1、习题1.2 1dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2 +c y=e 2x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2 ,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2 dx=-(x+1)dy 2ydy dy=- 11+x dx 两边积分: - y1 =-ln|x+1|+ln|c| y= |)1(|ln 1 +xc 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时
2、 c=e 特解：y= |)1(|ln 1 +xc 3dxdy = yxxy y 321+ 解：原方程为：dxdy = yy21+31xx + yy21+ dy=31xx + dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y1 dy=- xx 1+ dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5（ y+x）dy+(x-y)dx=0 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 解：原方程为： dxdy =-yxyx+ 令xy=u 则dxdy =u+x dxdu
3、 代入有： - 112 +uu du= x1dx ln(u 2 +1)x 2 =c-2arctgu 即 ln(y 2 +x 2 )=c-2arctg 2xy . 6. x dxdy -y+ 22 yx =0 解：原方程为： dxdy = xy+ xx| - 2)(1 xy 则令 xy=u dxdy =u+ x dxdu 211udu=sgnx x1dx arcsin xy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgydy = ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= xccos1 = xccos 另外y=0也是原
4、方程的解，而 c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dxdy + yexy 32 +=0 解：原方程为：dxdy = yey2e x3 2 e x3 -3e 2y =c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dxdy = xyln xy PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 令 xy =u ,则dxdy =u+ x dxdu u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e yx 解：原方程为：dxdy =e x e y e y =ce x 11 dx
5、dy =(x+y) 2 解：令x+y=u,则dxdy = dxdu -1 dxdu -1=u 2 211u+ du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12. dxdy = 2)( 1yx + 解：令 x+y=u,则dxdy = dxdu -1 dxdu -1= 21u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13. dxdy = 12 12 + + yx yx 解: 原方程为：（ x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c xy-y2 +y-x 2 -
6、x=c 14: dxdy = 25 + yx yx 解：原方程为：（ x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 dxy-d( 21 y 2 +2y)-d( 21 x 2 +5x)=0 y2+4y+x 2 +10x-2xy=c. 15: dxdy =(x+1) 2 +(4y+1) 2 +8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y）2 +3 令x+4y=u 则 dxdy = 41 dxdu - 41 41dxdu -41 =u 2 +3 dxdu =4 u 2 +13 u= 2
7、3 tg(6x+c)-1 tg(6x+c)= 32 (x+4y+1). 16:证明方程 yx dxdy =f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2 y 2 )dx=xdy 2） yx dxdy = 2222x-2y x2y+ 证明： 令xy=u,则x dxdy +y= dxdu 则dxdy = x1 dxdu - 2xu ，有： ux dxdu =f(u)+1 )1)( 1 +ufu du= x1 dx 所以原方程可化为变量分离方程。 1） 令xy=u 则dxdy = x1 dxdu - 2xu (1) 原方程可化为：dxdy = xy 1+（xy
8、）2 (2) 将1代入2式有：x1 dxdu - 2xu = xu (1+u 2 ) u= 22 +u +cx 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 则与x轴，y轴交点分别为： x= x 0 - 0yy y= y0 - x 0 y 则 x=2 x 0 = x 0 - 0yy 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中a =4p 。 解：由题意得：y= xy y1dy= x1 dx ln
9、|y|=ln|xc| y=cx. a =4p 则y=tga x 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y=kx 则：y=kx 2 +c 即为所求。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 常微分方程习题2.1 1. xydxdy 2= ,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,21 2=+=,0)1(.2 2 =+ dyxdxy 并求满足初始条件：
