1、第一节 不定积分的概念与性质,一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质,例如: ， 是函数 在 上的原函数. ，sin x是cos x在 上的原函数.,又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x的原函数.,定义 设f (x) 在区间上有定义,如果对任意的 都有F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.,1.原函数的概念,（1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函 数一定存在？ （2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼 此 之间有何关系？,问题:,答案:,(1)如果函数在区间
2、上连续，则它的原函数 一定存在具体理由将在下一章给出,(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.,证 设F(x)，G(x)是f (x)在区间 I 上的任意两个原函数.所以F(x) = G(x) = f (x)，,即 G(x) = F(x) C0 ( C0为某常数).,所以有 G(x) F(x) = C0 ，,于是G(x) F(x) = G(x) F(x) = f (x) f (x) = 0,定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分.
3、记作,其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.,即,2.不定积分的概念,例1 求,解,解,例2 求,例3 求,解,函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.,3.不定积分的几何意义,在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的 切线彼此平行（图5.1）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率.,.,特别地，有,4 不定积分与
4、微分的关系,微分运算与积分运算互为逆运算.,例4 计算下列积分,解,例5 计算下列积分,解 (1),(2),性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面.,性质2可以推广到有限多个函数的情形，即,性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即,例6 求,解,注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,解,例11 求,例12 求,解,注 例9-例12在基本积分公式中没有相应的类型,但经过对被积函数的适当变形化为基本公式所列函数的积分后,
5、便可逐项积分求得结果.,第二节 不定积分的积分方法,一、 第一类换元积分法 二、 第二类换元积分法 三、 分部积分法 四、 简单有理函数的积分 五、 积分表的使用,例1,原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而,所以有,综合上述分析，此题的正确解法如下：,解,定理1,公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分法”.,用第一换元积分法求不定积分的步骤是,还应注意到，在换元积分还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 = u,还需要在被积表
6、达式中再凑出 即 ,也就是 ,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为,在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公 式是十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各 式中，a，b均为常数，且 ) :,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,类似地，有,例10 求,类似地，有,解,例11 求,解,例12 求,解,二、第二类换元积分法,一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后
7、， 还要 将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.,定理2,设,是单调可导的函数， 且,如果,则有,第二类换元法求不定积分的步骤为,例13 求,解,例12例13的解题方法称为根代换法,一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形：,例14 求,解,例15 求,解,例16 求,解,例14例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.,一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形：,补充的积分公式：,由函数乘积的微分公式,移项得,对上式两端同时积分，得,公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .,或,注意：,使用分部积分公式的目的是在于化难 为易，解题的关键在于恰当的
8、选择u和v.,选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定,即一般情况下，u与dv按以下规律选择,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.,对于某些特殊类型的被积函数的积分，如有理函数、三角函数有理式等，可通过恒等变形，应用上述两种方法进行求解,例1 求,解: 因为,所以,可设,乘等式两边，得,得,于是,例2 求,解,两端去分母得,令,于是,例3 求,解,去分母,得,令,令,于是,例4 求,解,作变换,则,而,，于是,则,把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果.,现在a=3，b=2, 于是,例1 求,例2 求,解 被积函数为无理函数，属于积分表中的类型 (2),现令a=2 ,得,例3 求,再令a=1，由公式12得,解,再把u=3x代回还原，得,
