1、 第一章 初等积分法 第 1讲 微分方程与解 第 2讲 变量可分离方程 第 3讲 齐次微分方程 第 4讲 一阶线性微分方程 第 5讲 全微分方程与积分因子 第 6讲 一阶隐式微分方程 第 7讲 几种可降阶的高阶方程 第 8讲 应用举例 第二章 基本定理 第 09讲 解的存在性与唯一性定理 第 10讲 解的延展 第 11讲 奇解与包络 第 12讲 解对初值的连续依赖性 第三章 线性微分方程组 第 13 讲 一阶微分方程组及 一阶线性微分方程组的一般概念 第 14 讲 线性齐次微分方程组的一般理论 第 15 讲 线性非齐次微分方程组的一般理论 常系数线性微分方程组的解法 (单实根） 第 16 讲
2、常系数线性微分方程组的解法 (复、重根 ) 第四章 线性微分方程 第 17 讲 n 阶线性微分方程的一般理论 第 18 讲 n 阶常系数线性齐次方程的解法 第 19 讲 n 阶常系数线性非齐次方程的解法 第 20 讲 二阶常系数线性方程与振动现象 第五章 定性和稳定性理论简介 第 21讲 稳定性概念及李雅普诺夫第二方法 第 22 讲 平面自治系统的基本概念 平面定性理论简介 (1) 第 23 讲 平面定性理论简介 (2) 第 1 讲 微分方程与解 微分方程 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题 . 300 多年前，由牛顿 (Newton,1642-1727)和莱布尼兹 (Lei
3、bniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关 .这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求 .一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程 .然而，运动物体 (变量 )与它的瞬时变化率 (导数 )之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程 .一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然 .下面的例子，将会 使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言 .
4、 例 1 物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t=0 时，在距地面高度为 H 处以初始速度 v(0) = v0垂直地面下落，求 ss 此物体下落时距离与时间的关系 . 解 如 图 1-1 建立坐标系，设为 t 时刻物体的位置坐标 .于是物体下落的速度为 dsv dt 加速度为 质量为 m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力 mg 和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比 .于是根据牛顿第二定律 F = ma (力 =质量 加速度 ) 可以列出方程 (= ） (1.1) 其中 k 0 为阻尼系数， g 是重力加速度 . (1.1)式就是一个微分方程，这里 t 是自变
5、量， x 是未知函数， 是未知函数对 t 导数 .现在，我们还不会求解方程 (1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此时方程 (1.1)可化为 (1.2) 将上式对 t 积分两次得 (1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程 (1.2)的解 . 一般说来， 微分方程 就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式 .如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为 常微分方程 ；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为 偏微分方程 .本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程 或方程 . 例如下面的方程都是常微分方程 （
6、 1.4） （ 1.5） (= ) （ 1.6） (= ) （ 1.7） 在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为 方程的阶 .这样，一阶 常微分方程的一般形式可表为 （ 1.8） 如果在 (1.8)中能将 y解出，则得到方程 （ 1.9） 或 （ 1.10） (1.8)称为一阶隐式方程 ,(1.9)称为一阶显式方程， (1.10)称为微分形式的一阶方程 . n 阶隐式方程 的一般形式为 （ 1.11） n 阶显式方程 的一般形式为 (1.12) 在方程 (1.11)中，如果左端函数 F 对未知函数 y 和它的各阶导数 y,y, y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则
