不定积分习题讲解

1、第三讲 不定积分,邱小丽,办公室: 3-301A,Tel: 13587587664,高等数学竞赛辅导,一、原函数与不定积分,1. 原函数,定义: 设F(x)和 f (x)在某区间上有定义, 如果在该区间上任一点x都有,则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.,F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx,如果f(x)有一个原函数F(x),则F(x)+c也一定是其原函数.,2. 不定积分,定义: 函数f (x)为连续函数, 且F(x)f (x),则,二、基本积分公式,二、基本积分公式,三、求不定积分的基本方法,1. 分部积分法,设u(x)和v(x)可导,且不定积分 存在,则,也存在,并且,三、求不定积分的基本方法,2. 换元积分法,几种典。

2、. 定积分与不定积分的关系,一、积分上限函数 二、牛顿-莱布尼茨公式,如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区 间a,b内物体的位移s可以用定积分表示为,另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间a,b内物体的位移为s(b)s(a)， 所以又有,由于 ，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间a,b上的增量s(b)s(a).,一、积分上限函数,设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且对于给定的x ( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.。

3、不定积分基本公式表,当 x 0 时，,所以,综合以上两种情况，当 x 0 时，得,例 1 求不定积分,解,例 2 求不定积分.,解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，,(1),(2),得,例 3 求不定积分,解,法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，,即,二、不定积分的基本运算法则,法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况，,即,根据不定积分定义，。

4、 高等数学第四章不定积分复习题一.选择题1.下列分部积分法正确的是（ ）.A B vduxvduC D 2.函数 的不定积分是（ ）.xy1A B lnlC D 3.下列函数是 的原函数的是（ ）.cosA . B. iiC. D. x4 若 F(x)是 f(x)在某区间上的一个原函数，则以下说法正确的是（ ）.A. 任意函数都有原函数 B. f(x)仅有一个原函数C . f(x)有无数多个原函数 D . )()(xFdf5下列等式中，正确的是 （ ） A B ff cxfdfxC D xd6. = ( ). (下面 是任意常数)2xeCA. B. x2xeC. D. 2xexe7. 不定积分 =( ). (下面 C 都是任意常数.) 3sincoxdA. B. 412xC214xC. D. s。

5、1第四章 不定积分(A 层次)1 ； 2 ； 3 ；xdcosindx2121xd4 ； 5 ； 6 ；7i5xarctg27 ； 8 ； 9 ；arctgxd2 dlnosdxx345810 ； 11 ； 12 ；2831x2cex313 ； 14 ； 15 ；xdln21xeddex2116 ； 17 ； 18 ；3si arcsin3ln19 ； 20 ； 21 ；dxsin2co57dx21lxd5cosi22 ； 23 ； 24 ；xtgil x2arcos0artg225 ； 26 ； 27 ；d12 d2 dxtex22128 ； 29 ； 303xx xsinco。dex23sincosin(B 层次)1设 的一个原函数为 ，求 。xf xsindxf22 ； 3 ； 4 ；dex 2l d。

6、高等数学(C ),首先复习导数和微分公式,原函数,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,例,1.定义：,一、原函数概念,2.原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,3.原函数的个数,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,二、不定积分定义和几何意义,1。不定积分的定义：,例1 求,解,解,例2 求,练习,例3 设曲线通过点（0,1），且其上任一点处的切线斜率等于 ,求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点。

7、,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,6、第二类换元法,第二类换元公式,常用代换:,7、分部积分法,分部积分公式,8.选择u。

8、第4章 小结、习题课,一、基本概念与基本性质,二、基本公式,三、换元积分法与分部积分法,四、综合举例,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,基本概念、公式、方法关系图：,设 是定义在区间 内的已知函数如果存在可导函数 ，使对于任意的 ，都有,或,则(1)称 是函数 在 上的一个原函数,1.定义,一、基本概念与基本性质,的全体原函数 （ 为任意常数）,解：已知,则,(1),不定积分与微分运算互为逆运算，即,(2) 或 ,(1) 或 ；,性质 1,2.基本性质,( ).,性质 2,性质 3,。

9、不定积分习题一、主要内容1、原函数定义: 如果在区间 内，可导函数 的导函数为 ，即 ，都有I)(xF)(xfI或 ，那么函数 就称为 或)(xfF dfdF)(xf在区间 内原函数.dI原函数存在定理：如果函数 在区间 内连续，那么在区间 内存在可导函数 ，)(fII)(使 ，都有 .Ix)(xfF即：连续函数一定有原函数2、不定积分定义：在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数称为 在区间 内的不I)(xf )(xfI定积分，记为 dCFxf)()(函数 的原函数的图形称为 的积分曲线.)(xf(1) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(2) 不定积分的性质3、基本积分表4、直接积分法由。

