1、常微分方程习题2.1 1. xydxdy2= ,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,21 2=+=,0)1(.22=+ dyxdxy并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy+=+=+=+=+1ln11,11,001ln1,11ln0,11123 yxydxdyxy321+= 解：原式可化为： xxyxxyxyxyyxyccc
2、cxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111=+=+=+=+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4=+=+=+=+xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:5
3、3322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：也是方程的解。另
4、外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx+=+=+=+=+=+=+)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，122)(1yxdxdy+= 解 cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx+=+=+=+)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令
5、的解为解：方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU2122222,31,3131,31;012,0121212.132+=+=+=+=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt+=+=+=+代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令1518)14()1(22+= xyyxdxdy原方程的解。，是，两边积分得分离变量，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy+=+=+=+=+
6、=+=6)383232(941494141412)14(1818161222222162252622yxxyxydxdy+= 解：，则原方程化为，令uyxxyxydxdyxxyyxydxdy=+=+=323223323222322)(32(2)(126326322222+=+=xuxuxxuxudxdu，这是齐次方程，令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(1261263=+=+
7、=+=+=+=+=+=的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，所以，则17. yyyxxxyxdxdy+=3232332解：原方程化为123132;)123()132(2222222222+=+=yxyxdxdyyxyyxxdxdy令)1.(123132;,22+=uvuvdvduvxuy则 方程组，）；令，的解为（111101230132+=+=+uYvZuvuv则有+=+=+zyzydzdyyzyz23321023032）化为，从而方程（ 令)2.(232223322，所以，则有ttdzdtzttdzdtztdzd
8、tztdzdyzyt+=+=+= 当是原方程的解或的解。得，是方程时，即222222)2(1022 xyxytt =当cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022 +=+=+两边积分的时，分离变量得 另外 cxyxyxyxy522222222)2(2 +=+=原方程的解为，包含在其通解中，故，或 ，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=4ln14224
9、1)22(1dxduuxy(2) 0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。0y,c2即,c2两边同时积分得：dxx12udu变量分离得：),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时，方程化为0sxy是原方程的解，当0y或0x当:(1)解程。故此方程为此方程为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得：ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明：因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx19. 已知f(x)=xxfxdtx
10、f0)(,0,1)(的一般表达式试求函数. 解：设f(x)=y, 则原方程化为=xydtxf01)( 两边求导得12yyy =cxyycxdyydxdxdyy+=+=21;121;1;233所以两边积分得代入把cxy+=21=xydtxf01)( xyccxccxcxdtctx21,02)2(;2210=+=+=+所以得20.求具有性质 x(t+s)=)()(1)()(sxtxsxtx+的函数x(t),已知x(0)存在。 解：令t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(xxx+=)0()0(1)0(2xxx若x(0) 0 得x2=-1矛盾。 所以x(0)=0. x(t)= )(1)(0()()
11、(1)(1)(lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx+=+=+) )(1)(0()(2txxdttdx+= dtxtxtdx)0()(1)(2=+两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42） 习题 2.2 求下列方程的解 1dxdy= xy sin+ 解： y=e dx(xsin e dxcdx+ ) =ex-21ex( xx cossin + )+c =c ex-21( xx cossin + )是原方程的解。 2dtdx+
12、3x=et2为解：原方程可化 ：dtdx=-3x+et2所以：x=e dt3(et2e dt3cdt + ) =et3(51et5+c) =c et3+51et2是原方程的解。 3dtds=-s tcos +21t2sin 解：s=e tdtcos( t2sin21e dtdt3c+ ) =etsin(+cdttettsincossin ) = etsin( cetett+sinsinsin ) = 1sinsin+tcet是原方程的解。 4dxdynxxeynx= ， n 为数常. 为解：原方程可化 ：dxdynxxeynx+= )( cdxexeeydxxnnxdxxn+=)( cexxn
13、+= 是原方程的解. 5dxdy+ 1212yxx=0 为解：原方程可化 ：dxdy=- 1212+yxx=dxxxey212( cdxedxxx+221) )21(ln2+=xe )(1ln2+cdxexx= )1(12xcex + 是原方程的解. 6 dxdy234xyxx += 解：dxdy234xyxx += =23yx+xy令xyu= 则 uxy = dxdy=udxdux+ 因此：dxduxu+ =2ux21udxdu= dxduu =2cxu +=331cxxu +=33（*） 将xyu= 带 入 （*）中 得：3433 cxxy = 是原方程的解. 3332()21()227.