7、称它为非线性常微分方程 .这样，一个以 y为未知函数，以 x 为自变量的 n 阶线性微分方程具有如下形式： （ 1.13） 显然，方程 (1.4)是一阶线性方程；方程 (1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程 (1.7)是二阶非线性方程 . 通解与特解 微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下 . 定义 1. 设函数 在区间 I 上连续，且有直到 n 阶的导数 .如果把代入方程 (1.11)，得到在区间 I 上关于 x 的恒等式， 则称 为方程 (1.11)在区间 I 上的一个解 . 这样，从定义 1.1 可以直接验证： 1. 函数 y = x2 是方程 (1.4)在
8、区间 (-， +)上的解，其中 C 是任意的常数 . 2. 函数 是方程 (1.5)在区间（ -1,+1）上的解，其中 C 是任意常数 .又方程 (1.5)有两个明显的常数解 y =，这两个解不包含在上述解中 . 3. 函数 是方程 (1.6)在区间 (-， +)上的解，其中 和 是独立的任意常数 . 4. 函数 是方程 ( . )在区间 (-， +)上的解，其中 和 是独立的任意常数 . 这里，我们仅验证 3，其余留给读者完成 .事实上，在 (-， +)上有 所以在（ ， ）上有 从而该函数是方程 (1.6)的解 . 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数
9、，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数 .我们把 n阶常微分方程 (1.11) 的含有 n 个 独立 的任 意 常 数 C1 ， C2 ， ， Cn 的解，称为该方程的 通解 ，如果方程 (1.11)的解 不包含任意常数，则称它为 特解 .由隐式表出的通解称 为 通积分 ，而由隐式表出的特解称为 特积分 . 由上面的定义，不难看出，函数 和分别是方程 (1.4)， (1.5)和 (1.6)的通解，函数 是方程 (1.7)的通积分，而函数 y =是方程 (1.7)的特解 .通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过 程，需要下面介绍的 初始值条件 ，或简称
10、 初值条件 . 初值问题 例 1 中的函数 (1.3)显然是方程 (1.2)的通解，由于 和 是两个 任意常数，这表明方程 (1.2)有无数个解，解的图像见下面的图 a 和图 b 所示 . 图 a（ C1固定， C2 0） 图 b（ C1=0,C2 0） 而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹 .产生这种多解性的原因是因为方程 (1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时 t 所满足的关系 式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解 (1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律 .显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹
11、.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例 1 中给出的两个初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入 到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14) 它描述了初始高度为 H，初始速度为 v0的自由落体运动规律 . 求微分方程满足初值条件的解的问题称为 初值问题 . 于是我们称 (1.14)是初值问题 的解 . 对于一个 n 阶方程，初值条件的一般提法是 (1.15) 其中 是自变量的某个取定值，而 是相应的未知函数及导数的给定值 .方程 (1.12)的初值问题常记为 (1.16) 初值问题也常称为 柯 西 （ Cauchy） 问题 . 对于一阶方程，若已求出通解
12、 ，只要把初值条件 代入通解中，得到方程 从中解出 C，设为 ，代入通解，即得 满足初值条件的解 . 对于 n 阶方程，若已求出通解 后，代入初值条件 (1.15)，得到 n 个方程式 (1.17) 如果能从 (1.17)式中确定出 ，代回通解，即得所求初值问题的. 例 2 求方程 的满足初值条件 的解 . 解 方程通解为 求导数后得 将初值条件代入，得到方程组 解出 和 得 故所求特解为 积分曲线 为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象 .一阶方程 (1.9)的一个特解的图象是 xoy 平面上的一条曲线，称为方程 (1.9)的 积分曲线 ，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为 积分曲