10、不定积分练习题21sin)_xd一 、 选 择 题 、 填 空 题 ：、 （ 2(ln)_xefxfd、 若 是 的 原 函 数 ， 则 ：3sil)、2 224(ta)sec_;5(1,)6(),_;1()7, _18()arcsin,()x xef fxdyFxffbeddxf f、 ;9ln1,()_;0(),_;()()sini,;12(),()()()fxfbabfxABCDxfdxdfFfx、 cFc3()()()()()dAdfxfBfxfdxCDc、 下 列 各 式 中 正 确 的 是 ：(ln)14(),_1l()lnxffedxAcBcCcDxc、 设 则 ：15_()arcsin()arcsin()2arcsin(1)2(1)dxABxCxcDx、16, ,) ()() ()fbbfxCfDf fx、 若 在 上 的 某 原 函 数 为 零 ， 则 在 上 必 有 _的 。

11、,2,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,3,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,4,2、不定积分,(1) 定义,5,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,6,3、基本积分表,是常数),7,8,5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,9,常见类型:,10,6、第二类换元法,第二类换元公式,11,常用代换:,12,7、分部积。

12、不定积分,一、 原函数与不定积分的概念,F (x) 为 f (x) 的一个原函数.,。,（内容提要）,二、 基本积分公式,。,。,。,三、 常见凑微分,。,一般地：,。,四、第二类换元法,令,1. 被积函数含,令,。,2. 被积函数含,令,令,令,先配方，再作适当变换,(有时用倒代换,简单）。,五、有理函数真分式的积分:,分母在实数范围内因式分解,若分母含因式,若分母含既约因式,，则对应的部分因式为,，则对应的部分因式为,。,六. 分部积分公式,注：下列题型用分部积分法,；,；,；,；,；,；,。,不定积分,（典型例题）,例1,，求,解：,一、由 求,例2,在,上定义，在,。

13、习题课,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,三、典型例题（1）（2）（3）,积分法,原 函 数,选择u有效方法,基本积分表,第一换元法 第二换元法,直接积分法,分部积分法,不 定 积 分,几种特殊类型函数的积分,一、主要内容,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .,2. 换元。

14、不定积分习题课 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计 算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 一、知识网络 1 定 不 分 积 某些无理函数积分 三角函数有理式积分 有理函数积分 特殊函数的积分 查表法 分部积分法 第二换元积分法 凑微分法 第一换元积分法 换元积分法 直接积分法 计算。

15、,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,6、第二类换元法,第二类换元公式,常用代换:,7、分部积分法,分部积分公式,8.选择u。

16、习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1理解原函数与不定积分的概念。2掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。3掌握不定积分的积分方法。4会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲：一原函数与不定积分的概念1 原函数定义：在区间 上，若 （即 ） ，称函数I)(xfF dxfdF)(是函数 在区间 上的一个原函数。)(xF)(xf2 原函数存在的条件：若函数 在区间 上连续。则 在区间 上有原函)(xfI)(xfI数。3 不定积分：函数 在区间 上的所有原函数 称为 在区间 上)(fICF)()(fI的不定积分，记作 .。

17、一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,注意常见的换元积分类型, 如掌握P205P206 公式(16) (24)的推导方法,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,多次分部积分的 规 律,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,原式,分析:,例3. 求,解 :,原式,分部积分,例4. 设,解:,令,求积分,即,而,。

18、习 题 课,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,1、原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、积分法：三法一表,4、基本积分表（24个公式）,5、直接积分法（分项积分法）,6、第一类换元法（凑微分法）,凑微分法的主要思想：,将不同的部分中间变量与积分变量变成相同，使之能套用基本积分公式。,此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合。

19、第四章 不 定 积 分,第一节 不定积分的概念和性质,定义1 设函数F(x)与 f (x)都在区间I上有定义, 如果对于任意的xI 都有F (x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数.例如x3是 3x2在整个区间上的函数, -cosx 是 sinx的原函数,一、原函数与不定积分的概念,下面的问题是已知原函数的存在,怎样求?,定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在原函数F(x), 即对于任意的xI，都有 F (x) = f (x).,例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续,它们都有原函数。,定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(。

20、1,2,第四章 不 定 积 分 习 题 课,1、主要内容框图； 2、不定积分计算小结； 3、例题选解.,3,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,1、主要内容框图,4,(1). 补充公式,2、不定积分计算小结,5,(2). 分项法(积分的线性性质),化所给不定积分为常见的积分类型之和,复习题1 求,观察与分析:,可以用公式,6,(3). 第一类换元法(凑微分法),关键点:如何确定中间变量 u=j(x)?,设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有,凑微分:,换元:,7,复习题2 求下列不定积分:,从被积函数。