1、1习题 1.21 =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1 的特解。dxy解： =2xdx 两边积分有：ln|y|=x +c2y=e +e =cex 另外 y=0也是原方程的解，c=0 时，y=02xc2原方程的通解为 y= cex ,x=0 y=1时 c=12特解为 y= e .2x2. y dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解。2解：y dx=-(x+1)dy dy=- dx2yd1x两边积分: - =-ln|x+1|+ln|c| y=1|)1(|lnxc另外 y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e特解：y= |)1(|lnxc3 =dxy
2、32解：原方程为： =dxy213xdy= dx y213两边积分：x(1+x )(1+y )=cx224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： dy=- dxy1x1两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0 也是原方程的解。5 （y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-dxy2令 =u 则 =u+x 代入有：xydxu- du= dx12uln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y +x )=c-2arctg .22xy6. x -y+ =0dyy解：原方程为： = + -dx|2)(1xy则令 =u =u+ xyudu=sgnx dx21
3、u1arcsin =sgnx ln|x|+cxy7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为： =tgydc两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= = 另外 y=0也是原方程的解，而 c=0时，y=0.xos1所以原方程的通解为 sinycosx=c.8 + =0dxye32解：原方程为： = edxy2x32 e -3e =c.x32y9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为： = lndx令 =u ,则 =u+ xyuu+ x =ulnuduln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln =cy.y310. =edxy解：原方程为： =e exyye
4、 =cey11 =(x+y)dx2解：令 x+y=u,则 = -1dxyu-1=uu2du=dx21arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =dxy2)(解：令 x+y=u,则 = -1dxyu-1=u21u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13. =dxy12解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y -y)-dx +x=c22xy-y +y-x -x=c14: =dxy5解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0d
5、xy-d( y +2y)-d( x +5x)=0212y +4y+x +10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xydx21解：原方程为： =（x+4y） +3dx令 x+4y=u 则 = -y4u4- =u +341dxu2=4 u +13u= tg(6x+c)-123tg(6x+c)= (x+4y+1).16:证明方程 =f(xy),经变换 xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：yxd1） y(1+x y )dx=xdy22） =x2- 证明： 令 xy=u,则 x +y=dyu则 = - ，有：12=f(u)+1uxdu= dx)1(fx所以原方程可化为变量
6、分离方程。1） 令 xy=u 则 = - (1)dyu2原方程可化为： = 1+（xy） (2)x将 1代入 2式有： - = (1+u )12x2u= +cxu17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与 x轴，y 轴交点分别为：x= x - y= y - x y00则 x=2 x = x - 所以 xy=c0018.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0的曲线方程，其中 = 。45解：由题意得：y= dy= dxxy1xln|y|=ln|xc| y=cx.= 则 y=tg x 所以
