1(|lnxc3 =dxy32解：原方程为： =dxy213xdy= dx y213两边积分：x(1+x )(1+y )=cx224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： dy=- dxy1x1两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0 也是原方程的解。
5 （y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-dxy令 =u 则 =u+x 代入有：dxu- du= dx12uln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y +x )=c-2arctg .22xy6. x -y+ =0dy解：原方程为： = + -dxy|2)(1xy则令 =u =u+ x udu=sgnx dx21u1arcsin =sgnx ln|x|+cxy7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为： =tgydcx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-。

6、 是 原 方 程 的 解当 即时 ， 两 边 同 时 积 分 得 ；当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,123 yxdy32解：原式可化为： xy xyc ccdxyxydx 22 223232)1( )1(),0(lnllnl11,0 ）故 原 方 程 的 解 为 （ 即两 边 积 分 得 故 分 离 变 量 得显 然 .0;ln,ln, 010)()1(4 xycxycx dyxyd故 原 方 程 的 解 为 即两 边 积 分 时 ， 变 量 分 离是 方 程 的 解 ， 当或解 ： 由：10ln1l, 0l)ln(:931:8.coslnsil07lnsgarcisn1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:532 22222cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdtycxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududxuxdyuxyyxeeexxx两 边 积 分解 ： 变 量 。

7、是 原 方 程 的 解当 即时 ， 两 边 同 时 积 分 得 ；当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,123 yxdy32解：原式可化为： xy xyc ccdxyxydx 22 223232)1( )1(),0(lnllnl11,0 ）故 原 方 程 的 解 为 （ 即两 边 积 分 得 故 分 离 变 量 得显 然 .0;ln,ln, 010)()1(4 xycxycx dyxyd故 原 方 程 的 解 为 即两 边 积 分 时 ， 变 量 分 离是 方 程 的 解 ， 当或解 ： 由：10ln1l, 0l)ln(:931:8.coslnsil07lnsgarcisn1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:532 22222cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdtycxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududxuxdyuxyyxeeexxx两 边 积 分解 ： 变 量 分。

8、显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxx y1ln11,11,001ln1,11ln0,11123 yxydxdy xy321 解：原式可化为： xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyx d yyy d xx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(l n:931:8.c oslns i nln07lns g na rc s i nlns g na rc s i n1s g n11,)1(,6ln)1l n(21111,11,0)()(:53322222222222cdxd。

9、它的系数行列式必为零,注,定理3的逆不成立.,如函数,事实上,若有恒等式,则,推论,(2)定理4,证明:,“反证”,现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为,由解的唯一性定理知,由定理4易得下面结论,推论2,由定理1知,方程(4.2)满足初始条件,又因为,由此得定理5,5 齐线性方程线性无关解的存在性,定理5,6 通解的结构,(1)定理6,证明:,首先,由叠加原理(4.11)是(4.2)的解,它包含有n个任意常数,又因为,故(4.11)为(4.2)的通解.,考虑方程组,以这组常数构造,由解的唯一性定理得:,即,(2)推论,(3)基本解组:,注:,基本解组不是唯一的.,三、非齐线性方程与常数变易法,非齐线性微分方程,对应齐线性微分方程,1 非齐线性微分方程解的性质,性质1,证明:,因为,所以,由微分性质两式相加得,性质2,证明:,则,故,2 非齐线性方程通解的结构,定理7,证明:,这些任常数是相互独立的,(4.14)为方程(4.1)的解,由定理6的证明过程易知,由性质1知,故(4.14)为方程(4.1)的通解.,则由性质2知,由定理6知,故,即方程(4.1)的任一解都。

10、分方程简称为微分方程或方程.,2.偏微分方程,如,都是偏微分方程.,定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,二、微分方程的阶,如:,n阶微分方程的一般形式为,是线性微分方程.,三 线性和非线性,如,1.如果方程,是非线性微分方程.,如,2.n阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,四 微分方程的解,定义4,例2,证明:,1 显式解与隐式解,相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.,隐式解.,注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.,例如,有显式解:,和隐式解:,2 通解与特解,定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.,例如:,n阶微分方程通解的一般形式为,注1:,例3,证明:,由于,故,又由于,注2:,注3:,类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.,以后不区分显式通解和隐式通解,。

11、4.3微分方程的降阶和幂级数解法,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,解得,积分,即,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次, 得原方程的通解为,例1,2 不显含自变量t的方。