14、 ( 1)12(1)12() , () ( 1)1(1)()1(1)dxPxdxxPxdxdy yxdx xdy yxdx xPx Qx xxeexeQxdxcx+=+=+=+=+P(x)dx232解：方程的通解为：y=e=(x+1)( *(x+1)dx+c)=(x+1)( (x+23221(1)()211,()()dyyxcdy ydx x ydxxydyyyQy yyeyQydy c+=+=+2243P(y)dyP(y)dy P(y)dy1)dx+c) =(x+1)即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。8. =x+y解：则P(y)=e方程的通解为：x=e e2331*)22ydy
15、 cyycyy+=y(=即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。()() ()19. ,1),()()01adxPxdxaxPxdx Pxdxaady ay xadx x xaxPx QxxxeexeeQxdxcaa+=+=+=为常数解：（方程的通解为： y=1 x+1=x ( dx+c) xx当 时，方程的通解为y=x+ln/x/+c 当 时，方程01aaaa的通解为y=cx+xln/x/-1当 ， 时，方程的通解为x1y=cx + - 1-3331()() ()310.11() , ()1()(* )dxPxdxxPxdx Pxdxdyxyxdxdyyxdx xPx Qx x
16、xeexeeQxdxcxxdxccxcx+= += =+33解：方程的通解为： y=1=xx=4x方程的通解为： y=4()() ()223333233232332311.2( )2( )() 2, () 2()(2)px xdxxpx pxxdyxy x ydxxy x ydxxy xydxxy xdxyzdzxz xdxPx xQx xedxe ee dx e dxQ x dx cex+= += += += +=+23-2xdy解：两边除以ydydy令方程的通解为：z= =e222)11) 1, 0xxdx cceyce y+= =22=x故方程的通解为： (x 且 也是方程的解。2221
17、2111() ()222ln 112.( ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln2ln() , ()()ln 1()(Pxdx Pxdxdx dxxxcxyx ydxxdyxdy x yydx x xydy x yydx x xdy x ydx x xyzdz xzdx x xxPx Qxxxze e Qxdxcxze e dxc xx= +=+=+=解：两边除以令方程的通解为：222ln()ln 1424ln 1:( ) 1,424xdx cxxcxxcxyx +=+=方程的通解为 且y=0也是解。13 222()2122xydy y x dxdy y x ydx xy x y=这
18、是 n=-1 时 的伯努利方程。 两边 同除以1y， 212dy yydx x= 令2y z= 2dz dyydx dx= 22211dz y zdx x x= P(x)=2xQ(x)=-1 阶线由一 性方程的求解公式 22()dx dxxxze e dxc= +=2x xc+ 22y xxc=+ 14 23ydy e xdx x+= 两边 同乘以ye 22() 3yyydy e xeedx x+= 令yez= ydz dyedx dx= 2233dz z xz z zdx x x x+=+ 这 是n=2 时 的伯努利方程。 两边 同除以2z 22131dzzdx xz x=+ 令1Tz= 2
19、1dT dzdx z dx= 231dT Tdx x x=+ P（x）=3xQ(x)=21x阶线由一 性方程的求解公式 3321()dx dxxxTe e dxcx=+=321()2x xc+ =1312x cx+ 131()12zxcx+= 131()12yexcx+= 2312yyx ecex+= 2312yx xe c+= 15 331dydx xy x y=+33dxyxyxdy=+ 这 是n=3 时 的伯努利方程。 两边 同除以3x 3321 dx yyxdy x= + 令2x z= 32dz dxxdy dy= 3222dz yydy x= =322yzy P(y)=-2y Q(y
20、)=32y 阶线由一 性方程的求解公式 223(2 )ydy ydyze ye dyc= +=223(2 )yyeyedyc+=221yyce+ 222(1 )1yxy ce+ = 22222(1 )yyyx ey ce e+ = 2222 2(1 )yexxycx+ = 16 y=xe +0()xytdt()xdyeyxdx=+ xdyyedx=+ P(x)=1 Q(x)=xe 阶线由一 性方程的求解公式 11()dx dxxye ee dxc=+= ()xxxeeedxc+= ()xexc+ 0() ()xxxexc e excdx+=+ +c=1 y= ()xexc+ 17 设数函 (t