10、x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxx y+=+=+=+=+1ln11,11,001ln1,11ln0,11123 yxydxdyxy321+=解：原式可化为： xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111=+=+=+=+= +）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4=+=+=+=+xycyxxy
11、cyxxycyyxxdyy ydxx xxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 10ln1lnln1 ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxdux
12、dxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 cxyxarctgcxarctgtdxd
13、tdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx+=+=+=+=+=+=+)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，12 2)( 1yxdxdy += 解 cxyxarctgyxcxarctgttdxdtt ttdxdtdxdtdxdytyx+=+=+=+)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU2122222,31,3131,31;012
14、,0121212.132+=+=+=+=PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 .7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5( 22cxyxcxtdxdttt tdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt+=+=+=+代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令15 18)14()1(22 += xyyxdxdy原方程的解。，是，两边积分得分离变量，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy+=+=+=+=+=+=6)383232(94 1494141412)14(1
15、81816122222216 2252622yxxyxydxdy+= 解： ，则原方程化为，令 uyxxy xydxdyxxyy xydxdy =+=+= 323223323222322)(32(2)( 1263263 22222+=+=xuxuxxuxudxdu ， 这 是 齐次方程，令PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzz zzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312
16、306)1.(12 612 63=+=+=+= +=+=+=+=的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，所以，则17. yyyx xxyxdxdy + += 3232332 解：原方程化为 123 132;)123( )132( 2222222222+=+=yxyxdxdyyxyyxxdxdy 令 )1.(123 132;, 22 + += uv uvdvduvxuy 则 方程组 ，）；令，的解为（ 111101230132 +=+=+ uYvZuvuv则有+=+ =+zyzydzdyyzyz23321023 032
17、）化为，从而方程（ 令)2.(23 2223 322，所以，则有 ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt +=+=+= 当是原方程的解或的解。得，是方程时，即 22222 2)2(1022 xyxytt =当cxyxydzzdtttt 5222222 )2(122 23022 +=+=+ 两边积分的时，分离变量得 另外 cxyxyxyxy 522222222 )2(2 +=+= 原方程的解为，包含在其通解中，故，或 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离
18、方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=4ln142241)22(1dxduuxy(2) 0.x,c2故原方程的解哺壙也包含在此通解中。0y,c2即,c2丌 呦勖 dxx12udu 与 ),(2ux1dxdu奃 哺u,xy令1dxdyyx勖 哺0sxy是原方程的解，当0y或0x当:(1)解程。故此方程哺 哺 u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dx duf(u),1dxduy1得：ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求 x 墊u,xy姮
19、來 堈哺22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyx yxyx yxuuuuyx19. 已知f(x) =xxfxdtxf0)(,0,1)( 的一般表达式试求函数 . 解：设f(x)=y, 则原方程化为 =xydtxf01)( 两边求导得 12 yyy = cxyycxdyydxdxdyy+=+= 21;121;1;233 所以两边积分得代入把 cxy += 2 1 =xydtxf01)( PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 xyccxccxcxdtctx21,02)2(;2210=+=+=+ 所以得20.求具有性质