7、 c=1 y=x.419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y=kx则：y=kx +c 即为所求。2常微分方程习题 2.11. ,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.xyd2解：对原式进行变量分离得 。故 它 的 特 解 为 代 入 得把即两 边 同 时 积 分 得 ：eexxyc yxcyyy2 2,1 1,0,ln, 2 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.,0)(.2dyx解：对原式进行变量分离得： 。 故 特 解 是时 ， 代 入 式 子 得。 当时 显 然 也 是 原 方 程 的 解当 即时 ， 两 边
8、 同 时 积 分 得 ；当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,123 yxdy32解：原式可化为： xy xyc ccdxyxydx 22 223232)1( )1(),0(lnllnl11,0 ）故 原 方 程 的 解 为 （ 即两 边 积 分 得 故 分 离 变 量 得显 然710ln1l, 0l)ln(:931:8.coslnsil07lnsgarcisn1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:532 22222cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdtycxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududxuxdyuxyy
9、xeeexxx两 边 积 分解 ： 变 量 分 离： 。代 回 原 变 量 得 ：则 有 ：令解 ： 方 程 可 变 为 ：解 ： 变 量 分 离 ， 得两 边 积 分 得 ：解 ： 变 量 分 离 ， 得 ： 也 是 方 程 的 解 。另 外 ，代 回 原 来 变 量 ， 得两 边 积 分 得 ： 分 离 变 量 得 ： 则 原 方 程 化 为 ：解 ： 令： 。两 边 积 分 得 ： 变 量 分 离 ， 得 ：则令解 ：8.0;ln,ln, 010)1()(4 xycxycx dyxydy故 原 方 程 的 解 为 即两 边 积 分 时 ， 变 量 分 离是 方 程 的 解 ， 当或解 ：
10、 由： cxyarctgcxartgdxtdtydxycdxydxyexy )(,11,.1222)(代 回 变 量 得 ： 两 边 积 分变 量 分 离 得 ：原 方 程 可 变 为 ： 则解 ： 令两 边 积 分 得 ：解 ： 变 量 分 离 ，12 2)(1yxd解 cxyarctgyx cxartgdtdtt )(1 12 2， 代 回 变 量， 两 边 积 分变 量 分 离 ， 原 方 程 可 变 为， 则令变 量 分 离 ， 则 方 程 可 化 为 ：令 则 有令 的 解 为解 ： 方 程 组 UdXUXYYyx yxyxd 21,31, 31,;012,02.13 9.7)5(7
11、217)(,1,52,14)(22 cxyxct dxttdxdxtyyxd 代 回 变 量两 边 积 分 变 量 分 离原 方 程 化 为 ： 则解 ： 令15 18)4()1(22xyxdy原 方 程 的 解 。 ， 是， 两 边 积 分 得分 离 变 量 ， 所 以求 导 得， 则 关 于令解 ： 方 程 化 为 cxyarctgdxu udxudyyx yxx 6)382(941 491412)(622 2216 256yxdy解： ， 则 原 方 程 化 为， ， 令 uyxyd3233232 )()，这是齐次方程，令1262xuxudcxyx cxyy xzdzzz yz zxzx
12、zdzx15373 33 53722 3322)()( 02,)2(1063 )1.(66 的 解 为 时 。 故 原 方 程包 含 在 通 解 中 当或， 又 因 为即 （ ， 两 边 积 分 的 （时 ， 变 量 分 离当 是 方 程 的 解 。或） 方 程 的 解 。 即是 （或， 得当 ， ， 所 以， 则1017. yxdy32解：原方程化为 123;)12(2yxdyx令 ).(;,22 uvvuy则方程组 ， ，） ； 令，的 解 为 （ 111013 uYZ则有 zydyz 231023） 化 为， ， ， ， 从 而 方 程 （令 )2.(32， ， ， 所 以， ， 则 有
13、 tdttztdztzt 当 当是 原 方 程 的 解或的 解 。 得， 是 方 程时 ， ， 即 222 )2(10 xyxytt cdzt 5)(13 两 边 积 分 的时 ， ， 分 离 变 量 得另外xyxyxy 52222 )( 原 方 程 的 解 为， 包 含 在 其 通 解 中 ， 故， 或11， 这 也 就 是 方 程 的 解 。， 两 边 积 分 得分 离 变 量 得 ， 则 原 方 程 化 为令解）（并 由 此 求 解 下 列 方 程可 化 为 变 量 分 离 方 程 ，经 变 换证 明 方 程cyxdxuuuyxdyduxyfyx 4ln142 21)2(1xy() 0.
