不定积分

1、不定积分习题课 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计 算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 一、知识网络 1 定 不 分 积 某些无理函数积分 三角函数有理式积分 有理函数积分 特殊函数的积分 查表法 分部积分法 第二换元积分法 凑微分法 第一换元积分法 换元积分法 直接积分法 计算。

2、1,归纳,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,举例,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,。

3、 本科生毕业论文设计 不定积分的计算方法及拓展 作者姓名 指导教师 所在学院 数学与信息科学学院 专业 系 数学与应用数学 班级 届 201X届数学X班 二 一五年 四月二十四日 目 录 中文摘要 关键字 1 1 不定积分的计算方法 2 1 1 分部积分法 2 1 1 1 分部积分法得基本认识 2 1 1 2 函数 的优选判别 3 1 2 第一换元积分法 4 1 2 1 第一换元积分法概念 4 1。

4、第一节 不定积分的概念与性质,一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质,例如: ， 是函数 在 上的原函数. ，sin x是cos x在 上的原函数.,又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x的原函数.,定义 设f (x) 在区间上有定义,如果对任意的 都有F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.,1.原函数的概念,（1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函 数一定存在？ （2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼 此 之间有何关系？,问题:,答案:,(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数 一定存在具。

5、第三讲 不定积分,邱小丽,办公室: 3-301A,Tel: 13587587664,高等数学竞赛辅导,一、原函数与不定积分,1. 原函数,定义: 设F(x)和 f (x)在某区间上有定义, 如果在该区间上任一点x都有,则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.,F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx,如果f(x)有一个原函数F(x),则F(x)+c也一定是其原函数.,2. 不定积分,定义: 函数f (x)为连续函数, 且F(x)f (x),则,二、基本积分公式,二、基本积分公式,三、求不定积分的基本方法,1. 分部积分法,设u(x)和v(x)可导,且不定积分 存在,则,也存在,并且,三、求不定积分的基本方法,2. 换元积分法,几种典。

6、. 定积分与不定积分的关系,一、积分上限函数 二、牛顿-莱布尼茨公式,如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区 间a,b内物体的位移s可以用定积分表示为,另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间a,b内物体的位移为s(b)s(a)， 所以又有,由于 ，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间a,b上的增量s(b)s(a).,一、积分上限函数,设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且对于给定的x ( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.。

7、习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1理解原函数与不定积分的概念。2掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。3掌握不定积分的积分方法。4会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲：一原函数与不定积分的概念1 原函数定义：在区间 上，若 （即 ） ，称函数I)(xfF dxfdF)(是函数 在区间 上的一个原函数。)(xF)(xf2 原函数存在的条件：若函数 在区间 上连续。则 在区间 上有原函)(xfI)(xfI数。3 不定积分：函数 在区间 上的所有原函数 称为 在区间 上)(fICF)()(fI的不定积分，记作 .。

8、第四章 不 定 积 分,第一节 不定积分的概念和性质,定义1 设函数F(x)与 f (x)都在区间I上有定义, 如果对于任意的xI 都有F (x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数.例如x3是 3x2在整个区间上的函数, -cosx 是 sinx的原函数,一、原函数与不定积分的概念,下面的问题是已知原函数的存在,怎样求?,定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在原函数F(x), 即对于任意的xI，都有 F (x) = f (x).,例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续,它们都有原函数。,定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(。

9、Ch4、不定积分1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义 1：若 ，则称 为 的原函数。)(xfF )(xFf 连续函数一定有原函数； 若 为 的原函数，则 也为 的原函数；)(f C)(xf事实上， )( xfCx 的任意两个原函数仅相差一个常数。f事实上，由 ，得0)()(211 xfFF CxF)(21故 表示了 的所有原函数，其中 为 的一个原函数。xF)(xf定义 2： 的所有原函数称为 的不定积分，记为 ， 积分号，f )(f dxf)(被积函数， 积分变量。)(xfx显然 CxFdf)()( Ckxd 1ln1x2、 基本积分表（共 24 个基本积分公式）3、 不定积分的性质 dxgxfdxgf )()()( 0kk Cxx。

10、不定积分基本公式表,当 x 0 时，,所以,综合以上两种情况，当 x 0 时，得,例 1 求不定积分,解,例 2 求不定积分.,解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，,(1),(2),得,例 3 求不定积分,解,法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，,即,二、不定积分的基本运算法则,法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况，,即,根据不定积分定义，。

11、 不定积分 一、原函数 定义1 如果对任一，都有 或 则称为在区间I 上的原函数。 例如：，即是的原函数。 ，即是的原函数。 原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。 注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。 设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。 注2：如果与都为在区间I 上的。

