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《常微分方程》(第三版)——答案.doc

上传人:yjrm16270 文档编号:6315567 上传时间:2019-04-06 格式:DOC 页数:89 大小:1.80MB
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1、- 1 -常微分方程2.11. ,并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解.xyd2解:对原式进行变量分离得 。故 它 的 特 解 为 代 入 得把即两 边 同 时 积 分 得 :eexxyc yxcyyy2 2,1 1,0,ln, 2 ,0)(.2dyx并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解.解:对原式进行变量分离得: 。 故 特 解 是时 , 代 入 式 子 得。 当时 显 然 也 是 原 方 程 的 解当 即时 , 两 边 同 时 积 分 得 ;当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,123 yxd32解:原式可化为: xy xyc ccdxyxydx 22 223

2、232)1( )1(),0(lnllnl11,0 )故 原 方 程 的 解 为 ( 即两 边 积 分 得 故 分 离 变 量 得显 然 .0;ln,ln, 010)()1(4 xycxycx dyxyd故 原 方 程 的 解 为 即两 边 积 分 时 , 变 量 分 离是 方 程 的 解 , 当或解 : 由:- 2 -10ln1l, 0l)ln(:931:8.coslnsil07lnsgarcisn1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:532 22222cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdtycxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududx

3、uxdyuyyxxeeexxx两 边 积 分解 : 变 量 分 离: 。代 回 原 变 量 得 :则 有 :令解 : 方 程 可 变 为 :解 : 变 量 分 离 , 得两 边 积 分 得 :解 : 变 量 分 离 , 得 : 也 是 方 程 的 解 。另 外 ,代 回 原 来 变 量 , 得两 边 积 分 得 : 分 离 变 量 得 : 则 原 方 程 化 为 :解 : 令: 。两 边 积 分 得 : 变 量 分 离 , 得 :则令解 :- 3 -cxyarctgcxartgdxtdtydxycdxydxyexy )(,11,.1222)(代 回 变 量 得 : 两 边 积 分变 量 分 离

4、 得 :原 方 程 可 变 为 : 则解 : 令两 边 积 分 得 :解 : 变 量 分 离 ,12 2)(1yxd解 cxyarctgyx cxartgdtdtt )(112 2, 代 回 变 量, 两 边 积 分变 量 分 离 , 原 方 程 可 变 为, 则令变 量 分 离 , 则 方 程 可 化 为 :令 则 有令 的 解 为解 : 方 程 组 UdXUXYYyx yxyxd 21,31, 31,;012,02.13 - 4 -.7)5(7217)(,1,52,14)(22 cxyxct dxttdxdxtyyxd 代 回 变 量两 边 积 分 变 量 分 离原 方 程 化 为 : 则

5、解 : 令15 1842xdy原 方 程 的 解 。 , 是, 两 边 积 分 得分 离 变 量 , 所 以求 导 得, 则 关 于令解 : 方 程 化 为 cxyarctgdxu udxudyyx yxx 6)382(941 491412)(622 2216 256yxdy解: , 则 原 方 程 化 为, , 令 uyxyd 3233232 )()1262xuxud,这是齐次方程,令cxyx cxyy xzdzzz yz zxzxzdzx15373 33 53722 3322)()( 02,)2(1063 )1.(66 的 解 为 时 。 故 原 方 程包 含 在 通 解 中 当或, 又

6、因 为即 ( , 两 边 积 分 的 (时 , 变 量 分 离当 是 方 程 的 解 。或) 方 程 的 解 。 即是 (或, 得当 , , 所 以, 则17. d32- 5 -解:原方程化为 123;)123(2yxdyyxdy令 ).(;,22 uvvuy则方程组 , ,) ; 令,的 解 为 ( 111013 uYZ则有 zydyz 231023) 化 为, , , , 从 而 方 程 (令 )2.(3232, , , 所 以, , 则 有 tdzttdztdztzt 当 是 原 方 程 的 解或的 解 。 得, 是 方 程时 , , 即 222 )2(10 xyxytt当 cdztt