12、解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,(I) 形如,方程称为齐次方程,求解方法:,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,解的步骤:,解:,解方程组,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,火箭是如何发射升空的？,设t时刻火箭的速度为V(t), 质量为M(t), 准备发射时火箭的质量为Mo, 火箭马达喷气速度为u,根据动量守恒定律,-MdV=udM,三、应用举例,方程被称为齐奥尔科夫斯基方程， 用它可以计算火箭的到达速度。
,。

13、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
,1.1 常微分方程模型,微分方程:,联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.,为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.,例1 镭的衰变规律:,解:,即镭元素的存量是指数规律衰减的.,将某物体放置于空气中, 在时刻,时, 测得它的温度为,10分钟后测量得温度为 试决定此物,例2 物理冷却过程的数学模型,Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.,设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到,其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模。

14、分法,2 分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,三、积分因子,3. 若(1)不是恰当方程,能否转化为恰当方程求解?,1 定义,例5,2 积分因子的确定,即,变成,即,特殊积分因子的求法,此时求得积分因子,3 定理,微分方程,解:,由于,故它不是恰当方程,又由于,利用恰当方程求解法得通解为,例7 求解方程,解:,方程改写为:,或:,易看出,此方程有积分因子,即,故方程的通解为:,练习：求解方程,解:,故方程不是恰当方程,方法1:,即,故方程的通解为:,方法2:,方程改写为:,这是齐次方程,即,故通解为:,变量还原得原方程的通解为:,方法3:,方程改写为:,故方程的通解为:,即方程的通解为:,常见的全微分表达式,可选用积分因子,作业,P60 1（3） 2（2）（5）（8）（10） 4,。

15、值问题,1.解对初值的连续依赖性,初值问题,引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。
,2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理),条件: I. 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;II. 是(1)满足 的解,定义区间为a,b.,结论: 对 , 使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有 定义,且,方程,思路分析：,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使 ,且 在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对 ,存在以它为中心的圆 ,使在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 .根据有限 覆盖定理,存在N,当 时,有,对 ,记,则以 为半径的圆,当其。

16、4.2 常系数线性方程的解法,一、复值函数与复值解,1 复值函数,复函数的求导法则与实函数求导法则相同,2 复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义,3 复值解,(1)定义,(2)定理8,(3)定理9,若方程,和,的解.,二、常系数齐线性方程和欧拉方程,1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.,显然,一阶常系数齐线性方程,有解,对(4.1。

17、分方程简称为微分方程或方程.,2.偏微分方程,如,都是偏微分方程.,定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,二、微分方程的阶,如:,n阶微分方程的一般形式为,是线性微分方程.,三 线性和非线性,如,1.如果方程,是非线性微分方程.,如,2.n阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,四 微分方程的解,定义4,例2,证明:,1 显式解与隐式解,定义4所定义的解为方程的一个显式解.,隐式解.,注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.,例如,有显式解:,和隐式解:,2 通解与特解,定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.,例如:,n阶微分方程通解的一般形式为,注1:,例3,证明:,由于,故,又由于,注2:,注3:,类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.,在通解中给任意常数以确定的值而得到。

18、 2 dx=-(x+1)dy 2ydy dy=- 11+x dx 两边积分: - y1 =-ln|x+1|+ln|c| y= |)1(|ln 1 +xc 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= |)1(|ln 1 +xc 3dxdy = yxxy y 321+ 解：原方程为：dxdy = yy21+31xx + yy21+ dy=31xx + dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y1 dy=- xx 1+ dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5（ y+x）dy+(x-y)dx=0 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 www.fineprint.cn解：原方程为： dxdy =-yxyx+ 令xy=u 则dxdy =u+x dxdu 代入有： - 112 +uu du= x1dx ln(u 2 +1)x 2 =c-2arctgu 即 ln(y 2 +x 2 )=c-2arc。

19、dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。
故特解是 时，代入式子得 。
当 时显然也是原方程的解 当 即 时，两边同时积分得； 当 x y c y x y x c y c y x y dy dx x y + + = = = = = + + = + = + = + 1 ln 1 1 , 1 1 , 0 0 1 ln 1 , 1 1 ln 0 , 1 1 1 23 y xy dx dy x y 3 2 1 + + = 解：原式 可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 ) 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( ), 0 ( ln 1 ln 2 1 ln 1 ln 2 1 1 1 , 0 1 1 1 = + + = + + + + = + + = + + + = + ） 故原方程的解为（ 即 两边积分得 故分离变量得 显然. 0 ; 0 ; ln , ln , ln ln 0 1 1 0 0 0 。