20、x(t+s)= )()(1 )()( sxtx sxtx + 的函数x(t),已知x(0)存在。 解：令 t=s=0 x(0)= )0(1 )0()0( x xx + = )0()0(1 )0(2 xxx 若x(0) 0 得x 2 =-1矛盾。 所以x(0)=0. x(t)= )(1)(0()()(1 )(1)(lim)()(lim 22txxtxtxt txtxt txttx += += + ) )(1)(0()( 2 txxdttdx += dtxtx tdx )0()(1 )(2 =+ 两边积分得 arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0
21、)=0 故c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42） 习题2.2 求下列方程的解 1dxdy = xy sin+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 解： y=e dx ( xsin e dx cdx + ) =e x - 21 e x ( xx cossin + )+c =c e x - 21 ( xx cossin + )是原方程的解。 2dtdx +3x=e t2 解：原方程可化为：dtdx =-3x+e t2 所以：x=e dt3 ( e t2 e dt3 cdt + ) =e t3 (51 e t5 +c) =c
22、e t3 + 51 e t2 是原方程的解。 3dtds =-s tcos + 21 t2sin 解：s=e tdtcos ( t2sin21 e dtdt3 c+ ) =e tsin ( + cdttet tsincossin ) = e tsin ( cete tt + sinsinsin ) = 1sinsin + tce t 是原方程的解。 4dxdy nx xeynx = ， n为常数. 解：原方程可化为：dxdy nx xeynx += )( cdxexeey dxxnnxdxxn+= )( cex xn += 是原方程的解. 5dxdy + 121 2 yx x = 0 解：原方
23、程可化为：dxdy =- 121 2 + yx x =dxxxey 212( cdxe dxxx+221) )21(ln 2 += xe )( 1ln 2 + cdxe xx PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 = )1(12 xcex + 是原方程的解. 6 dxdy 234xyxx += 解：dxdy 234xyxx += = 23yx +xy 令 xy u= 则 uxy = dxdy =u dxdux+ 因此： dxduxu + = 2ux 21udxdu = dxduu =2 cxu +=331 cxxu +=33 （*） 将xy u= 带入 （*）中 得
24、： 343 3 cxxy = 是原方程的解. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 3332()21()227.(1)12 (1)12(),()(1)1(1)()1(1)dxPxdx xPxdxdyyxdxxdyyxdxxPxQxxxeexeQxdxcx+=+=+=+ =+ +P(x)dx232解：方程的通解为：y=e=(x+1) *(x+1)dx+c)=(x+1)(x+23221(1)()211,()()dyyx cdyydxxydx xydyyyQyyyeyQydyc+ +=+= = +2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c) =(x+1)即：
25、2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。8. =x+y解：则P(y)=e方程的通解为：x=ee2331 *)22ydycyy cyy+ =y(=即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ()()()19.,1),()()01adxPxdxaxPxdxPxdxaadyayx adxxxaxPxQxxxeexeeQxdxcaa+=+= +=为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x(dx+c) xx当 时，方程的通解为y=x+ln/x/+c 当 时，方程01aaaa的通解为y=cx+xln/x/-1当 ，时，方
26、程的通解为x1 y=cx+- 1-3331()()()310.11(),()1()(*)dxPxdx xPxd Pxdxdyxyxdxdy yxdxxPxQxxxeexeeQxdxcxxdxccxcx+=+= +33解：方程的通解为： y=1 =xx =4x方程的通解为： y=4 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ()() ()223333233232332311.2()2()()2,()2()(2)pxxdx xpxpxxdy xyxydxxyxydxxyxydxxyxdxyzdz xzxdxPxxQxxedxeeedxedxQxdxcex+=+=+=+=+=
27、 +23-2xdy解：两边除以ydydy令方程的通解为：z= =e222)11)1,0xxdxcceycey+=22=x故方程的通解为： (x 且 也是方程的解。PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 22212111()()222ln112.(ln2)424ln2ln2ln22ln2ln(),()()ln1()(Pxd PxdxdxdxxxcxyxydxxdyxdyxyydxxxydyxyydxxxdyxydxxxyzdzxzdxxxxPxQxxxzeeQxdxcxzeedxcxx=+=+=+=解：两边除以令方程的通解为：222ln()ln1424ln1:()1,4