7、52222 )(13 两 边 积 分 的时 , , 分 离 变 量 得另外 xyxyxy 52222 )( 原 方 程 的 解 为, 包 含 在 其 通 解 中 , 故, 或- 6 -, 这 也 就 是 方 程 的 解 。, 两 边 积 分 得分 离 变 量 得 , 则 原 方 程 化 为令解)(并 由 此 求 解 下 列 方 程可 化 为 变 量 分 离 方 程 ,经 变 换证 明 方 程cyxdxuuuyxdyduxyfyx 4ln142 21)2(1xy() 0.x,c。0y,c2。,2 dx1u),(ux1du,xy y0sy0。:(1) u)(fx1)(fu1)(fduf(),u y

8、d。,dy2).()1)(8.224 33 2219. 已知 f(x)x xfxtf0 )(,01)( 的 一 般 表 达 式试 求 函 数.解:设 f(x)=y, 则原方程化为 xydtf01)(两边求导得 12ycxyycxydxy 21;2;1;33 所 以两 边 积 分 得代 入把 cx21xtf0)( xycxcxcxdtcx 21,02)2(;2210 所 以得- 7 -20.求具有性质 x(t+s)= )(1sxt的函数 x(t),已知 x(0)存在。解:令 t=s=0 x(0)= )0(= )0(2 若 x(0)0 得 x2=-1 矛盾。所以 x(0)=0. x(t)= )(1

9、)()1limlim22ttxttx)(1)0(2txdtxdttxd)0(1)2 两边积分得 arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题 2.2求下列方程的解1 dxy= sin解: y=e dx( e dxc)=e - 21e ( osi)+c=c ex- ( xcn)是原方程的解。2 dt+3x=e t2解:原方程可化为: dt=-3x+e t2所以:x=e 3 ( e t edt3c) =e t ( 51e t+c)=c e t3+ e t2 是原方程的解。3 dts=-s tco

10、+ tsin解:s=e tds( 21e dt3c )=e tsin( tsinc)- 8 -= e tsin( cettsinsi)= 1isitct 是原方程的解。4 dxynxe , n 为常数.解:原方程可化为: dynxe)(cdxxn)ce 是原方程的解.5 dxy+ 12=0解:原方程可化为: dxy=- 12dxe2( cdx2)1(ln1lnx= 2xce 是原方程的解.6 dxy234解: 234y= 23x+令 yu 则 uy dxy=u u因此: dx= 21u2cx3 (*)将 xyu带入 (*)中 得: 343cxy是原方程的解.- 9 -332() 21()227

11、.(1),() )1()dxPxd PxddyxQeeQc(x)d23解 :方 程 的 通 解 为 : y=+*+ (x)2321)1,()()dycdyxxyQeQydc24P(y)Py)d()x = 即 : c+为 方 程 的 通 解 。8.解 :则 = 方 程 的 通 解 为 : x=2331*2ycy 即 x=+c是 方 程 的 通 解 , 且 =0也 是 方 程 的 解 。- 10 -() ()()19.,() )01adxPxPxdxdadyxQeeQca为 常 数解 : (方 程 的 通 解 为 : y=+1 当 时 , 方 程 的 通 解 为 yxln/c 当 时 , 方 程0

12、a的 通 解 为 =+l/-1当 , 时 , 方 程 的 通 解 为x yc- 331() ()()310.,() )*dxPxdPxdPxddyxxQeeQccxc3解 :方 程 的 通 解 为 : y=1 4方 程 的 通 解 为 : y=- 11 -2232332331.()(),()pxxdpxpxdyxyxydyzPQeedQce -解 :两 边 除 以令方 程 的 通 解 为 : z= 221),0xcyy 故 方 程 的 通 解 为 : (且 也 是 方 程 的 解 。2121()()222ln12.(ln)4lnlln, )ln1(PxdPxdyxdxdyxyyzdxQzecx

