1、习题课,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,三、典型例题（1）（2）（3）,积分法,原 函 数,选择u有效方法,基本积分表,第一换元法 第二换元法,直接积分法,分部积分法,不 定 积 分,几种特殊类型函数的积分,一、主要内容,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型)
2、,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,多次分部积分的 规 律,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,6、第二类换元法,第二类换元公式,常用代换:,7、分部积分法,分部积分公式,8.选择u的有效方法:LIATE选择法,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数函数；,T-三角函
3、数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,9、几种特殊类型函数的积分,（1）有理函数的积分,定义,两个多项式的商表示的函数称之.,真分式化为部分分式之和的待定系数法,四种类型分式的不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,令,（2） 三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,（3） 简单无理函数的积分,讨论类型：,解决方法：,作代换去掉根号,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一
4、定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,例如 ,三、典型例题(1),例2. 求,例4. 求,例6. 求,求下列不定积分,例1.,例3.,例5.,例7. 求,例8. 求,二、典型例题,例1,解,例2. 求,解:,原式,例3,解,另解：,例4. 求,解 :,原式,分部积分,分部积分,另解：,例5,解,(倒代换),例6. 求,解: 令,则,原式,例7. 求,解:,原式,分析:,例8. 求,解:,三、典型例题(2),例9. 求,例11. 设,证明递推公式:,例10. 求,例12.,设,为,的原函数,且,求,
5、例13. 求,例14.,及,例9. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,例10. 求,解:,设,则,因,连续 ,得,得,利用,例11. 设,证:,证明递推公式:,例12.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,例13. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,例14.,解：,因为,及,三、典型例题(3),例15.,求不定积分,例16.,例17.求,( n 为自然数),例18,例19,例20,例21,例22.设,求积分,例15.,求不定积分,解:,原式,例16.,解:,I =,例17. 求,解:,( n 为自然数),令,则,例18,解,例19,解,例20,解,例21,解,例22. 设,解:,令,求积分,即,而,测 验 题,测验题答案,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