28、24x dxcxxcxxcxyx+=+=方程的通解为 且y=0也是解。13 222(2)2122xydyyxdxdyyxydxxyxy= 这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以1y ， 2 12dyyydxx= 令 2yz= 2dzdyydxdx= 22211dzyzdxxx= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 P(x)= 2x Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 22()dxdxxxzeedxc=+ = 2xxc+ 22yxxc=+ 14 23ydyexdxx+= 两边同乘以 ye 22()3yyy dyexeedxx+= 令 yez= ydzdyed
29、xdx= 2233dzzxzzzdxxxx+=+ 这是n=2时的伯努利方程。 两边同除以 2z 22131dzzdxxzx=+ 令1 Tz = 21dTdzdxzdx= 231dTTdxxx=+ P（x）= 3x Q(x)= 21x 由一阶线性方程的求解公式 3321()dxdxxxTeedxcx =+ = 321()2xxc + = 1312 xcx+ 131()12zxcx+= 131()12yexcx+= 2312yyxecex+= 2312yxxec+= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 15 331dydxxyxy= + 33dx yxyxdy =+
30、这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以 3x 3321dxyyxdyx=+ 令 2xz= 32dzdxxdydy= 322 2dzyydyx= = 322yzy P(y)=-2y Q(y)= 32y 由一阶线性方程的求解公式 223(2)yd ydyzeyedyc=+ = 223(2)yyeyedyc + = 22 1 yyce+ 222(1)1yxyce+= 22222(1)yyyxeycee+= 22222(1)yexxycx+= 16 y= xe+0()xytdt ()xdy eyxdx =+ xdy yedx =+ P(x)=1 Q(x)= xe 由一阶线性方程的求解公式 PDF 文件
31、使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 11()dxdxxyeeedxc=+ = ()xxxeeedxc+ = ()xexc+ 0()()xxxxexceexcdx+=+ c=1 y= ()xexc+ 17 设函数j(t)于t +上连续， j(0)存在且满足关系式j(t+s)=j(t)j(s) 试求此函数。 令t=s=0 得j(0+0)=j(0)j(0) 即j(0)= 2(0)j 故 (0)0j=或(0)1j= （1） 当(0)0j=时 ()(0)()(0)tttjjjj=+= 即 ()0tj= (t,+) (2) 当 (0)1j=时 0()()() limttttttjjj+=
32、0()()()limtttttjjj =0()()1)limttttjj=0(0)(0) ()limtt ttjjj+ = (0)()tjj 于是 (0)()d tdtjjj= 变量分离得 (0)d dtjjj= 积分 (0)tcejj = 由于 (0)1j=，即t=0时 1j= 1= 0ce c=1 故 (0)() ttejj= 20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 （2）若 ()yyx= 是（2.3）的非零解，而 ()yyx= 是（2.28）的解，则方程（2.28
33、）的通解可表为 ()()ycyxyx=+，其中c 为任意常数. （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明： ()()dy PxyQxdx =+ （2.28） ()dy Pxydx = （2.3） （1） 设 1y ， 2y 是（2.28）的任意两个解 则 1 1()()dy PxyQxdx =+ （1） 22()()dy PxyQxdx =+ （2） （1）-（2）得 ( )12 12()()dyy Pxyydx = 即12yyy=是满足方程（2.3） 所以，命题成立。 （2） 由题意得： () ()dyx Pxydx = （3） () ()()()
34、dyx PxyxQxdx =+ （4） 1）先证ycyy=+ 是（2.28）的一个解。 于是 ( ) ( )34c + 得 ()()()cdydy cPxyPxyQxdxdx+=+ ()()()()dcyy PxcyyQxdx+ =+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 故ycyy=+ 是（2.28）的一个解。 2）现证方程（4）的任一解都可写成cyy+ 的形式 设 1y 是(2.28)的一个解 则 1 1()()dy PxyQxdx =+ （4） 于是 （4）-（4）得 11()()()dyy Pxyydx = 从而 ()1 Pxdxyycecy= 即 1yyc
35、y=+所以，命题成立。 （3） 设 3y ， 4y 是（2.3）的任意两个解 则 3 3()dy Pxydx = （5） 44()dy Pxydx = （6） 于是（5） c 得 3 3()cdy cPxydx = 即 3 3() ()()dcy Pxcydx = 其中c为任意常数 也就是 3ycy= 满足方程（2.3） （5）（6）得 3 4 34()()dy dy PxyPxydxdx= 即 34 34()()()dyy Pxyydx = 也就是 34yyy=满足方程（2.3） 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （5） 曲线上任一点的切线的纵截距等
36、于切点横坐标的平方； PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设 (,)pxy为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为 ()YyyXx= 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,)yxyxyy 即 横截距为 yx y ， 纵截距为 yxy 。 由题意得： （5） 2yxyx= 方程变形为 2dyxyxdx = 1dy yxdxx= 于是 11()()dxdxxxyexedxc=+ lnln()xxexedxc=+ 1()xxxdxc=+ 1()xxdxcx=+ ()xxc=+ 2xcx=