12、 1第 4章 不定积分内容概要名称 主要内容不定积分的概念设 ， ，若存在函数 ，使得对任意 均有 ()fxI()FxxI()Fxf或 ，则称 为 的一个原函数。dFfdxf的全部原函数称为 在区间 上的不定积分，记为()fx()fIxC注：（1）若 连续，则必可积；（2）若 均为 的原函数，则()f (),FxG()fx。故不定积分的表达式不唯一。()FxG性质 性质 1： 或 ；()()dfxf()()dfxfdx性质 2： 或 ；FCFC性质 3： ， 为非零常数。()()()fxgxfxgx,第一换元积分法（凑微分法）设 的 原函数为 ， 可导，则有换元公式：uu()()()fxdfxdFxC 第二类换元积分法设 单调、可导且导。

13、习 题 课,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,1、原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、积分法：三法一表,4、基本积分表（24个公式）,5、直接积分法（分项积分法）,6、第一类换元法（凑微分法）,凑微分法的主要思想：,将不同的部分中间变量与积分变量变成相同，使之能套用基本积分公式。,此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合。

14、 第三章 积分学 页第一节 不定积分 一、基本概念与性质 1、原函数的定义：函数 在区间 上有定义，如果存在函数 ，使 ，)(xfI )(xFIxf),(则称 是函数 （在区间 上）的原函数。F)(xfI2、不定积分的定义：设函数 和 在区间 I 上有定义，若 ，则称 为 在区间上的一)(xf )(xfF )(xFf个原函数。 在区间 I 中全体原函数称为 的不定积分，记做： 其中，dx)(积分号， 被积函数， 积分变量。 )(xfx显然， （ ） cxFdf)()( )(fF3、不定积分的性质：1） 或 )()(ffdxfxfd)()(亦即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）2） 或 cxFd)()( 。

15、1积分练习 姓名班级 学号1选择题 (1) 下列函数中（ ）是 的一个原函数,并且 .2x3)1(y38.xyAyB.5.xC1.2xyD(2) 在切线斜率为 的积分曲线族中，通过点 的曲线为（ ） 。14,1A. B. C. D. 32xy2xy32/xyxy4(3) 若 是可导函数，则下列等式中不正确的是（ ） 。)(fA. B.)(xfd cxfdf)()(C. D.f)(4) 设 在 I 上的原函数分别是 ，则在 I 上有 （ ） ，,g(),FGA. B.()()fxdFx ()()fxgdFxcC. GdcD. ；()f (5) 设 的一个原函数是 , 则 （ ） 。)(xxe2fA B C De244xe241xe241(6) 若 ，则 。cxdf3fA B C D ln3xln23lnx cxx23ln(7)若 是 的一个原函数， 是。

16、Yz.Liu.2013.09卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数。

17、高等数学(C ),首先复习导数和微分公式,原函数,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,例,1.定义：,一、原函数概念,2.原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,3.原函数的个数,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,二、不定积分定义和几何意义,1。不定积分的定义：,例1 求,解,解,例2 求,练习,例3 设曲线通过点（0,1），且其上任一点处的切线斜率等于 ,求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点。

18、1第五章 不定积分 教学安排说明章节题目：5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的性质5.3 换元积分法 5.4 分部积分法学时分配：共 6 学时。5.1 不定积分的概念 1 学时5.2 不定积分的性质 1 学时5.3 换元积分法 2 学时 5.4 分部积分法 2 学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。课 堂 教 学 方 案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质授课时数：2 学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：。

19、不定积分,一、 原函数与不定积分的概念,F (x) 为 f (x) 的一个原函数.,。,（内容提要）,二、 基本积分公式,。,。,。,三、 常见凑微分,。,一般地：,。,四、第二类换元法,令,1. 被积函数含,令,。,2. 被积函数含,令,令,令,先配方，再作适当变换,(有时用倒代换,简单）。,五、有理函数真分式的积分:,分母在实数范围内因式分解,若分母含因式,若分母含既约因式,，则对应的部分因式为,，则对应的部分因式为,。,六. 分部积分公式,注：下列题型用分部积分法,；,；,；,；,；,；,。,不定积分,（典型例题）,例1,，求,解：,一、由 求,例2,在,上定义，在,。

20、不定积分的分布积分法第三节第 4章二、典型例题一、主要内容三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容由导数公式vuvuuv+=)(积分得 xvuxvuuv dd+=xvuuvxvu dd=uvvuvu dd= 分部积分公式公式的作用：改变被积函数(一) 分部积分公式(二) 分部积分法选u的一般原则：xxv d)(d)1( =).()()(,d)( xxxfxxf =其中设,d)( 易积分xx ;易求v.dd)2( 易积分比vuuv(三) 分部积分法选u特例xxxxexnxndsind)1(nxu=设 （例 1，例 2）xxxndln)2(xu ln=设（例 3(1)）xxxndarcsin)3(xu arcsin=设（例 3(2)）xxvndd =(四) 分部积分法选u优先原则“对反代三指 ” 法(。