分部积分

1、数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院18.2 换元积分法与分部积分法教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法教学过程：一、第一类换元法 凑微分法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分 cos2xd，如果凑上一个常数因子 2，使成为11cos2xxd令 2xu。

2、 4c sssEBass T=a 5tx = 7xexd tettd2 EE %Bass Tvuvuuv+=)( Txvuxvuuv dd+=sxvuuvxvu dd=uvvuvu dd= TTM$f ss T=a 5 1xexIxd11=xex dvduexxe= xexduvvudCexexx+=?xeu = ? | = xxexd221uvdxxexd2d21xex=)d(2122=xxexex)d(2122= xexexxx。

3、1,第四章 不定积分 第三节 不定积分的分部积分法,主要内容：,分部积分法,2,新课引入,在前一节，我们利用复合函数的求导法则得到了,“换元积分法” 。,但是，,对于形如,的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。,这就启发我们把两个,这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,3,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,由导数乘法公式：,4,例1 求,解,分部积分过程：,降幂,则,原式,令,另解: 令,则,原。

4、第四章 不定积分（3 分部积分法）1第三节 分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取，熟练掌握分部积分法的步骤。vu,教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取 。vu,教学学时：1 学时教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算导数公式 不定积分公式；复合函数的求导公式 换元积分公式；乘积求导公式 分部积分公式（不同类型函数乘积的积分） 。1 引入用我们已经掌握的方法求不定积分 xdcos分析：被积函数为两函数的乘积不是基本的积。

5、一、填空题的定义域为_。 的定义域为_。25xy 216xy函数 的定义域为 .，函数 的定义域为 .13 3是由_复合而成的， 是由_复合而成的sin2exy 2sinexy，则 .1()3fx0()f，则 .2()fx10(3)f函数 ，在 处连续，则 .sin2()()fa1xxa函数 ，在 处连续，则 .si()()1xf1x是 的 间断点（填第一类或是第二类） 。0xxfsin)(.2si4lmx函数 的连续区间是 .21()3fx若 , 则 .20limxf0()lixf若函数 在定义域内连续, 则 .tan,()sifxa，则 _。若 ，则 _0_。21inlm0xexx1)(lim0 0x，则 _1/2_。若 ，则 _0_。12sinlm0xxe。

6、巧妙应对分部积分摘要：分部积分法对于初学者而言应用起来较困难，本文旨在介绍教学过程中总结的一个规律，从而对初学者掌握分部积分法有一定帮助。关键词：积分；分部积分法；被积函数；1 引言积分是高等数学研究的主要内容，而分部积分法是计算积分的一种重要的方法。但是对于初学者而言，分部积分法应用起来较困难。本人结合自己的教学实践和自己的学习体会总结出一个规律，发现在教学过程中效果不错可以帮助学生解决这一难题。2教学过程中总结的规律高等数学中分部积分公式可用如下定理给出:定理 8.5 （分部积分法）若 和 可导，不定。

7、不定积分的分布积分法第三节第 4章二、典型例题一、主要内容三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容由导数公式vuvuuv+=)(积分得 xvuxvuuv dd+=xvuuvxvu dd=uvvuvu dd= 分部积分公式公式的作用：改变被积函数(一) 分部积分公式(二) 分部积分法选u的一般原则：xxv d)(d)1( =).()()(,d)( xxxfxxf =其中设,d)( 易积分xx ;易求v.dd)2( 易积分比vuuv(三) 分部积分法选u特例xxxxexnxndsind)1(nxu=设 （例 1，例 2）xxxndln)2(xu ln=设（例 3(1)）xxxndarcsin)3(xu arcsin=设（例 3(2)）xxvndd =(四) 分部积分法选u优先原则“对反代三指 ” 法(。

8、第四章 不定积分 第三节 不定积分的分部积分法,主要内容：,1、分部积分法的基本公式,2、分部积分法的基本类型 （重点，难点）,复习回顾课前练习,（2）原式,（2）,在前一节，我们利用复合函数的求导法则得到了,“换元积分法” 。,但是，,对于形如,的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。,这就启发我们把两个,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,第3节 不定积分的分部积分法,4,这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.,一、分部积分公式 设函数uu(。

9、,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,。

10、,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例。

11、问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,第三节 分部积分法,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数（或常数）和对数函数或幂函数（或常数）和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.,例5 求积分,解,例6 求积分,解,注意循环形式,例7 求积分。

12、,一、基本内容,二、小结,三、思考题,第二十四节 分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分(integration by parts)公式,一、基本内容,1)v 容易求得 ;,容易计算 .,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或。