13、线族 .例如，方程 (1.4)的通解+C 是 xoy 平面上的一族抛物曲线 .而 是过点 (0， 0)的一条积分曲线 .以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别 .对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第 4 章详细讨论 . 最后，我们要指出，本书中按习惯用 分别代表 ， 而 分别代表 本 本节要点： 1常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程 . 2常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分 . 3初值问题及初值问题解的求法 . 4解的几何意义，积分曲线 . 作业： 练习 1
14、.1 1, 2. 1指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 2验证给出函数是否为相应方程的解 （ 1） ， ，（ C 为任意常数） （ 2） ， ，（ C 为任意常数） （ 3） ， （ 4） ， 答案： 1（ 1）一阶，非线性 （ 2）一阶，非线性 （ 3）四阶，线性 （ 4）三阶，非线性 （ 5）二阶，非线性 （ 6）一阶，非线性 （ 1）是 （ 2）是 （ 3）不是 （ 4）是 什么是 1什 第 2 讲 变量可分离方程 方程？ 1什么是变量可分离方程？ 1什么是 21什么是变量可分离方程？ 什 形如 1 （ 1.18） 或 （ 1
15、.19） 的方程，称为 变量可分离方程 .我们分别称 (1.18)、 (1.19)为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程 方程 (1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含 x的函数，另一个因式是只含 y 的函数而方程 (1.19)是 (1.18)的微分形式例如，方程 都是变量可分离方程而方程 都不是变量可分离方程 1.2.1 显式变量可分离方程的解法 . 1. 在方程 (1.18)中，假设 g(y)是常数，不妨设 g(y)=1.此时方程 (1.18)变为 (1.20) 设 f(x)在区间 (a,b)上连续，那么，求方程 (1.20)的解就成为求 f(x)的原函
16、数 (不定积分 )的问题 .于是由积分上限所确定的函数 (1.21) 就是方程 (1.21)的通解，其中 C 是一个任意常数， 是一个固定数，是自变量 . 2.假设 g(y)不是常数，仍设 f(x)在区间 (a,b)上连续，而 g(y)在区间 上连续 . 若 是方程 (1.18)的任意一个解，且满足 ，则由解的定义，有恒等式 (1.22) 假设 g(y)0，于是可用 分离变量法 把方程写成 (1.23) 将上式两端积分，得到恒等式 (1.24) 上面的恒等式表明，当 g(y)0 时，方程 (1.18)的任意一个解 必定满足下面的 隐函数方程 (1.25) 反之，若 是隐函数方程 (1.25)的
17、解，则有恒等式 (1.24)成立，由 (1.24)的两边对 x 求导数，就推 出 (1.23)成立，从而 (1.22)成立，这就表明了隐函数方程 (1.25)的解也是微分方程 (1.18)的解 . 在具体求解方程时，往往把 (1.24)写成不定积分形式 (1.26) 由上面的证明可知，当 g(y)0 时，微分方程 (1.18)与隐函数方程 (1.26)是同解方程，即若由 (1.26)解出 ，则它是 (1.18)的通解，由于 (1.26)是通解的隐式表达式，所以 (1.26)亦称为方程 (1.18)的 通积分 .在求解过程中，对于通积分 (1.26)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来，但
18、是，并不勉强从其中求出解的显式表达式 .如果积分不能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程 (1.18)已经解出来了，因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了 . 3. 若存在 ，使 ，则易见 是方程 (1.18)的一个解，这样的解称为常数解 . 例 1 求解方程 解 当 时，分离变量，方程化为 两端积分，即得通积分 或 解出 ，得方程通解 另外， 也是方程的解 .所以在通解 中，任意常数 C 可以取零 . 例 2 求解方程 解 当 时，方程的通积分为 即 解出 y，得到通解 另外，方程还有常数解 ，它们不包含在上述通解中 . 例 3 求方程 的满足初始条件