21、) 于 t+ 连续上 ， (0) 满关存在且 足 系式(t+s)=(t)(s) 试数求此函 。 令 t=s=0 得 (0+0)=(0)(0) 即 (0)=2(0) 故 (0) 0 = 或 (0) 1 = （1） 当 (0) 0 = 时 () ( 0) () (0)tt t = += 即 () 0t = (t,+) (2) 当 (0) 1 = 时 0()()()limttt ttt +=0() ( ) ()limttt tt =0()( ( ) 1)limtttt =0(0)(0)()limtttt +=(0) ( )t 于是(0) ( )dtdt = 变 量分离得(0)ddt= 积 分 (0)
22、tce = 由于 (0) 1 = ，即 t=0 时 1 = 1=0ce c=1 故(0)()tte = 20.试证 ： （1 阶齐线）一 非 性方程（2 .28 两 为应齐线）的任 解之差必 相 的 性方程（2.3）之解； （2） 若 ()y yx= 是 （2.3） 的非零解， 而 ()y yx=是 （2.28 则） 的解， 方程 （2.28）为的通解可表 () ()y cy x y x=+，其中 c为数任意常 . （3）方程（2.3 数两）任一解的常 倍或任 解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证 明： () ()dyPxy Qxdx=+ （2.28） ()dyPxydx= （2.3）
23、（1） 设1y ，2y 是（2.28 两个）的任意 解 则 11() ()dyPxy Qxdx=+ （1） 22() ()dyPxy Qxdx=+ （2） （1）-（2）得 ()1212()( )dy yPx y ydx= 即12y yy= 满是 足方程（2.3） 题所以，命 成立。 （2） 题由 意得： ()()dy xPxydx= （3） ()() () ()dyxPxyx Qxdx=+（4） 1 证）先 y cy y=+是（2.28 个）的一 解。 于是 () ()34c+ 得 () () ()cdy d ycP x y P x y Q xdx dx+= + +()()( ) ()dcy
24、 yPx cy y Qxdx+=+故 y cy y=+是（2.28 个）的一 解。 2 现证） 方程（4 写）的任一解都可 成 cy y+的形式 设1y 是(2.28) 个的一 解 则 11() ()dyPxy Qxdx=+ （4） 于是 （4）-（4）得 11()()( )dy yPx y ydx=从 而 ()1Pxdxy yce cy= =即 1y ycy=+题所以，命 成立。 （3） 设3y ，4y 是（2.3 两个）的任意 解 则 33()dyPxydx= （5） 44()dyPxydx= （6） 于是（5） c 得 33()cdycP x ydx= 即 33()()( )dcyPx
25、cydx= 其中 c为数任意常 也就是3y cy= 满 足方程（2.3） （5） （6）得 3 434() ()dy dyPxy Pxydx dx= 即 3434()()( )dy yPx y ydx= 也就是34y yy=满 足方程（2.3） 题所以命 成立。 21.试别 质线满 并建立分 具有下列性 的曲 所 足的微分方程 求解。 （5） 线线纵横标曲 上任一点的切 的 截距等于切点 坐 的平方； （6） 线曲上任 线纵 横标纵标 项一点的切 的 截距是切 点坐和坐 的等差中 ； 解： 设 (, )p xy为线 则过曲 上的任一点， p 线线为点曲 的切 方程 ( )YyyXx= 从 线与
26、两 标轴 标为而此切 坐 的交点坐 (,0),(0,)yx yxyy 即 横为截距 yxy ， 纵为截距 y xy 。 题由 意得： （5） 2y xy x = 变为方程形 2dyx yxdx= 1dyyxdx x= 于是 11()( ) )dx dxxxye xe dxc= +ln ln( ) )xxexedxc= +1( ) )x xxdxc= +1( ) )x xdxcx= +i ()x xc=+ 2x cx= + 为所以，方程的通解2y xcx= + 。 （6） 2x yyxy+= 变为方程 形 22dy y xxdx= 1122dyydx x= 于是 11()221( ) )2dx
27、dxxxy eedxc= +11ln ln221( ) )2xxeedxc= +11221( ) )2x xdxc= +11221( ) )2x xdxc= +i 1122()x xc= + 12x cx= + 为所以，方程的通解12yxcx= + 。 22求解下列方程。 （1） 0)1(2=+ xyyx 解：111122=xyxxyy )11(12122+=cexeydxxxdxxx= /1/111/1/2122212cdxxxx += /1/1/232212cxdxx +=c xx + /1/2（2） 3sin cos sin 0yxxy x = 2sinsin cos cosdy y x