13、解 : 两 边 除 以 令方 程 的 通 解 为 :2ln)l14l:(),4xdccxcyx方 程 的 通 解 为 且 =0也 是 解 。- 12 -13 2()1xydxdy这是 n=-1 时的伯努利方程。两边同除以 y,21dyx令 2z dyx1dyxP(x)= 2 Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式 22()dxdxzec= 2cyx14 23de两边同乘以 y 2()3yydexx令 yez y223dxz这是 n=2 时的伯努利方程。两边同除以 2 2213dzx 令 1Tz2dTxzTP(x)= 3 Q(x)= 2x由一阶线性方程的求解公式- 13 -3321()dxdxT

14、ec= 3= 132xc()z13yexc2y3xec15 31dyx3y这是 n=3 时的伯努利方程。两边同除以 3x 3321dxy令 2z 3y32dyx= 32z P(y)=-2y Q(y)= 32y由一阶线性方程的求解公式223()ydydzeec= 22= 21yce22()x222yyece2(1)xx- 14 -16 y= xe+ 0()ytdxyedP(x)=1 Q(x)= x 由一阶线性方程的求解公式11()dxdyec= ()xec0()xecdc=1y= ()xec17 设函数 (t)于 t 上连续, (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t)(s)试求此函数。令 t

15、=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 2(0) 故 ()0或 ()1(1) 当 (0)时 ()0)tt 即 t t, )(2) 当 ()1时 0()()limtt= 0()()litt= 1tt= 0t tt= ()于是 (0)dtt 变量分离得 (0)dt 积分 (0)tce由于 1,即 t=0 时 1 1=cec=1故 (0)tte20.试证:(1)一阶非齐线性方程(2 .28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解;- 15 -(2)若 ()yx是(2.3)的非零解,而 ()yx:是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为 ()ycx:,其中 c为任意

16、常数.(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.证明: ()dyPxQ (2.28)(2.3)(1) 设 1y, 2是(2.28 )的任意两个解则 1()()dPxyQ (1)22(2)(1)-(2)得1212()dyPxy即 12是满足方程(2.3)所以,命题成立。(2) 由题意得: ()dyxPy(3)()()xQx:(4)1)先证 yc:是(2.28)的一个解。于是 34 得()()cdycPxyQxx:()():故 yc:是(2.28)的一个解。2)现证方程(4)的任一解都可写成 cy:的形式- 16 -设 1y是(2.28)的一个解则 1()()d

17、PxyQ (4 )于是 (4 )-(4)得11()()xyd:从而 ()1Pdyce:即 所以,命题成立。(3) 设 3y, 4是(2.3)的任意两个解则 3()dPxy (5)44(6)于是(5) c得 33()dcPxy即 33()(dyx 其中 为任意常数也就是 3c满足方程(2.3)(5) (6)得3434()()dyPxyx即 (也就是 34y满足方程(2.3)所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5) 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6) 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解:设 (,)pxy为曲线上的任

18、一点,则过 p点曲线的切线方程为()YyXx从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 (,0)()yxy即 横截距为 yx,- 17 -纵截距为 yx。由题意得:(5) 2方程变形为2dyx1于是 1()dxdxyeclnln(1)xdxc(:)2xc所以,方程的通解为 2yxc。(6) y方程变形为 2dx1y于是 1()22(dxdxeec11lnln22()xx1122()xdxc1122():12xc- 18 -所以,方程的通解为12yxc。22求解下列方程。(1) 0)(2xy解: 122)(12122cexeydxdx= /2122 = /1232cxdx=c/2(2) 3sinosin0