19、 及 的解 . 解 当 时，方程通积分为 即 因此 解出通解为 为求满足初始条件 的解，以 代入上解，应有 可解得 .代入通解，即得满足 的解 另外，易知 为方程的解 . 解 显然满足初始条件 ，故它是所求的第二个解 . 另外，通解公式还能帮助我们得 到积分曲线族的图象。例如，在例 3 的通解中，当C 为负数时，通解所对应的积分曲线位于带形区域 之中；而当 C 为正数时，它确定了两条积分曲线，其中一条定义于 ,它位于半平面 上；另一条 定义于 ，它位于半平面 上 .图 1-2 描绘了所给方程的积分曲线的分布状况 . 图 1-2 1.2.2 微分形式变量可分离方程的解法 方程 是变量可分离方程的
20、微分形式表达式 .这时， x 和 y 在方 程中的地位是 “平等 ”的，即 x 与 y 都可以被认为是自变量或函数 . 在求常数解时，若 ，则 为方程 (1.19)的解 .同样，若 ，则 也是方程 (1.19)的解 . 当 时，用它除方程 (1.19)两端，分离变量，得 上式两端同时积分，得到方程 (1.19)的通积分 例 4 求解方程 解 首先，易见 ， 为方程的解 .其次，当 时，分离变量得 积分，得方程的通积分 或 本节要点： 1变量可分离方程的特征 2分离变量法的原理：微分方程（ 1.18）与分离变量后的积分方程（ 1.26）当 时是同解方程 3变量可分离方程一定存在常数解 , 并且满
21、足 作业： 练习 1.2 1指出下列方程的 阶数，是否是线性方程： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 2求下列初值问题解： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 答案 1. (1) (2) (3) (4) 2. (1) (2) (3) (4) 第 3讲 齐次微分方程 1什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法 .有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离的方程 . 如果一阶显式方程 ( , )dy f x ydx （ 1.9） 的右端函数 ( , )f xy 可以改写为 yx 的函数 ()ygx ，
22、那么称方程 (1.9)为一阶齐次微分方程 . 例如，方程 2222sin,c o syxyd y x y d y xyd x x y d x xyx22( ) 0x y d x xyd y ， ln lndy xydx 可以分别改写成 所以它们都是一阶齐次方程因此，一阶齐次微分方程可以写为 (1.27) 1.3.1 齐次方程的解法 方程 (1.27)的特点是它的右端是一个以 为变元的函数，经过如下的变量变换，它能化为变量可分离方程 . 令 则有 代入方程 (1.27)得 （ 1.28） 方程 (1.28)是一个 变量可分离方程，当 时，分离变量并积分，得到它的通积分 （ 1.29） 或 即 其
23、中 以 代入，得到原方程 (1.27)的通积分 若存在常数 ，使 ，则 ，是 (1.28)的解，由 ，得 是原方程 (1.27)的解 . 例 1 求解方程 解 将方程化成 令 代入上式得 即 易于看出， 为这方程的一个解，从而 为原方程的一个解 . 当 时，分离变量得， 两端积分后得 或 将 u 换成 ，并解出 y，便得到原方程的通解 在一般情况下，如何判断方程 (1.9)是齐次方程呢 ? 这相当于考虑，什么样的二元函数 能化成形状为 的函数 .下面我们说明零次齐次函数具有此性质 . 所谓 对于变元 x 和 y 是零次齐次式，是指对于任 意 的常数，有恒等式 因此，令 ，则有 因此，所谓齐次方
24、程，实际上就是方程 (1.9)的右端函数 是一个关于变元 x，y 的零次齐次式 . 如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程 . 1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程 .其中， 显然，方程 (1.30)的右端函数，对于 x， y 并不是零次齐次函数，然而函数 （ 1.31） 则为零次齐次函数 .事实上，我们有 下面我们将通过变量变换把 (1.30)中的 C1及 C2消去，将方程 (1.30)的右端函数化成 (1.31)的形式，从而把方程 (1.30)化成齐次方程 . 令 ( 为待定常数 )
25、则 代入 (1.30)得 选取 使得 (1.32) (1.32)是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关 . 如果 则 (1.32)有唯一组解，把 取为这组解，于是 (1.30)就化成齐次方程 求出这个方程解，并用变换 代回，即可得 (1.30)的解 . 上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移 .当 时，直线 与直线 相交于一 点，将二式联立求得交点 ( )，再作坐标平移，就把原点移到 ( ).又由于在坐标平移变换 下有 成立，这样 (1.30)就变成齐次方程了 . 如果 ，则 (1.32)没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时方程(1.30)也可化为变量可分离方程求解 .