37、+ 所以，方程的通解为 2yxcx=+。 （6） 2xyyxy += 方程变形为 22dyyxx dx = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1122dy ydxx= 于是 11()221()2dxdxxxyeedxc=+ 11lnln221()2xxeedxc=+ 11 22 1()2xxdxc=+ 11221( )2xxdxc=+ 1122()xxc=+ 12xcx=+ 所以，方程的通解为12yxcx=+ 。 22求解下列方程。 （1） 0)1( 2 =+ xyyx 解： 1111 22 = xyxxyy )11( 121 22 += cexey dxxxd
38、xxx= /1/111/1/2122212 cdxxxx + = /1/1/232212 cxdxx + =c xx + /1/ 2 （2） 3sincossin0yxxyx= 2sinsincoscosdyyxdxxxx=+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 P(x)= 1sincosxx Q(x)=2sincosxx 由一阶线性方程的求解公式 112sinco sincossin()cosdxdxx xxxyeedxcx=+ =sin (sin)cos x xdxcx + =sin (cos)cos x xcx + = sintgxcx 习题2.3 1、验证
39、下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. 0)2()( 2 =+ dyyxdxyx 解： 1= yM ， xN =1 . 则 xNyM = 所以此方程是恰当方程。 凑微分， 0)(22 =+ xdyydxydydxx 得 ： Cyxyx =+ 2331 2 0)4()3( 2 = dyxydxxy 解： 1= yM ， 1= xN . 则 xNyM = . 所以此方程为恰当方程。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 凑微分， 043 2 =+ ydydxxxdyydx 得 Cyxyx =+ 23 2 3 0)(11)( 2222=+ dyyx xydxxyx y
40、 解： 3422)(2)()1)(2)(2yxxyyxyxyyxyyM= 3422)(2)()(2)(2yxxyyxyxxyxxxN= 则 yNxM = . 因此此方程是恰当方程。 xyxyxu 1)( 22= （1） 22)(1yxxyyu= （2） 对（1）做x的积分，则 )(1)( 22ydxxdxyx yu j+= = yxy2)(ln yx j+ （3） 对（3）做y的积分，则 dyydyx yyxyyu )()( 2)()1( 22 j+ += = dyydyx yxy )()(2 22 j+ + = 22)(1yxxy 则 11)( 21)( 2)(1)( 2222222= +=
41、 yyx yxyxyyx xyyyx xydyydj yydyyy = ln)11()(j PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 yxxyxyyxyxyyxyyyxyxyu=+=+= lnlnlnln222故此方程的通解为 Cyxxyxy =+ln 4、 0)2(3)23(2 2232 =+ dyyyxdxxxy 解： xyyM 12= ， xyxN 12= . xNyM= . 则此方程为恰当方程。 凑微分， 03646 2232 =+ dyyydyxdxxdxxy 0)()()(3 3422 =+ xdxdyxd 得 ： Cyyxx =+ 3224 3 5.( y
42、1 sin yx - 2xy cos xy +1)dx+( x1 cos xy - 2yx sin yx + 21y )dy=0 解： M= y1 sin yx - 2xy cos xy +1 N= x1 cos xy - 2yx sin yx + 21y yM =-21y sin yx -3yx cosyx -21x cos xy +3xy sinxy xN =-21y sin yx -3yx cosyx -21x cos xy +3xy sinxy 所以， yM = xN ，故原方程为恰当方程 因为y1 sin yx dx- 2xy cos xy dx+dx+ x1 cos xy dy-
43、2yx sin yx dy+ 21y dy=0 d(-cos yx )+d (sin xy )+dx+d(- y1 )=0 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 所以，d(sin xy -cos yx +x - y1 )=0 故所求的解为sin xy -cos yx +x - y1 =C 求下列方程的解： 62x(y 2xe -1)dx+ 2xe dy=0 解： yM = 2x 2xe , xN =2x 2xe 所以， yM = xN ，故原方程为恰当方程 又2xy 2xe dx-2xdx+ 2xe dy=0 所以，d(y 2xe -x 2 )=0 故所求的解为y
44、2xe -x 2 =C 7.(e x +3y 2 )dx+2xydy=0 解：e x dx+3y 2 dx+2xydy=0 e x x 2 dx+3x 2 y 2 dx+2x 3ydy=0 所以，d e x ( x 2 -2x+2)+d( x 3 y 2 )=0 即d e x ( x 2 -2x+2)+ x 3 y 2 =0 故方程的解为e x ( x 2 -2x+2)+ x 3 y 2 =C 8. 2xydx+( x 2 +1)dy=0 解：2xydx+ x 2 dy+dy=0 d( x 2 y)+dy=0 即d(x 2 y+y)=0 故方程的解为x 2 y+y=C PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 9、 ( )dxyxxdyydx 22 += 解：两边同除以 22 yx + 得 dxyx xdyydx =+ 22 即， dx