19、yxyx2icodP(x)= 1sinx Q(x)=2sincx由一阶线性方程的求解公式 112sincosincoi()dxdxyee= i)s= in(cox= sitg习题 2.31、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。1. 0)2()(2dyxyx解: 1M, N=1 .- 19 -则 xNyM所以此方程是恰当方程。凑微分, 0)(2xdyyd得 : Cx312 )4()(2yy解: 1M, xN .则 y .所以此方程为恰当方程。凑微分, 0432ydxdyx得 C33 0)(1)( 22dyxydxy解: 34)(2)()1yxM342)()(2yxyxxN则 .因此此方程是恰

20、当方程。 xyxu1)(2(1)2)((2)对(1)做 x的积分,则 )(1)(2ydxyxu- 20 -= yx2)(lny(3)对(3)做 y的积分,则 dyxu)()(212= dyxy)(2= 2)(1y则 1)()()(1)( 222 yxxydydln)( yxyxxyu lnll 222故此方程的通解为 Cyln4、 0)2(3)3(22dxdxy解: yM1, yN1 .xy.则此方程为恰当方程。凑微分, 036462232 dyxd0)()(32xyd得 : Cy3245.( y1sin x- 2cos +1)dx+( x1 cos y- 2 sin yx+ 21)dy=0解

21、: M= sin y- 2xcos +1 N= cos x- 2 sin + 2- 21 -yM=- 21 sin yx- 3cos - 21x cos y+ 3xsinxN=- 2 sin - 3cos - 2 cos + 3sin所以, y= x,故原方程为恰当方程因为 1sin dx- 2cos ydx+dx+ x1 cos ydy- 2x sin ydy+ 21dy=0d(-cos yx)+d (sin x)+dx+d(- y)=0所以,d(sin -cos +x - 1)=0故所求的解为 sin xy-cos +x - y=C求下列方程的解:62x(y 2xe-1)dx+ 2xdy=

22、0解: yM= 2x 2xe , xN=2x 2xe所以, = x,故原方程为恰当方程又 2xy 2edx-2xdx+ 2xedy=0所以,d(y 2x-x )=0故所求的解为 y 2e-x =C7.(ex+3y2)dx+2xydy=0解:e dx+3y dx+2xydy=0e xx2dx+3x y2dx+2x3ydy=0所以,d e x( x -2x+2)+d( x3y2)=0即 d e ( x2-2x+2)+ x y =0故方程的解为 e ( x2-2x+2)+ x y =C- 22 -8. 2xydx+( x2+1)dy=0解:2xydx+ x dy+dy=0d( x2y)+dy=0即

23、d(x y+y)=0故方程的解为 x2y+y=C9、 dydy解:两边同除以 2x 得 dxyx2即, dyarctgd故方程的通解为 cxytr10、 03dyxy解:方程可化为: ydx2即, yd故方程的通解为: cyx21 即: cyx2同时,y=0 也是方程的解。11、 01xdyy解:方程可化为: dxy1dxyxd1即: 故方程的通解为: cxy1ln12、 02xdyy解:方程可化为: dx2- 23 -dxy故方程的通解为 : c 即: xcy13、 02xdy解:这里 NM, , xNyMxy1方程有积分因子 xed1两边乘以 得:方程 022yxd是恰当方程故方程的通解为

24、: cdyx2cyx3即: 2314、 0cossinco dyxdyxyx解:这里 NM,i因为 yxyxNysincos故方程的通解为: cdyxyxyxdxyx sincocossinco即: i15、 odyxydxy cssinsco解:这里 NMi,i xNM- 24 -1MxNy 方程有积分因子: yde 两边乘以 得:方程 0cossinsincoxyedxey 为恰当方程故通解为 : cdyxyeNy sinci即: cxexeyy os1sin16、 05324dyd解:两边同乘以 yx得:352423 yxyx0534d故方程的通解为: cyx532417、试导出方程 0

25、),(),(dYXNM具有形为 )(xy和 )的积分因子的充要条件。解:若方程具有 为积分因子,xy)()(( )(yx是连续可导)NM)(xyxNy)1(令 zdx, zy .)(MNzM,)()(yxd,- 25 -NMyxd , dzyxdz)(方程有积分因子 )(yx的充要条件是: NM是 yx的函数,此时,积分因子为 dze)( .)2(令 yxzdz, dzxyz)(MxNydzMx)()(yNyMxd此时的积分因子为 dzyxMe)(18. 设 ),(yxf及 f连续 ,试证方程 0),(xf为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有 )