28、dx x x x=+ P(x)=1sin cosx xQ(x)=2sincosxx阶线由一 性方程的求解公式 112sin cos sin cossin()cosdx dxxx xxxy eecx=+=sin(sin )cosxxdx cx+=sin(cos )cosxx cx+ = sintgxc x 习题 2.3 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. 0)2()(2=+ dyyxdxyx 解： 1=yM，xN=1 . 则xNyM=所以此方程是恰当方程。 凑微分，0)(22=+ xdyydxydydxx 得 ：Cyxyx =+23312 0)4()3(2= dyxydxxy 解
29、： 1=yM，1=xN. 则xNyM=. 所以此方程为恰当方程。 凑微分，0432=+ ydydxxxdyydx 得 Cyxyx =+232 3 0)(11)(2222=+dyyxxydxxyxy解： 3422)(2)()1)(2)(2yxxyyxyxyyxyyM=3422)(2)()(2)(2yxxyyxyxxyxxxN=则yNxM=. 因此此方程是恰当方程。 xyxyxu 1)(22=（1） 22)(1yxxyyu=（2） 对（1）做x的积分，则)(1)(22ydxxdxyxyu += yxy2)(ln yx + （3） 对（3）做y的积分，则dyydyxyyxyyu )()(2)()1(
30、22+=dyydyxyxy )()(222+=22)(1yxxy 则11)(21)(2)(1)(2222222=+=yyxyxyxyyxxyyyxxydyydyydyyy =ln)11()( yxxyxyyxyxyyxyyyxyxyu=+=+= lnlnlnln222故此方程的通解为Cyxxyxy=+ln 4、 0)2(3)23(22232=+ dyyyxdxxxy 解： xyyM12=，xyxN12=. xNyM=. 则此方程为恰当方程。 凑微分，036462232=+ dyyydyxdxxdxxy 0)()()(33422=+ xdxdyxd 得 ：Cyyxx =+32243 5.(y1s
31、inyx-2xycosxy+1)dx+(x1cosxy-2yxsinyx+21y)dy=0 解： M=y1sinyx-2xycosxy+1 N=x1cosxy-2yxsinyx+21yyM=-21ysinyx-3yxcosyx-21xcosxy+3xysinxyxN=-21ysinyx-3yxcosyx-21xcosxy+3xysinxy所以，yM=xN，故原方程为恰当方程 因为y1sinyxdx-2xycosxydx+dx+x1cosxydy-2yxsinyxdy+21ydy=0 d(-cosyx)+d (sinxy)+dx+d(-y1)=0 所以，d(sinxy-cosyx+x -y1)=
32、0 故所求的解为sinxy-cosyx+x -y1=C 求下列方程的解： 62x(y2xe -1)dx+2xe dy=0 解：yM= 2x2xe , xN=2x2xe 所以，yM=xN，故原方程为恰当方程 又2xy2xe dx-2xdx+2xe dy=0 所以，d(y2xe -x2)=0 故所求的解为y2xe -x2=C 7.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解：exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0 所以，d ex( x2-2x+2)+d( x3y2)=0 即d ex( x2-2x+2)+ x3y2=0 故方程的解为ex( x2-2x+2)+
33、 x3y2=C 8. 2xydx+( x2+1)dy=0 解：2xydx+ x2dy+dy=0 d( x2y)+dy=0 即d(x2y+y)=0 故方程的解为x2y+y=C 9、( )dxyxxdyydx22+= 解：两边同除以 22yx + 得dxyxxdyydx=+22即，dxyxarctgd =故方程的通解为cxyxtg +=arg 10、( ) 03=+ dyyxydx 解：方程可化为：ydyyxdyydx=2即， ydyyxd =故方程的通解为：cyyx+=221即：( )cyyx +=22 同时，y=0也是方程的解。 11、() 01 =+ xdydxxyy 解：方程可化为：( )
34、dxxyxdyydx +=+ 1 ()( )dxxyxyd += 1 即：( )dxxyxyd=+1故方程的通解为：cxxy +=+1ln 12、( ) 02= xdydxxy 解：方程可化为：dxxxdyydx=2dxxyd = 故方程的通解为 ：xcxy= 即：( )xcxy = 13、() 02 =+ xdydxyx 解：这里xNyxM =+= ,2 ，xNyMxNxNyM1=方程有积分因子xedxx=1 两边乘以得：方程() 022=+ dyxdxyxx是恰当方程 故方程的通解为：() ()cdydxxyxyxdxxyx =+22222cyxx=+333即：cyxx =+233 14、