14、x,c2。0y,c2。, dx1u),(ux1du,xy y0sy0。:(1) u)(fx1)(fu1)(fduf(),uy yd。,dy2).()1)(8.42 33 2219. 已知 f(x) .x xfxtf0 )(,01)( 的 一 般 表 达 式试 求 函 数解：设 f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得xydtf01)( 12ycxyycxydxy 21;2;33 所 以两 边 积 分 得代 入把 cx21xtf01)( xycxcxdtx 21,02)2(;0 所 以得1220.求具有性质 x(t+s)= 的函数 x(t),已知 x(0)存在。)(1sxt解：令 t=s=0 x
15、(0)= = 若 x(0) 0 得 x =-1矛盾。)0()(22所以 x(0)=0. x(t)= )(1)()1limlim22ttxttx两边积分得 arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)(1)0(2txdtxdttxd)0(1)(2t+c 当 t=0时 x(0)=0 故 c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题 2.2求下列方程的解1 =dxysin解： y=e ( e )dxdxc=e - e ( )+c21osi=c e - ( )是原方程的解。xxcsn2 +3x=edtt2解：原方程可化为： =-3x+edtt2所以：x=e ( e e ) 3tdt3
16、c=e ( e +c)t51t=c e + e 是原方程的解。t3t23 =-s +dtstcotsin解：s=e ( e )tds21dt3c=e ( )tsintsinc= e ( )tsicettsisi= 是原方程的解。1insitct134 ， n 为常数.dxyxen解：原方程可化为： dynxe)(cdxxn是原方程的解.)ce5 + =dxy120解：原方程可化为： =-dxy12( )dxe2cdx2)1(ln1lnx= 是原方程的解.2xce6 dxy234解： 234y= +23x令 则 =uyuydxu因此： =dx21u2cx3（*）u将 带入 （*）中 得： 是原方
17、程的解.xy343cxy14332() 21()227.(1),() )1()dxPxd PxddyxQeeQc(x)d23解 ：方 程 的 通 解 为 ： y=+*+ (x)2321)1,()()dycdyxxyQeQydc24P(y)Py)d()x = 即 ： c+为 方 程 的 通 解 。8.解 ：则 = 方 程 的 通 解 为 ： x=2331*2ycy 即 x=+c是 方 程 的 通 解 ， 且 =0也 是 方 程 的 解 。15() ()()19.,() )01adxPxPxdxdadyxQeeQca为 常 数解 ： （方 程 的 通 解 为 ： y=+1 当 时 ， 方 程 的
18、通 解 为 yxln/c 当 时 ， 方 程0a的 通 解 为 =+l/-1当 ， 时 ， 方 程 的 通 解 为x yc- 331() ()()310.,() )*dxPxdPxdPxddyxxQeeQccxc3解 ：方 程 的 通 解 为 ： y=1 4方 程 的 通 解 为 ： y=2232332331.()(),()pxxdpxpxdyxyxydyzPQeedQce -解 ：两 边 除 以令方 程 的 通 解 为 ： z= 221),0xcyy 故 方 程 的 通 解 为 ： (且 也 是 方 程 的 解 。1622121()()222ln112.(ln)4lnl2lnl, )ln1(
19、PxdPxdxxcxyxdxyydxyzdxxQzecx解 ： 两 边 除 以 令方 程 的 通 解 为 ：22ln)l14ln1:(),4xdcccxy方 程 的 通 解 为 且 =0也 是 解 。13 2()1xddyyx这是 n=-1时的伯努利方程。两边同除以 ，y21dx令 2yzdyx1dxP(x)= Q(x)=-12由一阶线性方程的求解公式1722()dxdxzec= 2cyx14 23de两边同乘以 y2()3yydexx令 yezy这是 n=2时的伯努利方程。223dxz两边同除以 令2213dzx1Tz2dTxzTP（x）= Q(x)=32x由一阶线性方程的求解公式 3321
20、()dxdxTec= 3= 132xc()z13yexc2y3xec15 31dyx3y18这是 n=3时的伯努利方程。两边同除以 3x3321dxy令 2z3y= P(y)=-2y Q(y)=32dyx32z 32y由一阶线性方程的求解公式223()ydydzeec= 22= 21yce22()x222yyece2(1)xx16 y= +xe0()ytdxyedP(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式x11()dxdyec= ()xec0()xecdc=1y= ()xec17 设函数 (t)于 t 上连续， (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s)19试求此函数。令 t