26、(xQyPdx ,此方程有积分因子 dxPe)(,只与 有关 .充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 )( .则 0),)(yxfdyx为恰当方程 ,从而 d( , )(xyf , )()()()( QyPxQdyxf .- 26 -其中 )()(xP .于是方程可化为 0)(dxQyxPd即方程为一阶线性方程.20.设函数 f(u),g(u)连续、可微且 f(u)g(u),,试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy) 1证:在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 两边同乘以 u 得:uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则 yu

27、f=uf+uy yf+yf u= )(gfxy+ )(fxy-yf 22)()(gfyxyxf= 2)(gfxy= 2)(fxf= 2)(f而 xug=ug+ux x+xg u= )(gfy+ )(fxy- xg 22)()(gfyxxyf= 2)(gfxyff= 2)(f故 u= ,所以 u 是方程得一个积分因子21假设方程(2.43)中得函数 M(x,y)N(x,y)满足关系 xNyM=Nf(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分别为 x 和 y 得连续函数,试证方程(2.43)有积分因子 u=exp(dxf)(+ g)()证明:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证 xuNy)

28、()(u y+M =u xN+N uu( M- )=N - M u( - )=Ne dygxf)()(f(x)- 27 -M e dygxf)()(g(y)u( yM- xN)=e dygxf)()(Nf(x)-Mg(y)由已知条件上式恒成立,故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解:已知伯努利方程为: ;,oyxQyPdxn两边同乘以 ny,令 nz,,11Pdxz线性方程有积分因子:dxPndxnee,故原方程的积分因子为:P11,证毕!23、设 yx,是方程 0,dyxNyxM的积分因子,从而求得可微函数U,,使得 .dyxd试证 yx,也是方程 0,dyxNyxM的积分因子的充

29、要条件是 ,U其中 t是 的可微函数。证明:若 u,则Nuy yuy 又yMuNyMxx即 为 0,dyxx的一个积分因子。24、设 y21是方程 0,dyxN的两个积分因子,且2常数,求证 c21(任意常数)是方程 0,dyxNM的通解。证明:因为 21,是方程 0,dyxyxM的积分因子所以 oNdxii 21i 为恰当方程- 28 -即 xNyMxNiii, 2,1i下面只需证 21的全微分沿方程恒为零事实上: 02121 122211222112 2211121 xNyMxNyNdx dxyxdxyx yyd即当 c21时, c21是方程的解。证毕!习题 2.4求解下列方程1、 yx3

30、解:令 tpd1,则 231ttx,从而 ctcdtctdtcy 2323 ,于是求得方程参数形式得通解为 ctytx23.2、 013yx解:令 txpd,则 013txt,即 tt123,从而 ctdtcy22- 29 -cdttt231tt24ctt15,于是求得方程参数形式得通解为 cttyx1252.3、 ye2解:令 pdx,则 pey2,从而 c21dpep2= cep1,于是求得方程参数形式的通解为 peycx21,另外,y=0 也是方程的解.4、 ay21, 为常数解:令 tgdx,则 222cosse1atgay,从而 dtcp2co1caas14os42cin,- 30 -于是求得方程参数形式的通解为 2cosinaycx.5、 2yx1解:令 tpdcos,则 txsinc12,从而 yincdtctd2oss2i41,于是求得方程参数形式的通解为 cttyx2sin41.6、 221yy解:令 t,则 1t,得 ty1,所以 dtttdtttdytdx 22212,从而 ctdtx12,于是求得方程参数形式的通解为 tycx1,因此方程的通解为 cxy1.习题 2.52 dxyd2 解:两边同除以 ,得:yx2

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