1、不定积分,一、 原函数与不定积分的概念,F (x) 为 f (x) 的一个原函数.,。,（内容提要）,二、 基本积分公式,。,。,。,三、 常见凑微分,。,一般地：,。,四、第二类换元法,令,1. 被积函数含,令,。,2. 被积函数含,令,令,令,先配方，再作适当变换,(有时用倒代换,简单）。,五、有理函数真分式的积分:,分母在实数范围内因式分解,若分母含因式,若分母含既约因式,，则对应的部分因式为,，则对应的部分因式为,。,六. 分部积分公式,注：下列题型用分部积分法,；,；,；,；,；,；,。,不定积分,（典型例题）,例1,，求,解：,一、由 求,例2,在,上定义，在,内可导，,在,内定义
2、且可导，,时，,求,，,的表达式.,解:,时，,时，,例2,在,上定义，在,内可导，,在,内定义且可导，,时，,求,，,的表达式。,答案：,例3,分段函数不定积分的求法：,(1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示；,(2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2,的关系，用同一个常数 C 表示。,二、分段函数求不定积分：,例3,解:,在,连续，,在,连续，,自学,解,由 处连续，得：,例4,定义在 R 上，,求,。,在,连续,解：,三、有理函数的积分：,例5,的结果中，,求常数a，b 的值，使,不含反正切函数；,不含对数函数；,仅含有理函数。,例5,求 a, b , 使,不
3、含反正切函数；,不含反正切函数,解：,例5,求 a, b , 使,不含反正切函数；,不含反正切函数,b 任意,例5,的结果中，,求常数a，b 的值，使,不含反正切函数；,不含对数函数；,仅含有理函数。,不含对数函数；,仅含有理函数,解：,四、凑微分法：,例6,求,原式=,解：,时，,原式=,时，,原式=,例7,解,求,例8,求,解：,例9,求,解1,例9,求,解2,烦！,例10（自学）,解,五、,分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）,例11,原式=,解：,例12,原式=,解：,例13,，求,解：,例14,递推公式,解：,六：三角代换,例15,原式,解：,例16,原式,解：,七、倒代换：,
4、例17,分母含x的因子， 分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n满足：,原式,解：,例18,原式,解：,八、,型（m，n为正负整数）,化为,m，n中至少一个奇数：,m，n均为偶数：,降次,m，n均为负偶数（负奇数）：,化为,或,或,化为,m，n中至少一个奇数：,或,例19,答案：,解：,m，n均为偶数：,降次,例20,原式,积化和差公式：,解：,m，n均为负偶数（负奇数）：,化为,或,例21,解：,九、,型（a，b，p，q为常数）,解题方法：,求待定常数A，B，使,分母,分母,例22,原式=,解：,例23,（课外练习）,十、两项都难积分,例24,一项用分部积分，产生另一项的相反项,解：,例25,解：,例26,解：,十一、,含抽象函数的积分,例27,设,的原函数是,，求,或,解：,例28,求,原式=,解：,例28,求,原式=,另解,化为参数方程,十二、,例29,，其中,解题思路：,把积分中变量 x、y 换为参变量 t,把,转化为,解,令：,则：,例30,，其中,解,令：,则：,