13、INTEGRATION BY PARTS,分 部,积 分 法,分析,1. 引例,一、探索公式,试求下列不定积分,问题,从以上分析中，发现了什么现象或规律？,一个积分难以求解，但是，将微分号“d ”前后,两个函数的位置交换之后的另一个积分却易于求解.,(1)(2)暂无法求解；,这种现象在积分问题中还大量存在. 如，,2. 寻求积分,与积分,udv,vdu,之间的关系,一、探索公式,分析,1. 引例,试求下列不定积分,问题,从以上分析中，发现了什么现象或规律？,(1)(2)暂无法求解；,二、解读公式,1. 公式名称的由来,2. 公式成立的条件,分部积分,分部积分公式,若函数u 和v 均 可微 。

14、商 洛 师 专 学 报 自 然 科 学 年 第 期 总 第 卷 , 第 期分 部 积 分 快 速 解 法张 安 平分 部 积 分 是 积 分 运 算 基 本 方 法 之 一 。 分 部 积 分 公 式二 一 丁不 难 理 解 , 然 而 学 生 在 运 用 中 却 常 常 出 现 错 误 。本 文 的 目 的 , 希 望 克 服 学 生 在 求 积 分 时 出 现 的 错 误 , 确 立 对 分 部 积 分 的 正 确 理 解 和 运 月 ,对 于 中 等 难 度 的 分 部 积 分 都 能 较 快 地 、 准 确 池 获 得 答 案 。根 据 竖 式 运 算 比 横 式 运 算 步 骤 明 晰 、 更 富 有 直 观 性 特 点 , 我 们 只 需 将 公 。

15、3.5 分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点：分部积分法及其应用难点：分部积分法及其应用教学过程：一、问题的提出利用前面所介绍的积分方法可以解决许多积分的计算，但对于象 xdln、dxe2、 xdcos等这样一些简单的积分却仍然无能为力，为了解决这个问题，我们可用两个函数乘积的微分法则推得求积分的另外一种方法分部积分法.二、 分部积分公式：定理 设函数 )(xu及 )(v都具有连续的导数，则有分部积分公式：du（或 dxuvxv）证明 由公式 d得v)(上式两端同时求不定积分即得 v 证毕由分部积分。

16、,推导,一、分部积分公式,例1,定积分的分部积分法,解 原式,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,解 原式,解 原式,所以,分部积分过程：,解,(4),解,(5),分部积分过程：,例2 计算,解,令,则,例3 计算,解,例4 计算,解,例5 设 求,解,例6 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,。

17、一、分部积分公式二、小结 思考题,定积分的分部积分法,推导,一、分部积分公式,例1 计算,解,令,则,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,例5 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,证(一),微积分基本公式中的例7,证(二),定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限配元不换限边积边代限,思考与练习,解:,1.,2. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,证：,3.,右端,试证,分部积分,再次分部积分,= 左端,练 习 题,练。

18、第3节 定积分的换元、分部积分法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,一、换元积分公式,先来看一个例子,例1,解1：换元求不定积分，,令,故,解2：尝试一下直接换元求定积分,当 x 从0连续地增加到2时，t 相应地从0连续地增加到4,将上例一般化就得到定积分的换元积分公式,由此可见。

19、第三节 分部积分法的主要适用于以下类型：（1） 令 dxe dxevu（2） 令 coscos(3) 令 xex xvex(4) 令 dlnduln(5) 令 xarct xvarctTh1:(分部积分法：)如果函数 ，都可导，则)(,xvuvdudu， ，)( vdudv)(公式： ，v选取 u 和 dv 需考虑以下两点注: (1) v 要较容易求出（2） 要比原积分 更容易求出 ddvue.g1 求 xee.g2 求 2e.g 3 求 dxcose.g4 求 2ine.g5. 求 xexcse.g6. 求 dle.g7 求 xxarctne.g8 求 dxee.g9 求 sc3e.g 10 求 xinl分部积分法习题：1求下列函数的不定积分（1） dxx2cos（2） ssin（3） dxx2in)65(2（4） ttt)sin(（5） dxx2ta。

20、3.5 分部积分法 教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。 重点：分部积分法及其应用 难点：分部积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 利用前面所介绍的积分方法可以解决许多积分的计算，但对于象、 等这样一些简单的积分却仍然无能为力，为了解决这个问题，我们可用两个函数乘积的微分法则推得求积分的另外一种方法分部积分法. 二、 分部积分公式： 定理 设函。