35、()()( ) 0cossincos =+ dyyxxdxyxyxx 解：这里()( ) ( )yxxNyxyxxM +=+= cos,sincos 因为() ()yxxyxxNyM+=sincos 故方程的通解为： ()()() ()()cdydxyxyxxyyxxdxyxyxx =+sincoscossincos即：()cyxx =+sin 15、()()odyxxxydxxxxy =+ cossinsincos 解：这里xxxyNxxxyM cossin,sincos += xNyM1=MxNyM方程有积分因子：ydyee = 两边乘以得： 方程()( ) 0cossinsincos =
36、+ dyxxxyedxxxxyeyy为恰当方程 故通解为 ：() ()cdydxxxxyeyNdxxxxyeyy=+sincossincos 即：( ) cxeyxeyy=+ cos1sin 16、()()053243=+ xdyydxyxdyydxx 解：两边同乘以yx2得： ( ) ( ) 05324352423=+ ydyxdxyxydyxdxyx ( ) ( ) 05324=+ yxdyxd 故方程的通解为：cyxyx =+532417、试导出方程0),(),( =+ dyYXNdxYXM具有形为)(xy和)( yx+的积分因子的充要条件。 解：若方程具有)( yx+为积分因子， xN
37、yM= )()( （)( yx+是连续可导） xNxNyMyM+=+)(xNyMxNyM+=)1( 令 yxz += dzdxzdzdx=，dzdy=. )(yMxNdzdNdzdM= ， )()(yMxNdzdNM= ， NMyMxNd=， dzyxdz )( += 方程有积分因子)( yx+的充要条件是：NMyMxN是yx+的函数， 此时，积分因子为=+dzzeyx)()( . )2( 令yxz = dzdyxzdzdx=，dzdxyzdzdy=)(yMxNdzdNydzdMx= )()(yMxNdzdNyMx= NyMxyMxNd=此时的积分因子为=dzNyMxyMxNexy)( 18.
38、 设),( yxf及yf连续,试证方程0),( = dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子. 证:必要性 若该方程为线性方程,则有)()( xQyxPdxdy+= , 此方程有积分因子= dxxPex)()( , )(x只与x有关 . 充分性 若该方程有只与x有关的积分因子)(x . 则0),()()( = dxyxfxdyx 为恰当方程 , 从而dxxdyyxfx )(),()( =,)()(xxyf=, )()()()()()()()(xQyxPxQyxxxQdyxxf +=+=+=. 其中)()()(xxxP= .于是方程可化为0)()( =+ dxxQyxPdy
39、即方程为一阶线性方程. 20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u) g(u),，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xyf(xy)-g(xy)1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则yuyf=uf+uyyf+yfyu=)( gfxyf+)( gfxyyfy-yf222)()(gfyxygxyyfxygfx+=2)( gfxyyfgyygyf=2)( gfxyxyxyfgyxyxygf=2)( gfxyfgxygf而xuxg=ug+uxxg+xgxu=)( gfxyg+)( gfxyxg
40、x- xg222)()(gfyxxgxyxfxygfy+=2)( gfxyxxyxyfxgxxyxygxf=2)( gfxyfgxygf故yuyf=xuxg，所以u是方程得一个积分因子 21假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系xNyM= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43） 有积分因子u=exp(dxxf )( +dyyg )( ) 证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证xuNyuM= )()( uyM+Myu=uxN+Nxu u(yM-xN)=Nxu- Myu u(yM-xN)=Ne+ dyygdxxf )()(f(x) -M e+ dyygdxxf )()(g(y) u(yM-xN)=e+ dyygdxxf )()(Nf(x)-Mg(y) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为：() () ;, oyyxQyxPdxdyn+= 两边同乘以ny，令nyz=， ( )() ( )(),11 xQnzxPndxdz+=线性方程有积分因子： ()() ()()dxxPndxxPnee= 11，故原方程的积分因子为：