26、实际上由 ，有 成立 .下面仅以 来讨论， (以 讨论相同 ). 1) ，此时 (1.30)为 令 ，则得到关于 z 的变量可分离方程 2) 中至多有一个为零 . 当 时，由 (1.33)必有 ，方程 (1.30)成为 这是一个变量可分离方程 . 当 时，由 (1.33)必有 ，方程 (1.30)成为 这也是一个变量可分离方程 . 3) 当 且 时，由 (1.33)有 于是 ，原方程 (1.30)成为 令 则 代入上面方程 ，得到一个关于 z 的方程 这也是一个变量可分离方程 . 例 2 求解方程 解 因为 方程组 有解 令 代入原方程，得到新方程 令 ，代入上式，又得到新方程 当 时，整理得
27、 积分得 即 或 以 , 代回，即得原方程的通积分 当 时，解得 ，还原后又得到原方程的两个解 和 本节要点： 1一阶显式方程 是齐次方程 右端函数 是一个零次齐次函数 2齐次方程解法的本质是，方程 （ 1.27） 通过变量替换 化为变量可分离方程求解 3方程（ 1.30）的解法是齐次方程解法的扩展，把一个不是齐次方程的方程，选通过变量替换化成齐次方程，再按齐次方程求解 作业 ： 练习 1.3 1.； 2. (1), (3). 1解下列方程 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解下列方程 (1) (2) 答案： 1.(1) (2) , (3) , (4) (5) (6) , 2.
28、(1) , (2) 1.4 一阶线性微分方程 本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型 . 一阶线性微分方程的形式是 （ 1.34） 如果 ，即 (1.35) 称为 一阶线性齐次方程 .如果 不恒为零，则称 (1.34)为 一阶线性 非齐次方程 . 1.4.1 一阶线性非齐次方程的通解 先考虑线性齐次方程 (1.35)，注意这里 “齐次 ”的含意与 1.3 节中的不同，这 里指的是在 (1.34)中不含 “自由项 ” ，即 .显然， (1.35)是 一个变量可分离方程，由 1.2 节易知它的通解是 (1.36) 下面使用常数变易法再求线性非齐次方程 (1.34)的解 .其想法是
29、：当 C 为常数时，函 数 (1.36)的导数，恰等于该函数乘上 - p(x),从而 (1.36)为齐次 方程 (1.35)的解 .现在要求非齐次方程 (1.34)的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于 .为此， 联系到乘积 导数的公式，可将 (1.36)中的常数 C 变易为 函数 C(x)，即令 (1.37) 为方程 (1.34)的解，其中 C(x)待定 .将 (1.37)代入 (1.34)，有 即 积分后得 把上式代入 (1.37)，得到 (1.34)的通解公式为 (1.38) 在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可 . 例 1 求解方程 (1.39) 解
30、 显然，这是一个 一阶线性非齐次方程 . 先求对应齐次方程 的通解为 由常数变易法，令 为方程 (1.39)的解，代入 (1.39)有 即 积分得 代回后得原方程 (1.39)的通解为 例 2 求解方程 解 显然这也是一个一阶线性非齐次方程 . 先解对应齐次方程 分离变量后再积分有 即 取指数后，得齐次通解 由常数变易法，令 为非齐次方程 (1.40)的解，代入后得 即 积分得 于是原方程 (1.40)的通解为 仔细看一下非齐次方程 (1.34)的通解公式 (1.38)，我们可以发现它由两 项组成 .第一 项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解 .因此有如下的结论： 线 性非齐次
31、方程 (1.34)的通解，等于它所对应的齐次方程 (1.35)的通解与非齐次 方程 (1.34)的一个特解之和 . 为了求解初值问题 常数变易法 可采用定积分形式 .即 (1.37)可取为 （ 1.41） 代入 (1.34)并化简，得 积分得 代入 (1.41)得到 将初值条件 代入上式，有 ，于是所求初值问题解为 (1.42) 或 (1.43) 例 3 设函数 在 上连续且有界，试证明：方程 的所有解均在 上有界 . 证 设 为方程的 任一解，它满足初始值条件 ， 于是，由公式 (1.43)，它可以表示为 我们只要证 在 上有界即可 .设 于是对 有 原题得证 . 1.4.2 伯努利 (Be