21、=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 故 或2(0)()0()1（1） 当 时 即 (0)()ttt, )t(2) 当 时 =(0)1 0()()limtt0()()litt= =0()1)tt0()(0)t tt= ()于是 变量分离得 积分 (0)dtt(0)dt(0)tce由于 ，即 t=0时 1= c=111ce故 (0)tte20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若 是（2.3）的非零解，而 是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()yx()yx:，其中 为任意常数.()c:c（3）方程（
22、2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明： （2.28）()dyPxQ（2.3）（1） 设 ， 是（2.28）的任意两个解1y2则 （1）1()()dPxyQ（2）22x（1）-（2）得1212()dyPyx即 是满足方程（2.3）1220所以，命题成立。（2） 由题意得：（3）()dyxPy（4）()()xQx:1）先证 是（2.28）的一个解。yc:于是 得34()()cdycPxyQxx:()():故 是（2.28）的一个解。yc:2）现证方程（4）的任一解都可写成 的形式cy:设 是(2.28)的一个解1y则 （4 ）1()()dPxyQ于是 （4 ）-（
23、4）得11()()xyd:从而 ()1Pdyce:即 所以，命题成立。（3） 设 ， 是（2.3）的任意两个解3y4则 （5）3()dPxy（6）44于是（5） 得 c33()dcPxy即 其中 为任意常数33()(dyx也就是 满足方程（2.3）3c21（5） （6）得3434()()dyPxyx即 (也就是 满足方程（2.3）34y所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设 为曲线上的任一点，则过 点曲线的切线方程为(,)pxyp()
24、YyXx从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 ,0)()yxy即 横截距为 ，yx纵截距为 。由题意得：（5） 2yx方程变形为2d1yx于是 1()(ddxeclnlnx1()dcx:()c2x所以，方程的通解为 。2yxc22（6） 2xyy方程变形为 dx12y于是 1()2(dxdxeec11lnln22()xx1122()xdxc1122():12xc所以，方程的通解为 。12yxc22求解下列方程。（1） 0)(2xy解： 122)(12122cexeydxdx= /2122= /1232cxdx=c/2（2） 3sinosin0yxyx232sinsicodyxxP(x)= Q(x)
25、=1ix2icosx由一阶线性方程的求解公式 112sincosincoi()dxdxyee= i)s= in(cox= sitg习题 2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1. 0)2()(2dyxyx解： ， =1 .1MN则 xy所以此方程是恰当方程。凑微分， 0)(2xdyyd得 ： Cx312 )4()(2yy解： ， .1MxN则 .y所以此方程为恰当方程。凑微分， 0432ydxdyx得 C3243 0)(1)( 22 dyxydxy解： 34)(2)()1yxM342)()(2yxyxxN则 .因此此方程是恰当方程。（1）xyxu1)(2（2）2)(对（1）做 的积
26、分，则x )(1)(2ydxyxu= （3）)(ln对（3）做 的积分，则y dyyxyu)()(212= d)(2= 2)(1yx则 1)(1)()(1)( 2222 yxyxdydln)( yxyxyxyu lnll 222故此方程的通解为 Cln254、 0)2(3)3(22dyxdxy解： ， .yM1N1.xy则此方程为恰当方程。凑微分， 036462232 dyxd0)()(3xyd得 ： Cy3245.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0y1x2x1y2yx21解： M= sin - cos +1 N= cos - sin +2xyx22=-
27、 sin - cos - cos + sinyM21y3x21y3=- sin - cos - cos + sinxN232x3x所以， = ，故原方程为恰当方程yx因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=012yx1y2xy21d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0yxy所以，d(sin -cos +x - )=0x1故所求的解为 sin -cos +x - =Cyxy求下列方程的解：62x(y -1)dx+ dy=02xe2x26解： = 2x , =2xyM2xexN2xe所以， = ，故原方程为恰当方程x又 2xy dx-2x