32、rnoulli)方程 形如 (1.44) 的方程，称为 伯努利方程 . 伯努利方程 (1.44)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性方程 . 在 (1.44)两端除以 ，得 (1.45) 为了化成线性方程，令 则 代入 (1.45)得 这样，就把 (1.44)化成以 z 为未知函数的线性方程了 . 例 4 求解方程 解 这是一个伯努利方程 .两端同乘以 2y，得 令 ，代入有 这已经是线性方程，它的解为 .于是，原方程的解为 本节要点： 1线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位 2由常数变易法求得
33、的通解表达式（ 1.38）或特解表达式（ 1.43）能帮助我们证明解的某些渐近性质 3伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程 作业： 练习 1.4, 1.(1),(3),(5),(7) 2.(2),(4) 3. 练习 1.4 1解下列方程： （ 1） （ 3） （ 5） （ 7） 2解下列伯努利方程 （ 2） （ 4） 3设函数 ， 在 上连续，且 ，（ a, b 为常数） 求证： 方程 的一切解在 上有界 答案： 1（ 1） （ 3） (5） （ 7） 2（ 2） ， (4） ， 3（略） 1.5 全微分方程及积分因子 1.5.1 全微分方 程 如果微分形式的一阶方程
34、 （ 1.10） 的左端恰好是一个二元函数 的全微分， 即 (1.46) 则称 (1.10)是全微分方程或恰当方程，而函数 称为微分式 (1.46)的原函数 . 例如方程 (1.47) 就是一个全微分方程 .因为它的左端恰是二元函数 的全微分 . 全微分方程如何求解呢 ? 先看一下方程 (1.47),由于它的左 端是二元函数 的全微分，从而方程可写成 若 是 (1.47)的解，应有恒等式 从而 （ 1.48） 由此解出 这说明，全微分方程 (1.47)的任一解包含在表达式 (1.48)中 . 一般地，有如下定理 定理 1.1 假如 是微分 (1.46)的一个原函数，则全微分方程 (1.10)的
35、通积分为 （ .49） 其中 C 为任意常数 . 证明 先证 (1.10)的任一解 均满足方程 (1.49). 因为 为 (1.10)的解，故有恒等式 因为 为 (1.10)的原函数，所以有 从而 于是 满足 (1.49). 再证明 (1.49)所确定的任意隐函数 均为 (1.10)的解 .因为 是由 (1.49)所确定的隐函数，所以存在常数 C， 使 将上式微分并应用 是 (1.46)的原函数的性质， 即有 从而 是方程 (1.10)的解，定理证毕 . 根据上述定理，为了求解全微分方程 (1.10)，只须求出它的一个原函数 ，就可以得到它的通积分 . 下面介绍两种求原函数的方法 . 1.求原
36、函数的直接观察法 在某些简单情形下，可以由观察方程 (1.10)直接 求出它的一个原函数，从而得到它的通积分 .这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式 . 例如 例 1 求解方程 解 直接观察方程的左端，有 从而方程的左端是一个全微分，原函数为 于是原方程的通积分即为 或 2求原函数的一般方法 . 定理 1.2 如果方程 (1.10)中的 ， 在矩形区域 上连续可微，则方程 (1.10)是全微分方程的充要条件是：在 R 上有 （ 1.50） 证明 必要性，设 (1.10)是全微分方程，则存在原函数 ，使得 所以 将以上二式分别对 y 和 x 求偏导数，得到 因为 M ， N 连续可微，所以 成立，即 (1.50)成立 . 充分性，设 (1.50)在区域 R 内成立，现在求一个二元函数 ，使它满足 即 由第一个等式，应有 其中 为 y 的任意可微函数，为了使 ，再满足 必须适当选取 ，使满足 由 参变量积分 的性质和条件 (1.50)，上式即为 参变量积分的分析性质 : 参变量积分 （ 1） ; 是参变量 若 及 在矩形