28、dx+ dy=02e2xe所以，d(y -x )=02x故所求的解为 y -x =C2e7.(e +3y )dx+2xydy=0x2解：e dx+3y dx+2xydy=0e x dx+3x y dx+2x ydy=03所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=022即 d e ( x -2x+2)+ x y =0故方程的解为 e ( x -2x+2)+ x y =C38. 2xydx+( x +1)dy=02解：2xydx+ x dy+dy=0d( x y)+dy=0即 d(x y+y)=02故方程的解为 x y+y=C29、 dxydy2解：两边同除以 得 dxy2即， dxy
29、arctgd故方程的通解为 ctr10、 03dyxy解：方程可化为： dyx2即， yd故方程的通解为： 即：cyx21cyx2同时，y=0 也是方程的解。2711、 01xdyy解：方程可化为： dxy1即：dxyxd1故方程的通解为： cxln12、 02xdyy解：方程可化为： x2dxy故方程的通解为 ： 即：xcxcy13、 02xdyx解：这里 ，NM,xNyM方程有积分因子xy1edx1两边乘以 得：方程 是恰当方程022ydx故方程的通解为： cdyx 22cyx3即： 2314、 0cossinco dyxdyxyx解：这里 NM,i因为 yxyxNysincos故方程的通
30、解为：28即：cdyxyxyxdxyyx sincocossincoxsin15、 odyxydxy cssinsico解：这里 NMi,ixNM方程有积分因子： 两边乘以 得：1xNy yde方程 为恰当方程0cossinsincoxyedxey故通解为 ： cdyxyeNy sinci即： cxexeyy os1sin16、 05324dyd解：两边同乘以 得：yx352423 yxyx0534d故方程的通解为： cyx532417、试导出方程 具有形为 和 的积分因子的充要条件。0),(),(dYXNM)(xy)解：若方程具有 为积分因子，yx（ 是连续可导）y)()( )(yxNM)(
31、xyxNy令 )1(z29， .dzxzy，)(MNzdM，)()(yx， NMddzxdz)(方程有积分因子 的充要条件是： 是 的函数，)(yxNMyx此时，积分因子为 .dze)(令)2(yxz，dz dzxyz)(MxNydzMx)()( yNyMxd此时的积分因子为 dzyxMe)(18. 设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子.),(yxff0),(xf x证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,)(xQyPd此方程有积分因子 , 只与 有关 .dxPe)()(x充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 .)(30则 为恰当方程 ,0),()(dxyf
32、dyx从而 , ,)(xyf.)()()()( xQyPxQdyxf 其中 .于是方程可化为)(P 0)(dd即方程为一阶线性方程.20.设函数 f(u)，g(u)连续、可微且 f(u) g(u),，试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy) 1证：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以 u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则 =uf+uy +yf = + -yfyuffyu)(gfx)(fxy22)()(gfyxyxf= =2)(gfxy2)(fxf= 2)(f而 =ug+ux +xg = + - xgxugxu
33、)(gfy)(fxy22)()(gfyxxyf= =2)(gfxyff2)(f故 = ，所以 u是方程得一个积分因子u21假设方程（2.43）中得函数 M（x,y）N(x,y)满足关系 =xNyMNf(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分别为 x和 y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子 u=exp( + )dxf)(g(证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=031即证 u +M =u +NxNyuM)()(yxNuu( - )=N - M u( - )=Ne f(x) dygxf)()(-M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y)dygxf)()( yxN
34、dygxf)()(由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为： ;,oyxQyPdxn两边同乘以 ，令 ，nynz线性方程有积分因子：,11dxz，故原方程的积分因子为：dxPndxPnee，证毕！1123、设 是方程 的积分因子，从而求得可微函数 ，yx, 0,dyxNyxMyxU,使得 试证 也是方程 的积分因子的充要条件是.ddU0,dyxNyxM其中 是 的可微函数。,yxt证明：若 ，则uNuy yuy 又yMuNyMxx即 为 的一个积分因子。0,dyxx24、设 是方程 的两个积分因子，且 常数，求证y,210,dyx 21（任意常数）是方程 的通解。c2 ,NyM证明：因为 是方程 的积分因子21,xdx
